本文约定$\mathbb{R}$₊=[0，∞)，$\mathbb{N}$为自然数集，Ø为空集.

定义 1^[18]  设二元算子*：[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]满足：∀a，b，c，d∈[0, 1]，

(a) *对结合律和交换律成立；

(b) *是连续的；

(c) a*1=a，∀a∈[0, 1]；

(d) 当a≤c和b≤d时，a*b≤c*d.

则称*是连续t-模，常用的连续t-模包括以下3个算子：∀a，b∈[0, 1]，a*b=a∧b，a*b=max{a+b-1，0}，a*b=a·b.

性质 1^[9]  设*是连续t-模，

(i) 若0＜r₂＜r₁＜1，则存在r₃∈(0，1)，使得r₁*r₃＞r₂；

(ii) ∀r₄∈(0，1)，存在r₅∈(r₄，1)，使得r₅*r₅＞r₄.

定义 2  设X是一非空集合，*是连续t-模，X上的映射M：X²×(0，∞)→(0，1]满足条件：对任意的x，y，z∈X，

(M1) ∀t＞0，M(x，y，t)＞0；

(M2) ∀t＞0，M(x，y，t)=1当且仅当x=y；

(M3) ∀t＞0，M(x，y，t)=M(y，x，t)；

(M4) ∀t，s＞0，M(x，y，t)*M(y，z，s)≤M(x，z，t+s)；

(M5) M(x，y，·)：(0，∞) (0，1]是左连续的；

(M6) $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } $M(x，y，t)=1.

则称(M，*)(简写成M)是X上的模糊度量，称(X，M，*)为模糊度量空间.

注 1  如果将定义2中的(M2)，(M5)分别改为：

(M2)′ M(x，y，t)=1当且仅当x=y；

(M5)′ M(x，y，·)是连续的.

则(X，M，*)为GV模糊度量空间^[2].

若(X，M，*)是模糊度量空间，设x∈X，r∈(0，1)，t＞0，称

是以x为心，r为半径的开球. 定理1的证明可参见文献[2]中相应结论的证明.

定理 1  设(X，M，*)是模糊度量空间. 如果

则τ_M是X上的第一可数的拓扑，$\left\{ {{B_M}\left( {x, \frac{1}{n}, \frac{1}{n}} \right):n \in \mathbb{N}} \right\}$是点x的可数邻域基.

本节引入星伪度量族的概念，并给出模糊度量的星伪度量族分解定理.

定义 3  设X是一非空集合，*是连续t-模，{d_r：r∈(0，1)}是X×X到$\mathbb{R}$₊中的一族映射. 若对任意的x，y，z∈X，都有：

(SPM1) ∀t＞0，存在r∈(0，1)，使得d_r(x，y)≤t；

(SPM2) ∀r∈(0，1)，d_r(x，x)=0；

(SPM3) ∀r∈(0，1)，d_r(x，y)=d_r(y，x)；

(SPM4) 对固定的x，y∈X，关于r∈(0，1)的函数d_r(x，y)是单调递增的；

(SPM5) 对任意的α，β∈(0，1)，d_α*β(x，z)≤d_α(x，y)+d_β(y，z)；

(SPM6) 若x≠y，则$\mathop {\sup }\limits_{r \in \left( {0, 1} \right)} $d_r(x，y)＞0.

则称{d_r：r∈(0，1)}是X上的星伪度量族，称(X，d_r：r∈(0，1))为星伪度量族空间.

注 2  当*=∧时，星伪度量族即为伪度量族. 对于一般的连续t-模*，星伪度量族中的元素未必为伪度量，但为方便起见，我们仍称其为星伪度量族.

为与星伪度量族空间作区分，我们将由X上的一族伪度量{d_r：r∈(0，1)}构成的空间(X，d_r：r∈(0，1))称为伪度量族空间.

定理 2  设X是一非空集合，D={d_r：r∈(0，1)}是X上的星伪度量族，对任意的x∈X，n∈ $\mathbb{N}$，r₁，r₂，…，r_n∈(0，1)和ε＞0，

则X存在唯一的拓扑τ_D，使得对任意的x∈X，

恰好是x关于τ_D的邻域基，且τ_D为X上的Hausdorff拓扑.

证  前半部分的证明是常规的，这里仅给出τ_D是Hausdorff拓扑的证明.

事实上，对任意的不同的点x，y∈X，由条件(SPM6)，存在r∈(0，1)，使得d_r(x，y)=ε＞0. 由性质1(ii)，存在s∈(r，1)，使得s*s＞r，从而V_x$\left( {s;\frac{\varepsilon }{2}} \right)$ ∈V_x以及V_y$\left( {s;\frac{\varepsilon }{2}} \right)$∈V_y. 利用条件(SPM4)和(SPM5)可验证V_x$\left( {s;\frac{\varepsilon }{2}} \right)$ ∩V_y$\left( {s;\frac{\varepsilon }{2}} \right)$ =Ø. 因此τ_D是Hausdorff的.

