本节首先引入一些模糊度量空间的基本概念.

定义1  ^[15]若二元算子*：[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]满足：

(a) *对结合律和交换律成立；

(b) *是连续的；

(c) a*1=a(∀a∈[0, 1])；

(d) 当a≤c和b≤d(a，b，c，d∈[0, 1])时，a*b≤c*d.则称*是连续t模.

根据定义1，容易验证连续t模*满足以下性质：

性质1 ^[16]设算子*：[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]是连续t模，则：

(i) 若r₁＞r₂，则存在r₃∈(0，1)，使得r₁*r₃＞r₂，其中r₁，r₂∈(0，1)；

(ii) ∀r₄∈(0，1)，则存在r₅∈(r₄，1)，使得r₅*r₅＞r₄.

定义2 ^[6]设X是一非空集合，*是连续的t模. ∀x，y，z∈X，t，s＞0，X上的映射M：X²×(0，∞)→(0，1]满足以下条件：

(a) M(x，y，t)＞0；

(b) M(x，y，t)=1⇔x=y；

(c) M(x，y，t)=M(y，x，t)；

(d) M(x，y，t)*M(y，z，s)≤M(x，z，t+s)；

(e) M(x，y，·)：(0，∞)→(0，1]是连续的.

则称M是X上的一个GV模糊度量(以下简称为模糊度量)，称(X，M，*)为GV模糊度量空间(以下简称为模糊度量空间).

引理1 ^[15]对∀x，y∈X，M(x，y，·)是递增的.

定义3 ^[14]设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，令${\phi _A}(\mathit{t}) = \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(x, y, \mathit{t}) $若$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\phi _A}(\mathit{t}) = 1$，则称A是模糊有界集；若$\mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\phi _A}(t) = k,0＜k＜1$，则称A是模糊半有界集；若$\mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\phi _A}(\mathit{t}) = 0 $，则称A是模糊无界集.

性质2  设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，则：

(i) ϕ_A(t)是递增的，因此$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\phi _A}(\mathit{t})$存在；

(ii) $ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\phi _A}(\mathit{t}) = \mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\phi _A}(\mathit{t})$.

定义4 设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，

(a) 如果存在t₀＞0，使得ϕ_A(t₀)=1，则称A是模糊强有界集；

(b) 如果ϕ_A(t)＞0，则称A是模糊弱有界集.

注1 显然，若A是模糊强有界集，则A是模糊有界集；A是模糊弱有界集当且仅当A是模糊(半)有界集.

对r∈[0, 1]，x，y∈X，记

称d_r为X上的r-(割)度量.显然，d₁(x，y)≡0.利用常规方法，可以得到以下引理：

引理2 设(X， M，*)是模糊度量空间，A⊆X，r∈[0, 1]，则

引理3 设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，r∈[0, 1].若

则

特别地，∀x，y∈X，若inf{t＞0：M(x，y，t)≥1-r}≤t₀，则M(x，y，t₀)≥1-r.

引理4 设(X，M，*)是模糊度量空间，x，y∈X，r∈(0，1)，则

定理1 设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，则：

(i) A强模糊有界当且仅当存在t₀＞0，使得对∀r∈[0, 1]，有$ \mathop {\sup }\limits_{x, y \in A} {d_r}(\mathit{x, y}) \le {\mathit{t}_0}$；

(ii) A模糊有界当且仅当对∀r∈(0，1]，存在正数t₀=t₀(r)，使得$ \mathop {\sup }\limits_{x, y \in A} {d_r}(\mathit{x, y}) \le {\mathit{t}_0}(\mathit{r})$；

(iii) A弱模糊有界但非模糊有界当且仅当存在r₀∈(0，1)，使得当r∈(0，r₀)时, $\mathop {\sup }\limits_{x, y \in A} {d_r}(\mathit{x}, \mathit{y}) = \infty $，而当r∈(r₀，1)时，存在t₀=t₀(r)＞0，使得$ \mathop {\sup }\limits_{x/y \in A} {d_r}(\mathit{x}, \mathit{y}) \le {\mathit{t}_0}(\mathit{r})$；

(iv) A模糊无界当且仅当对∀r∈[0，1)，有$\mathop {\sup }\limits_{x, y \in A} {d_r}(\mathit{x}, \mathit{y}) \le {t_0} $.

证  (i)必要性易证，仅证充分性.为此，设$\mathop {\sup }\limits_{x, y \in A} {d_r}(\mathit{x}, \mathit{y}) \le {t_0} $对一切r∈[0, 1]成立.由引理2，有

由引理3，有

再由r的任意性，即得$ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) = 1$

(ii) 设A模糊有界，则

故对∀r∈(0，1]，存在t₀(r)＞0，使得

由引理2即得

反之，对任意r∈(0，1]，存在t₀(r)＞0，使得

则对∀x，y∈A，有

由引理3可知M(x，y，t₀(r))≥1-r，所以

从而

由r的任意性，即得$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) = 1$

(iii) 设A弱模糊有界但非模糊有界，则

分两种情况：

情况1  当r∈(0，r₀)时，有

因而对∀t＞0, $ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) ＜ 1 - \mathit{r}$.

