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土木结构抗震性能的优劣关乎人类生命和财产安全，如何提高土木结构的抗震能力一直以来都是工程领域的研究热点. 磁流变阻尼器(MRD)是一种颇具应用前景的智能半主动控制装置，它兼有主动控制装置和被动控制装置的优点. 近年来，基于它的振动控制研究已经获得越来越多的关注[1-2]. 为了使MRD的优良减震特性得到充分发挥，基于它的半主动控制研究仍有待进一步深入.
现有的利用MRD进行振动控制的算法主要包括线性最优控制[3]、H∞控制[4]、滑模控制[5]、模糊控制[6]、神经网络控制[7]等. 在结构振动控制中，由于存在系统建模误差和结构参数摄动，难以建立精确的控制模型，因此要求所采用的控制算法具有较强的鲁棒性. 作为一种鲁棒控制方法，近年来H∞控制在MRD半主动振动控制中的研究受到越来越多的关注. Yeganehfallah等[4]为了实现地震波激励下的斜拉索桥MRD振动控制，设计了一种H∞鲁棒控制器. 研究结果表明，这种控制方法能够有效减小参数不确定性对系统地震响应的影响. Wu等[8]针对MRD悬架减振问题，设计了一种考虑时变载荷的H∞半主动控制方法，仿真和实验结果均表明在不同的路况激励下，该控制方法都能提升乘坐舒适度和车辆驾驶性能. 然而，这些研究中的H∞控制算法更侧重考虑系统的鲁棒稳定性，控制器的设计相对比较保守.
混合灵敏度H∞控制作为一种典型的H∞控制，可以通过调整控制器结构以及对闭环传递函数进行增益成形，满足系统的动态特性的不同需求，在保证鲁棒稳定的同时改善系统的性能指标. 张子健等[9]针对机翼颤振问题，设计了一种混合灵敏度H∞控制器，仿真结果表明，相比LQG控制器，该控制方法将颤振速度提高了12.2%，能够更加有效地抑制机翼颤振. Çetin等[10]针对全阶-六自由度建筑结构的MR阻尼器振动控制问题，提出一种考虑降阶模型的混合灵敏度H∞半主动控制方法，实验结果表明，这种控制方法具有良好的结构响应控制效果和鲁棒稳定性. 但是，混合灵敏度H∞控制性能在很大程度上取决于其加权函数的选择，且当控制对象和控制指标改变时，其加权函数也必须随之改变. 而目前加权函数还没有确切的选择方法，函数之间也没有特定的规律可循，通常需要经过一系列试计算确定. 为了克服加权函数的选取对工程经验的依赖性，采用智能优化算法对其进行优选是一种切实可行的方案[11].
基于上述分析，本文针对地震波激励下的结构振动问题，考虑到结构模型中忽略的不确定性和减振性能要求，提出一种改进的混合灵敏度H∞鲁棒半主动控制方法. 其中，鉴于混合灵敏度H∞控制器加权函数难以确定的问题，提出采用WOA对其进行优化设计. 虽然WOA已在多领域得到成功应用，但据笔者所知，尚未发现其在H∞控制器优化设计方面的研究. 在该半主动控制策略中，首先利用基于WOA优化的混合灵敏度H∞控制器计算主动控制力，然后引入限幅电压定律(CVL)[1]，使其根据主动控制力计算MRD的控制信号，最终实现基于MRD的半主动控制. 为验证所提出的控制方法的有效性，本文将针对地震波激励下的Benchmark结构，通过仿真测试，比较所提出的控制方法与现有其他几种控制方法的控制效果. 此外，还将分析地震波和结构参数变化时该控制方法的控制效果.
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本文所提出的H∞鲁棒半主动控制策略(简称WOA-H∞CVL)框图见图 1. 该半主动控制系统由两级子系统组成，第一级是混合灵敏度H∞控制系统，其作用是计算闭环控制系统的主动控制力. 鉴于全状态结构响应往往难以直接测量，即使可以全部测量，传感器的需求量将大幅增加，这将会增加控制成本，同时还有可能降低系统的可靠性，因此，本文采用基于加速度的输出反馈的控制方式.