引理 1  设(X，M，*)为模糊度量空间，x，y∈X，r∈(0，1). 则：

(i) sup{t＞0：M(x，y，t)≤r}=inf{t＞0：M(x，y，t)＞r}；

(ii) sup{t＞0：M(x，y，t)＜r}=inf{t＞0：M(x，y，t)≥r}；

(iii) inf{t＞0：M(x，y，t)＞r}=inf{t＞0：M(x，y，t)≥r}当且仅当M(x，y，·)是严格单调增的.

定理 3  设(X，M，*)为模糊度量空间，x，y∈X，r∈(0，1). 令

则D_M={d_r：r∈(0，1)}是星伪度量族.

证  只要证D_M满足条件(SPM1)-(SPM6)即可. (SPM2)和(SPM3)是显然的.

(SPM1)：∀x，y∈X，t＞0，由M(x，y，t)＞0，则存在r₀∈(0，1)使得M(x，y，t)＞r₀＞0. 由(3)式得d_r0(x，y)≤t.

(SPM4)：任取r₁，r₂∈(0，1)，r₁＞r₂. 因为M(x，y，·)是单调增的，所以

所以d_r1(x，y)≥d_r2(x，y). 因此d_r(x，y)关于r∈(0，1)是单调增的.

(SPM5)：对任意的x，y，z∈X，α，β∈(0，1)，任取t₁＞d_α(x，z)及t₂＞d_β(z，y). 由(3)式知，存在t₁^*，t₂^*＞0，使得t₁^*＜t₁，t₂^*＜t₂，且M(x，z，t₁^*)≥α，M(z，y，t₂^*)≥β. 因此

从而d_α*β(x，y)≤t₁^*+t₂^*＜t₁+t₂. 根据t₁和t₁的任意性得d_α*β(x，y)≤d_α(x，z)+d_β(z，y).

(SPM6)：∀x，y∈X，x≠y，由定义2，存在t₀＞0使得M(x，y，t₀)＜1. 取r₀∈(0，1)满足M(x，y，t₀)＜r₀＜1，由引理1得

因此d_r0(x，y)≥r₀＞0，从而$\mathop {\sup }\limits_{r \in \left( {0, 1} \right)} $d_r(x，y)＞0.

注 3  称上述D={d_r：r∈(0，1)}为由模糊度量M导出的星伪度量族.

定理 4  设D={d_r：r∈(0，1)}为X上的星伪度量族，对x，y∈X，t＞0，设

则(X，M_D，*)是一个模糊度量空间.

证  以下证明M_D满足条件(M1)-(M6). (M3)显然成立.

(M1)：对任意的t＞0，取0＜t^′＜t. 由条件(SPM1)，存在r₀∈(0，1)，使得d_r0(x，y)≤t^′＜t. 因此M_D(x，y，t)≥r₀＞0.

(M2)：令x=y. 由条件(SPM2)，对任意的r∈(0，1)，t＞0，有t＞d_r(x，y)=0. 因此

相反地，假设对任意的t＞0，有M_D(x，y，t)=1，则对任意的r∈(0，1)，M_D(x，y，t)＞r. 由(4)式知，存在1＞r^′＞r，使得d_r′(x，y)＜t. 由条件(SPM4)得d_r(x，y)＜t. 再由t的任意性知d_r(x，y)=0. 根据r的任意性和条件(SPM6)知x=y.

(M4)：任取x，y，z∈X，t，s＞0，令M_D(x，y，t)=β，M_D(y，z，s)=γ. 对任意的ε＞0且ε＜min{β，γ}，由(4)式知，存在r′，r″∈(0，1)，使得r′＞β-ε，r″＞γ-ε，d_r′(x，y)＜t和d_r″(y，z)＜s. 因此d_β-ε(x，y)＜t，d_γ-ε(y，z)＜s. 不失一般性，假设β≥γ，则

因此M_D(x，z，t+s)≥γ-ε. 由ε的任意性和*算子的连续性可得

(M5)：对任意的x，y∈X，t₀＞0和ε＞0，有M_D(x，y，t₀)-ε＜M_D(x，y，t₀). 由(4)式知，存在r₀∈(0，1)，使得d_r0(x，y)＜t₀且r₀＞M_D(x，y，t₀)-ε，即M_D(x，y，t₀)-r₀＜ε. 当d_r0(x，y)＜t＜t₀时，由(4)式知M_D(x，y，t)≥r₀，因此

也就是说M_D(x，y，·)在t₀处是左连续的. 再由t₀的任意性知M_D(x，y，·)是左连续的.

(M6)：∀x，y∈X，t₀＞0和ε＞0，取r₀∈(0，1)，使得1-r₀＜ε. 由(4)式，当t＞d_r0(x，y)时，M_D(x，y，t)≥r₀＞1-ε. 因此$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } $M_D(x，y，t)=1.