由引理2，有

情况2  当r∈(r₀，1)时，有

故存在t₀(r)＞0，使得$\mathop {\inf }\limits_{x.y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}(\mathit{r})) > 1 - \mathit{r} $.

于是由引理2，有

反之，设(iii)中条件成立.则当r∈(0，r₀)时，有

于是，对∀t₀＞0，有

从而

由t₀的任意性，有

注意到r∈(0，r₀)，r₀∈(0，1)，因此$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) \ne 1$.

当r∈(r₀，1)时，由于存在t₀(r)＞0，使得

由引理2，有

再由引理3，有

于是

注意到r∈(r₀，1)，r₀∈(0，1)，可得

所以

即证明了A为弱模糊有界但非模糊有界集.

(iv) 易证，此略.

设t＞0，r＞0，x∈X，记

定理2 设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X，则：

(i) A是强模糊有界的当且仅当存在t₀＞0，对∀r∈(0，1)及∀a∈A，有A⊆B_a(t₀，r)；

(ii) A是模糊有界的当且仅当对∀r∈(0，1)，∀t＞0及∀a∈A，有A⊆B_a(t，r)；

(iii) A是弱模糊有界的当且仅当存在r₀∈(0，1)及t₀＞0，对∀a∈A，有A⊆B_a(t₀，r₀)；

(iv) A是模糊无界的当且仅当对∀r∈(0，1)及∀t＞0，存在a，b∈A，使得b∉B_a(t，r).

证 (i)设A是强模糊有界的，即存在t₀＞0，使得$ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) = 1$.因此，对∀r∈(0，1)，a，x∈A，有M(a，x，t₀)＞1-r，从而A⊆B_a(t₀，r).

反之，设存在t₀＞0，对∀r∈(0，1)及∀a∈A，都有A⊆B_a(t₀，r).则对∀x，y∈A，M(x，y，t₀)＞1-r，于是$\mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) \ge 1 - \mathit{r} $.再由r的任意性可知$\mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) = 1 $.所以A是强模糊有界的.

(ii) 设A是模糊有界的，即$\mathop {\sup }\limits_{t > 0} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) = 1 $.从而对∀r∈(0，1)，存在t＞0，使得$\mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}_0}) > 1 - \mathit{r} $，则对∀a∈A，A⊆B_a(t，r).

反之，设∀r∈(0，1)，存在t＞0，对∀a∈A，有A⊆B_a(t，r)，也即对∀x，y∈A，有M(x，y，t)＞1-r，则$ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, {\mathit{t}}) \ge 1 - \mathit{r}$.由r的任意性可知$\mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) = 1 $，即A是模糊有界的.

(iii) 设A是弱模糊有界的, $\mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) > 0 $.于是存在r′∈(0，1)，使得$ \mathop {\sup }\limits_{t > 0} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) > r'$，从而存在t₀＞0，使得$ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}_0) > r'$，令r₀=1-r',则对∀a，x∈A，M(a，x，t₀)＞1-r₀，即x∈B_a(t₀，r₀).因此A⊆B_a(t₀，r₀).

反之，若A⊆B_a(t₀，r₀)，则$ \mathop {\inf }\limits_{x, y \in A} M(\mathit{x}, \mathit{y}, \mathit{t}) \ge 1 - {\mathit{r}_0} > 0$.从而有

即A是弱模糊有界的.

(iv) 只要注意到“A是模糊无界的当且仅当A不是弱模糊无界的”即知.

下面的结论说明：在一定条件下，定理2的条件可以弱化.

定理3 设(X，M，*)是模糊度量空间，A⊆X.假定存在e∈X，a∈A及s＞0，使得M(a，e，s)=1，则：

(i) A是强模糊有界的当且仅当存在t₀＞0，对∀r∈(0，1)，都有A⊆B_e(t₀，r)；

(ii) A是模糊有界的当且仅当对∀r∈(0，1)，存在t＞0，有A⊆B_e(t，r)；

(iii) A是弱模糊有界的当且仅当存在r₀∈(0，1)和t₀＞0，有A⊆B_e(t₀，r₀).

证 以(ii)为例，仅需证充分性.假定对∀r∈(0，1)，存在t＞0，有A⊆B_e(t，r).由性质1，存在r′∈(0，r)，使得

对r′，存在t′＞0，有A⊆B_e(t′，r′).则对∀x，y∈A，有

于是A⊆B_x(2t′，r).由定理1知，A是模糊有界的.

定义5 设(X，M)是模糊度量空间，A⊆X，r∈(0，1].若存在t₀＞0，使得对∀x，y∈A，有M(x，y，t₀)＞1-r，则称A是X的r-有界子集.

注2 显然，A是r-有界的当且仅当存在t₀＞0，对∀a∈A，都有A⊆B_a(t，r₀).

由定理2易证明以下结论：

定理4 设(X，M)是模糊度量空间，A⊆X，则有：

(i) A是强模糊有界的当且仅当A关于r∈(0，1)是一致r-有界的；

(ii) A是模糊有界的当且仅当对∀r∈(0，1)，A都是r-有界的；

(iii) A是弱模糊有界的当且仅当存在r₀∈(0，1)，使得A是r₀-有界的.