确定了最优主动控制力后，决定MRD输入电压的切换方法是MRD半主动控制的关键. 本控制策略中第二级控制系统是采用限幅电压定律将主动控制力转换成MRD的控制信号. 其核心控制律[1]是：当MRD的阻尼力f=fc(主动控制力)时，控制电压u维持原值；当f＜fc或者这两个力同号时，为了让f尽可能与fc匹配，使u=umax；否则，令u=0.
本文采用WOA优化混合灵敏度H∞控制系统，在优化过程中，CVL也参与闭环计算，以获得更优的主动控制力. 由于位移响应和加速度响应分别与建筑结构的安全性和建筑内部人员在地震时的体感舒适度密切相关，故将这两种结构响应定为WOA优化目标函数(见公式(16))的两大因素. 需要注意的是，在本文中仿真时采用现象模型[1]作为MRD的正向模型，以替代真实的阻尼器，用于计算阻尼力.
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广义控制对象G和控制器K组成的标准H∞闭环系统如图 2所示. 图中，w，u，y和z分别是外部激励输入、控制输入、测量输出和受控输出.
广义控制对象G是一个两输入-两输出的开环系统，可将其分块表达为
受控输出z和受控输出y可用如上的分解矩阵表达为
根据图 2，控制输入u表示为
如果(I-G22K)是可逆的真实有理矩阵，则
其中，I是单位矩阵. 于是，从w到z的传递函数Tzw可用线性分式变换表示为
因此，标准H∞控制的设计问题可描述为求解一个正则实有理控制器K，使闭环系统内稳定且闭环传递函数Tzw的H∞范数达到最小.
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混合灵敏度H∞控制是对传递函数Tzw进行加权处理，构建混合灵敏度广义对象模型. 鉴于地震波激励下的结构的减振控制属于抗干扰问题，本文采用PS/T型混合灵敏度控制[10]，该混合灵敏度H∞控制标准形式如图 3所示.
图中，P是名义对象，即真实的控制对象. 虚线框所示内容为广义控制对象.K是控制器系统，u是控制器产生的控制力，w是地震波激励，y是测量得到的结构加速度响应，z1和z2是评估信号.
W1称为灵敏度加权函数，用于描述扰动的频谱，又称为干扰衰减性能指标，引入该加权函数是为了保证H∞控制系统的鲁棒性能，即提高系统输出信号y抵抗外部扰动w的能力. W2称为补灵敏度加权函数，它代表系统乘性不确定性的范数界，通过设计合理的W2可以抑制未建模动态不确定性，并限制控制量的大小，以防执行器因控制量过大造成损害.
图 3虚线框中的名义对象P与加权函数W1和W2组成了标准H∞控制中的广义对象G，G可表达为
针对图 3，可以构建一个标准受控系统，则从扰动输入w到受控输出z的闭环传递函数可表示为
令
则S和T分别称为灵敏度函数和补灵敏度函数.S越小，对外干扰信号的抵抗能力越强.T越小，系统的鲁棒稳定性越强.
因此，闭环传递函数可重新定义为
该混合灵敏度设计的目的是针对控制对象P，通过选择合适的加权函数W1和W2，找到一个合适的控制器K，使得上述闭环系统的闭环系统H∞范数达到最小.
针对该混合灵敏度H∞控制问题，当将其转化为标准H∞控制问题后，可以采用线性矩阵不等式(LMI)方法求得控制器K. 由上述分析可知，在确定实际受控对象P之后，广义对象G由加权函数决定，因此控制器设计成功与否的关键在于加权函数W1和W2的选择.
