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根据文献[1]的介绍，D'Alembert和Euler首次提出了用来描述弹性弦在横向上微小振动过程中弦的变化模型.后来，文献[2]考虑了由固定端点间弦的长度变化而引起的张力微小变化，形成了著名的Kirchhoff模型

在模型(1)中，u(x，t)为弦的横向位移，m为单位长度的质量，α₀和β₀为固定端，l₀为初始弦长，τ₀为初始张力，k为弦的杨氏模，f(t，x，u)≡0为外作用力.Kirchhoff模型中的积分项 $\int_{{\alpha _0}}^{{\beta _0}} {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x$引起了学者对该模型的一般情形进行数学反面分析的兴趣，如文献[3-5]等，后来这类问题也被称为非局部问题.文献[6]考虑了带有非线性项的传送带边界振动控制问题，构造了模型

这里v表示传送带轴向速度，v_T＞0是常量，f(x，u)≡0.受此影响，令ε=1-v²，我们考虑模型(2)受异号源和反作用控制下的一种推广，即研究问题

其中：Ω⊂ $\mathbb{R}^N $(N=1，2，3)是光滑有界域，N=1时，用单向导数的存在性表示边界光滑；f∈L²(Ω)几乎处处为正，且f∉H₀¹(Ω)；ε，λ和μ为参数，λ＞0，μ＞0，ε≥0.当作用力f(x)为正向时，问题(3)的一般情形在文献[7]中已有部分结果，文献[7]利用Ekeland变分原理得到了近共振解的存在性.当作用力f(x)为0时，文献[8]构造了问题(3)没有边界限制状态下无穷解的解析式.文献[9]利用代数分析方式获得了线性同号源下模型(2)的无穷解.在同号源和正向作用的控制下，文献[10]利用山路引理和Ekeland变分原理证明了模型(2)至少两个正解的存在性.更多的研究参见文献[11-20]及其引用.本文的目的是利用Ekeland变分原理证明问题(3)解的存在性和多重性.令

由文献[21]知，存在唯一的φ₁∈H₀¹(Ω)使得

本文的主要结果如下：

定理1  设f(x)∈L²(Ω)且f(x)＞0(a.e. x∈Ω).如果f(x)∉H₀¹(Ω)，0 < λ < λ₁，则当ε≥0时，对任意的μ＞0，问题(3)至少存在1个正解.更进一步，ε＞0时，存在μ^*=μ^*(ε，λ)＞0，使得对任意的μ∈(0，μ^*)，问题(3)至少存在3个非平凡解.

证

定义I：H₀¹(Ω)→ $\mathbb{R}$，∀u∈H₀¹(Ω)，

则I是可微的，并且对任意的v∈H₀¹(Ω)，有

也就是说泛函I的临界点与问题(3)的解等价.

下面我们分3部完成定理1的证明.

第一步  泛函I满足P.S.条件.

事实上，若存在M＞0，使得|I(u_n)| < M且I′(u_n)→0，那么

则当n→∞时，对∀v∈H₀¹(Ω)，有

取v=u_n，则由(5)式得

注意到0 < λ < λ₁，

则由

从而有

即{u_n}在H₀¹(Ω)中有界，于是存在u∈H₀¹(Ω)和{u_n}的子列{u_nk}，使得

从而有I′(u_nk)→0，则〈I′(u_nk)，u_nk-u〉→0，即

由(7)式可知

因此 $\left(\int_{\mathit{\Omega}}\left|\nabla u_{n_{k}}\right|^{2}-\varepsilon\right) \rightarrow 0$或者 $\int_{\mathit{\Omega}} \nabla u_{n_{k}} \nabla\left(u_{n_{k}}-u\right) \mathrm{d} x \rightarrow 0$.如果 $\left(\int_{\mathit{\Omega}}\left|\nabla u_{n_{k}}\right|^{2}-\varepsilon\right) \rightarrow 0$，则根据{u_nk}的有界性和(6)式知，对任意的v∈H₀¹(Ω)，有

根据变分法基本引理，λu³+f≡0(a.e. x∈Ω)，即 $u=\left(\frac{\mu f}{-\lambda}\right)^{\frac{1}{3}} ({\rm{a. e.}} x \in \Omega )$，由于f∉H₀¹(Ω)，则u∉H₀¹(Ω)，这与u∈H₀¹(Ω)矛盾.因此 $\left(\int_{\mathit{\Omega}}\left|\nabla u_{n_{k}}\right|^{2} \mathrm{~d} x-\varepsilon\right) \not \rightarrow 0$，则

因此

于是

因此{u_nk}是{u_n}中强收敛的子列，故满足P.S.条件.

第二步  在定理1的条件下，当ε≥0时，对任意μ＞0，可证问题(3)有一个正解.

事实上，如果u∈H₀¹(Ω)是问题(3)的解，那么

因此有

由此可知

因此问题(3)在H₀¹(Ω)上的解，转化为在如下集合中寻找：

其中

由f(x)∈L²(Ω)和0 < λ < λ₁，通过直接计算，得

由此可见，I(u)是强制的且下方有界的连续泛函.