在本节中，我们将研究模糊度量和伪度量族之间的等距同构关系.

定义 4  设(X，M，*)是模糊度量空间，(X^′，d_r^′，r∈(0，1))是星伪度量族空间. 若存在X到X^′上的一一映射Φ，使得∀x，y∈X，t＞0，∀r∈(0，1)，都有

则称Φ是(X，M，*)到(X^′，d_r^′，r∈(0，1))上的等距同构映射，称模糊度量空间(X，M，*)等距同构于星伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1)).

定理 5  若Φ是从模糊度量空间(X，M，*)到星伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1))上的等距同构映射，则Φ是从(X，τ_M)的到(X^′，τ_D)的同胚映射，其中τ_M如(2)式定义，τ_D是由星伪度量族{d_r^′：r∈(0，1)}导出的拓扑.

证  只需证Φ和Φ的逆映射Φ^-1都是连续的，只要证明：

(a) 对任意的x∈X，t＞0和r∈(0，1)，Φ(B_M$\left( {x, 1 - r, \frac{t}{2}} \right)$)⊆V_Φ(x)(t，r)；

(b) 对任意的x^′∈X^′，t＞0及r∈(0，1)，Φ^-1(V_x^′ $\left( {t, 1 - \frac{r}{2}} \right)$)⊆B_M(Φ^-1(x^′)，r，t).

具体证明过程是常规的.

推论 1  设(X，M，*)为模糊度量空间，D_M={d_r：r∈(0，1)}为由M生成的星伪度量族，则由M诱导的拓扑τ_M与其对应的由星伪度量族所诱导的拓扑τ_DM是一致的.

定义 5  设(X，M，*)和(X^′，M^′，*^′)是两个模糊度量空间，若存在X到X^′上的一一映射ψ，使得∀x，y∈X，t＞0，都有M(x，y，t)=M(ψ(x)，ψ(y)，t)，则称ψ是(X，M，*)到(X^′，M^′，*^′)上的等距同构映射，称模糊度量空间(X，M，*)等距同构于模糊度量空间(X^′，M^′，*^′).

定理 6  若模糊度量空间(X^′，M^′，*^′)由星伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1))导出，模糊度量空间(X，M，*)等距同构于(X^′，d_r^′，r∈(0，1))，那么(X，M，*)也等距同构于(X^′，M^′，*^′).

证  设Φ是模糊度量空间(X，M，*)到伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1))的等距同构映射，那么，∀x，y∈X，r∈(0，1)，都有(5)式成立. 由(4)式知：∀t＞0，有

若d_r^′(Φ(x)，Φ(y))＜t，则由(5)式可知，存在0＜t^′＜t，使得M(x，y，t^′)≥r. 再由M(x，y，·)单调增可得M(x，y，t)≥r. 所以

对任意给定的0＜r＜M(x，y，t)，由M(x，y，·)的左连续性知，存在0＜t^′＜t，使得M(x，y，t^′)＞r. 由(5)式得d_r^′(Φ(x)，Φ(y))≤t^′＜t. 于是

由r的任意性知

由(7)式和(8)式知

由(6)式知

从而(X，M，*)等距同构于(X^′，M^′，*^′).

推论 2  设(X，M，*)为模糊度量空间，D_M={d_r：r∈(0，1)}为由M生成的星伪度量族，M_DM为由D_M={d_r：r∈(0，1)}导出的模糊度量，则(X，M，*)等距同构于(X，M_DM，*). 因此，由M和M_DM导出的拓扑是一致的.

定理 7  设(X，M，*)为模糊度量空间，若(X，M，*)满足条件：对任意的x，y，z∈X，s，t＞0，有

则(X，M，*)等距同构于某个伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1)).

证  取X=X^′，Φ(x)=x(∀x∈X). 设d_r(x，y)由(3)式定义，则由定理3知d_r(x，y)为X上的分离的星伪度量族.

下证{d_r：r∈(0，1)}为伪度量族. 只需证每个d_r满足三角不等式. 为此任取x，y，z∈X及r∈(0，1). 对任意的t₁＞d_r(x，z)，t₂＞d_r(z，y)，由(3)式，存在t₁^*，t₂^*＞0，使得t₁^*＜t₁，t₂^*＜t₂且M(x，z，t₁^*)≥r，M(z，y，t₂^*)≥r. 由(9)式知

于是由(3)式知

再由t₁，t₂的任意性得

最后，由d_r(x，y)的定义即知(X，M，*)与(X^′，d_r，r∈(0，1))等距同构.

推论 3  每个模糊度量(X，M，∧)都可以被分解成X上的一族伪度量.

容易证明，若M(x，y，·)是连续的，则定理7的逆定理也成立，即：

定理 8  设模糊度量空间(X，M，*)满足条件：对任意的x，y∈X，函数M(x，y，·)连续. 若(X，M，*)等距同构于某个伪度量族空间(X^′，d_r^′，r∈(0，1))，则不等式(9)成立.