2.1. 标准H∞控制
2.2. 标准H∞控制混合灵敏度问题
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鲸鱼优化算法(WOA)是一种基于座头鲸Bubble-net捕食方法的新型元启发式优化算法，在该算法中，每一个鲸鱼个体都携带一串对应其位置的代码(即问题的可能解). 基于文献[14]，WOA的核心数学模型可以描述为搜索和包围猎物与螺旋更新位置两个阶段，其相应的伪代码为
初始化鲸鱼种群X(0)=[X1，X2，…，XN]
计算每个解的适应度
X*=最优解
开始执行WOA搜索
t=1
当t≤最大迭代次数Tmax时，
更新每个解的a，A，C，l以及p
如果p＜0.5
如果|A|＜1，则
用公式(14)更新当前解
如果|A|≥1，则
选择一个随机解Xrand
用公式(10)更新当前解
如果p≥0.5，则
用公式(15)更新当前解
检验解中的任何一个参数是否超过给定的搜索空间，如有，对其进行修正
计算每个解的适应度
如果有更优解，则更新X*
t=t+1
结束循环
返回X*
结束程序
1) 搜索和包围猎物
搜索猎物的数学模型表达为
其中t表示目前迭代次数，X表示该个体的位置向量，Xrand是从当前种群中选取的随机位置向量. 在每次迭代后如果有更优解，位置向量X将被更新.A和C是系数向量，表达为
式中，a在整个迭代过程中沿着2~0线性下降，r是一个变化范围为[0, 1]的随机向量.
需要注意的是，按照公式(9)和公式(10)执行猎物搜索的前提条件是|A|≥1，该搜索机制侧重算法的全局搜索. 当|A|＜1时，将执行收缩机制以便包围猎物，这是局部深度搜索阶段. 此时，根据如下公式进行解的更新：
其中，X*表示目前为止最优的位置向量(即最优解).
2) 螺旋更新位置
座头鲸在收缩包围猎物的同时，还作螺旋式上升运动. 为了模拟这种运动行为，假设采用收缩包围机制和螺旋上升机制更新解的概率均为50%. 该过程的数学模型如下：
其中p是一个[0, 1]之间的随机数，根据这个值，算法能够在螺旋和圆周运动之间切换，其中，后者也是一种局部深度搜索过程.D″=|X*(t)-X(t)|表示第i个鲸鱼个体迄今为止与最佳猎物的距离. b是用于定义对数螺旋线的常量，l是一个[-1, 1]之间的随机数.
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WOA-H∞CVL控制系统的具体设计流程描述如下：
1) 确定优化目标函数：
式中，
其中，xi(t)和ẍa i(t)分别是第i层楼的相对位移(后续简称为位移)和绝对加速度(后续简称为加速度)，xunctrl和ẍa，unctrl分别是结构在无控时的最大位移和最大绝对加速度. α是反映单目标函数O1和O2相对重要性的权重. 在本文中，令Obj亦为WOA中的适应度函数.
2) 根据名义受控对象和MRD的数量，确定控制系统的输入和输出的数量，并确定加权函数的结构及其待优化参数. 其中，为使所设计的控制器结构简单且在工程上易于实现，令加权函数均为对角化的实有理函数阵，即
为便于解耦计算，令该m输入-n输出的混合灵敏度H∞控制系统的加权函数上述元素的结构均为一阶正则形式，见第4.1节.
3) 对代表加权函数参数完整信息的待优化参数进行编码. 为了同时保证控制系统的抗干扰能力和稳定鲁棒性，分别将加权函数W1和W2选为低通滤波器和高通滤波器. 在此基础上，根据受控对象属性界定待优化参数的搜索空间.
4) 算法初始化：随机生成鲸鱼个体的位置信息X=[X1，X2，…，XN]，将其作为初始的待优化参数，并初始化算法参数，包括种群大小N和迭代次数Tmax.
5) 计算适应度：首先根据步骤2和3确定每个鲸鱼个体对应的加权函数W1和W2，然后求解广义对象G，接着基于LMI方法求解相应的控制器K，最后根据公式(16)计算第i个个体位置向量Xi的适应度F(Xi). 由于WOA-H∞CVL半主动控制系统是由混合灵敏度H∞主动控制系统和CVL组成的闭环系统，即使主动控制闭环系统稳定，其开环控制系统也可能失稳. 因此计算适应度F(Xi)时，首先判断混合灵敏度H∞开环系统是否稳定，如果否，则该解无效，令F(Xi)=1；否则，继续判断H∞CVL闭环半主动控制系统中任意一个主动控制力是否超过MRD的出力量程，如果是，则该解也无效，令F(Xi)=1；否则，根据公式(16)计算F(Xi)；令t=0，进入步骤6.