当ε=0时，令 $\hat{u}_{1}=\left(\frac{3 \mu \int_{\mathit{\Omega}} f \varphi_{1} \mathrm{~d} x}{\lambda_{1}-\lambda}\right)^{\frac{1}{2}} \varphi_{1}$；当ε＞0时，令 $\hat{u}_{2}=\left(\frac{2 \varepsilon \sqrt{\lambda_{1}}}{\lambda_{1}-\lambda}\right)^{\frac{1}{2}} \varphi_{1}$.显然， $\hat{u}_{1}, \hat{u}_{2} \in H_{0}^{1}(\Omega)$，且

因0 < λ < λ₁时，I(u)是强制的且下方有界的连续函数，那么存在极小化序列{v_n}⊂H₀¹(Ω)，使得

由于H₀¹(Ω)空间在度量 $d(x, y) = {\left( {\int_{\mathit{\Omega}} {{{\left| {\nabla (x - y)} \right|}^2}{\rm{d}}x} } \right)^{\frac{1}{2}}}$之下是完备的度量空间，根据Ekeland变分原理^[22-23]，必存在u_n∈H₀¹(Ω)，使得对任意u∈H₀¹(Ω)，当u≠u_n时，有

因此，对任意μ＞0，由于f∈L²(Ω)且f(x)＞0(a.e. x∈Ω)，那么当n→∞时，有

其中：ε=0时， $\hat u = {\hat u_1}$；ε>0时， $\hat u = {\hat u_2}$.易知{u_n}存在收敛子列{u_nk}.记 ${u_*} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {u_{{n_k}}}$，则

并且I(u_*)=0，即u_*是I的一个全局极小点.显然u_*≠0.从而问题(3)至少有1个非平凡解.

第三步  在定理1的条件下，当ε＞0时，存在μ^*=μ^*(ε，λ)＞0，对任意的μ∈(0，μ^*)，问题(3)至少存在3个非平凡解.

事实上，取H₀¹(Ω)的两个子集：

那么H⁺和H^-都是H₀¹(Ω)中的闭子集.同时，根据第二步的证明，易知泛函I的全局极小点必然在H⁺中取得，即

亦即u_*∈H⁺是一正解.从而只需证u_*∈H⁺即可.事实上，对任意u∈H₀¹(Ω)，记

那么

同时u⁺，u^_，(u⁺-u^-)∈H₀¹(Ω)，且 $\int_{\mathit{\Omega}} {\nabla {u^ + }\nabla {u^ - }{\rm{d}}x} = 0$.因此

注意到u_*∈H₀¹(Ω)，令v_*=u_*⁺-u_*^-∈H₀¹(Ω)，易得v_*(x)∈H⁺∩Φ.如果u_*∉H⁺，那么u_*^-≢0.根据f＞0(a.e. x∈Ω)，则有

即I(v_*) < I(u_*)，这与u_*是全局极小点矛盾.因此u_*∈H⁺，也即u_*是一个正解.

其次，令

对任意μ∈(0，μ_*)，有

也就是说

因此在H^-上，类似u_*的证明，可得问题(3)存在解u_**∈H^-.更进一步，根据Pucci三解定理^[24]知，泛函I存在异于u_*和u_**的第三个临界点u_***.因此，在定理1的条件下，问题(3)存在3个不同解，这就完成了定理1的证明.

本文根据Ekeland变分原理证明了问题(3)在适当假设条件下解的存在性和多重性.另外，根据文献[22]的介绍，当ε=0时，问题(3)称为临界转速问题，此时的基本固有频率消失，具有发散不稳定性.通常的研究中会假设ε属于次临界的转速范围，即ε＞0，这种转速可以理解为发动机在额定功率内的转速.对于燃油或者燃气等材料作为发动机原料的装置，一般来说技术人员的稳定操作总可以使得速度低于临界速度.然而，在电力系统特别是交变电流控制的发动机中，由于电压、电流的不稳定，会导致速度的不稳定，当电流过强时，速度可能会超过临界速度，即ε < 0，此时会有烧坏发动机的危险.而当电流过弱时，又可能因为速度过慢而导致发动机线圈发热而烧坏.注意对于燃油或者燃气等材料作为发动机原料的装置，速度过低便会自动熄火而不会烧坏发动机.人们总希望添加适当的同号源或者异号源以及其他形式的装置(非线性项g(x，u)≠0)，来自动控制速度不高于临界速度，同时又不低于可能烧坏发动机的最低速度，以保证发动机正常运行.u³表示异号源，f(x)为反向作用，系数λ，μ可以理解为控制系数.异号源和反向作用主要用来控制发动机过快的速度，以使得转速不超过临界速度.根据问题的需要，并注意到ε=0时的临界速度，因此在物理意义上，问题(3)中的参数ε应该属于区间[0, 1]，但从数学研究的角度，将研究范围稍加扩宽也无妨，因此问题(3)的研究是有实际意义的.