6) 开始迭代计算：令t=t+1，更新a，A，C，l以及p.
7) 更新解Xi：如果p＜0.5，则执行如下操作：如果|A|≥1，执行猎物搜索操作，即在当前种群范围中随机确定一个位置Xrand并根据公式(10)更新Xi；如果|A|＜1，执行猎物包围操作，即利用公式(14)更新Xi.
如果p≥0.5，则根据公式(15)执行螺旋更新操作.
8) 判断解的有效性：更新完每个个体的位置后，判断是否有任何参数超出预定的范畴，如果存在大于上限值(或者小于下限值)的参数，则用上限值(或者下限值)取代该参数.
9) 更新整个种群的最优解：如果新种群的最优解优于原种群的最优解，则将前者替代后者；否则，保持后者不变.
10) 判断是否满足算法终止条件：如果t＜Tmax，记录最优解及其相应的适应度，并返回步骤6；否则，终止迭代，输出最优解，其即为混合灵敏度加权函数的最优参数.
11) 求解MRD阻尼力：利用最优参数求解加权函数，继而求解出最优主动控制力，结合CVL计算半主动闭环控制系统中MRD所需的控制电压，并基于MRD正向模型计算减振所需的阻尼力.
3.1. WOA的工作原理
3.2. 半主动控制系统的优化流程
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减震对象是一个在地面和第一层之间安装一个MRD的三层剪切框架Benchmark结构，对该结构采用前20 s的El-Centro地震波激励，按照相似准则，将地震波的时间历程缩短为原来的五分之一[1, 21-22]. 该结构的质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼矩阵C分别为
MRD-受控结构系统的标准状态方程为
式中，状态变量
$\mathit{\boldsymbol{z}}(t) = [\mathit{\boldsymbol{x}}{(t)^{\rm{T}}}, \mathit{\boldsymbol{\dot x}}{(t)^{\rm{T}}}]_{2n \times 1}^{\rm{T}}$ 中的x(t)和$\mathit{\boldsymbol{\dot x}}(t)$ 分别为结构的位移和速度向量.$\mathit{\boldsymbol{y}}(t) = [\mathit{\boldsymbol{x}}{(t)^{\rm{T}}}, \mathit{\boldsymbol{\dot x}}{(t)^{\rm{T}}}, {\mathit{\boldsymbol{\ddot x}}_a}{(t)^{\rm{T}}}]_{3n \times 1}^{\rm{T}}$ 为输出状态向量，其中${\mathit{\boldsymbol{\ddot x}}_a}(t)$ 为绝对加速度(后续简称为加速度).其中，I和0分别是单位矩阵和零矩阵；Γ是MRD的位置向量；
${\mathit{\boldsymbol{\ddot x}}_g}$ 是地震波加速度；$\mathit{\boldsymbol{f}}(t) = {[{f_1}(t), {f_2}(t), \cdots , {f_m}(t)]^{\rm{T}}}$ 是m个MRD产生的阻尼力；Λ表示地震波加速度系数向量.针对本文减振对象，上述公式中的n=3，m=1，Λ=[-1,-1,-1]T，Γ=[-1,0,0]T，如令该控制器的输入仅为第三层的加速度，则该混合灵敏度H∞控制器是一个单输入-输出系统. 优化时，令目标函数的权重α=0.8，WOA的种群大小N和迭代次数Tmax分别为100和150. 为了进行算法性能的比较，分别采用遗传算法(GA)和差分进化算法(DE)进行控制器设计，其中GA的交叉率和变异率分别为0.7和0.02，DE的交叉概率和变异放大因子分别为0.1和0.4. 这两种算法的种群大小和迭代次数均与WOA相同. 图 4是3种优化算法的收敛曲线比较结果. 可见，WOA的寻优能力更强，它能够获得比GA和DE更优的目标值. 而且从迭代次数的角度而言，WOA的收敛速度也是最优的. 经过WOA优化得到的加权函数W1和W2分别为
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为了验证所提出的WOA-H∞CVL半主动控制算法的有效性，本节将其控制结果与未经优化的H∞CVL控制以及现有文献中的LQR-CVL控制[1]、模糊控制[21]、模糊GH2[22]的控制结果进行比较. 其中，通过试算法，确定未经优化的H∞CVL控制中的加权函数的参数如下：
在无控和使用这5种控制方法时得到的所有楼层的响应峰值的比较结果见表 1. 其中，xi，di和
${\ddot x_i}$ 分别为第i层的位移、层间位移和加速度响应的峰值，F是控制方法中所需的最大阻尼力，括号中的数值是有控响应峰值相对于无控响应峰值的减小率.由表 1可知，虽然LQR-CVL控制对最大位移的控制效果略优于本文提出的WOA-H∞CVL控制，但其最大加速度减小率仅为50%. 虽然模糊GH2控制对加速度的控制效果是所有控制方法中最佳的，但是其对各层位移的控制效果均不如WOA-H∞CVL控制. 通过综合分析可知，在5种控制方法中，本文提出的WOA-H∞CVL方法对最大位移和最大加速度响应的综合控制效果最佳，这两个值相对于无控时的减小率分别为77%和64%. 说明控制器的设计满足了优化目标函数的要求，证明了基于WOA的优化方法的有效性. 图 5显示了在WOA-H∞CVL控制下的各层响应峰值控制效果. 由表 1和图 5可见，WOA-H∞CVL方法还可以显著减小其他楼层的位移和加速度响应峰值以及所有楼层的层间位移响应峰值. 另一方面，除了模糊GH2控制以外，WOA-H∞CVL控制所需的最大阻尼力小于另外3种控制方法. 为了更直观地说明本文控制算法的减震效果，图 6和图 7分别比较了无控时和WOA-H∞CVL控制时第三层的位移时程响应和加速度时程响应，由图可见，这两种响应均得到明显的抑制.
接着，为了评估所设计的WOA-H∞CVL控制器对未受训地震波激励时的结构振动控制效果，分别采用TianjinNS地震波和Taft地震波对上述结构进行动态激励，图 8和图 9分别显示了在这两个地震波激励下的结构响应峰值的控制效果.
由图可见，在El-Centro地震波激励下所设计的控制器仍然可以有效控制未受训地震波激励下的所有楼层的位移、层间位移和加速度响应.
最后，为了分析结构参数变化对WOA-H∞CVL控制效果的影响，假设该结构所有楼层的刚度都变化+10%和+30%，这两种工况下的控制结果分别见图 10和图 11.
由图可见，针对原始结构设计得到的WOA-H∞CVL控制算法仍能有效地控制现有结构所有楼层的位移、层间位移和加速度响应. 其中，当刚度变化率为+30%时，控制效果虽然有所下降，但所有楼层的位移、层间位移和加速度响应仍然得到非常显著的抑制.
4.1. 系统建模及优化结果
4.2. 控制结果讨论
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1) 使用WOA优化混合灵敏度H∞控制的加权函数参数，克服了普通H∞控制系统设计的保守性，避免了传统的人工试凑. 此外，WOA的寻优能力和收敛速度均优于遗传算法和差分进化算法.
2) 所设计的WOA-H∞CVL控制能够使最大位移和最大加速度分别比无控时下降77%和64%，同时还能有效地降低所有楼层的层间位移响应. 这种控制方法对结构响应的综合控制性能优于未经优化的H∞CVL控制以及现有文献中的LQR-CVL控制、模糊控制、模糊GH2控制.
3) WOA-H∞CVL控制方法所需要的最大阻尼力小于其他3种所比较的控制方法，说明了该算法在保证良好的结构响应控制效果的同时，还具有较优的节能性.
4) 以TianjinNS和Taft地震波为例，证明了针对El-Centro波激励所设计的WOA-H∞CVL控制算法仍然能够有效控制未受训地震波激励下的结构响应. 以刚度变化+10%和+30%为例，证明了针对原始结构所设计的WOA-H∞CVL控制算法也具有较强的抵抗结构刚度变化的鲁棒性.