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基于Dunkl集上分数次极大算子及其交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的估计

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芮俪, 逯光辉. 基于Dunkl集上分数次极大算子及其交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的估计[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2022, 44(4): 122-127. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2022.04.015
引用本文: 芮俪, 逯光辉. 基于Dunkl集上分数次极大算子及其交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的估计[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2022, 44(4): 122-127. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2022.04.015
RUI Li, LU Guanghui. Estimation of Fractional Maximal Operator and Its Commutator on Generalized Orlicz-Morrey Spaces over Dunkl Setting[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2022, 44(4): 122-127. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2022.04.015
Citation: RUI Li, LU Guanghui. Estimation of Fractional Maximal Operator and Its Commutator on Generalized Orlicz-Morrey Spaces over Dunkl Setting[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2022, 44(4): 122-127. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2022.04.015

基于Dunkl集上分数次极大算子及其交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的估计

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11561062);甘肃省高等学校科研项目(2020A-010);西北师范大学青年教师科研能力提升项目
详细信息
    作者简介:

    芮俪,硕士研究生,主要从事调和分析的研究 .

    通讯作者: 逯光辉,副教授
  • 中图分类号: O174.2

Estimation of Fractional Maximal Operator and Its Commutator on Generalized Orlicz-Morrey Spaces over Dunkl Setting

  • 摘要: 本文首先得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义;其次,利用Dunkl集的性质以及调和分析方法,证明了带有Dunkl集的分数次极大算子Mαk及其与BMOk(Rd)函数生成的交换子Mαkb在带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间上的有界性.
  • 开放科学(资源服务)标识码(OSID):

    众所周知,算子与函数空间相关问题的研究一直是现代调和分析的热点问题. 例如,文献[1]证明了带粗糙核的奇异积分Toplitz-型算子在加权BMO空间上的有界性. 更多研究可参见文献[2-5]. 文献[6]首次介绍了欧氏空间上的差微分算子,即Dunkl算子{Dkj}j=1d. Dunkl算子是一类与有限反射群相关的微分反射算子. 其不仅将黎曼对称空间中常见的偏导数与不变微分算子进行了推广,而且还推广了布朗运动模型,有关该类算子的更多研究和结果,可参见文献[7-14].

    对任意vRd\{0},定义σvv垂直于超平面HvRd的反射

    σv(x)=x(2x,vv2)v,xRd

    其中〈·,·〉为欧氏空间上的内积,且对任意xRd,有‖x‖=x,x. 此外,设有限集DRd\{0},若对于任意vD,恒有σvD=D,则称D为根系统.

    设由反射族{σv}vD构成的有限群G为根系统反射群. 对任意vRkv≥0,用hk表示Rd上的权函数,有

    hk(x)=vD+|x,v|kvxRd

    hkG不变函数,且是γk次齐次的,其中γk=vD+kvD+为正极子系统. 基于hk的前提下,文献[15]得到了与Dunkl集相关的极大算子在Orlicz空间上的有界性. 随后,文献[16]证明了基于Dunkl集上分数次极大算子在Orlicz空间上的有界性. 文献[5]得到了极大算子与奇异算子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 受以上结论的启发,本文得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义,并证明了基于Dunkl集上分数次极大算子及其与BMOk(Rd)生成的交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 设

    B(x,r)={yRd:|xy|<r}

    是中心为xRd且半径为r的球,在Dunkl集上的测度为

    |B(x,r)|k=B(0,r)h2k(x)dx=(akd+2γk)rd+2γk

    其中

    ak=(Sd1h2k(x)dσ(x))1

    Sd-1Rd上的单位球,为标准化曲面测度.

    定义1[16]  设fLloc1,k(Rd),带有Dunkl集的有界平均振荡空间定义为

    BMOk(Rd)={fL1,kloc (Rd):f,k<}

    其中

    f,k=sup

    fB(xr)表示函数f在球B(xr)上的平均值.

    设0<αd+2γkfLloc1,k( {\mathbb{R}}^d),带Dunkl集的分数次极大算子定义为

    M_{\alpha, k} f(x)=\sup \limits_{r \gt 0}\left(|B(x, r)|_{k}\right)^{-1+\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \int_{B(x, r)}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \qquad x \in \mathbb{R}^{d}

    给定b∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),与带Dunkl集的分数次极大算子相关的交换子Mαkb定义为

    M_{\alpha, k, b} f(x)=\sup \limits_{r \gt 0}\left(|B(x, r)|_{k}\right)^{-1+\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \int_{B(x, r)}|b(x)-b(y)||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \qquad x \in \mathbb{R}^{d}

    若存在连续凸函数Φ:[0,∞) [0,∞],满足

    \lim \limits_{t \rightarrow \infty} \varPhi(t)=\infty \quad \lim \limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varPhi(t)=\varPhi(0)=0

    则称Φ为Young函数.

    全文用Y表示满足0<Φ(r)<∞的全体Young函数构成的集合. 根据凸性以及Φ(0)=0,容易验证Young函数都是增的.

    定义2[16]  设ΦY,则带有Dunkl集的Orlicz空间LΦk( {\mathbb{R}}^d)定义为

    L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left( { \mathbb{R} }^{d}\right): \text { 存在 } \lambda \gt 0 \text {, 使得 } \int_{\mathbb{R}^{d}} \varPhi(\lambda|f(x)|) h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \lt \infty\right\}

    \|f\|_{L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\inf \left\{\lambda \gt 0: \int_{\mathbb{R}^{d}} \Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right) h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 1\right\}

    带有Dunkl集的弱Orlicz空间WLΦk( {\mathbb{R}}^d)的定义为

    W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \lt \infty\right\}

    \|f\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\inf \left\{\lambda \gt 0: \sup \limits_{t \gt 0} \varPhi(t) m\left(t, \frac{f}{\lambda}\right)_{k} \leqslant 1\right\}

    其中

    m\left(\frac{f}{\lambda}, t\right)_{k}=\left|\left\{x \in \mathbb{R}^{d}: \frac{|f(x)|}{\lambda} \gt t\right\}\right|_{k}

    接下来,我们回顾一些逆函数的有关概念[12]. 对于一个函数ΦY,且0≤t≤∞,设

    \varPhi^{-1}(t)=\inf \{r \geqslant 0: \varPhi(r) \gt t\}

    ΦY,则称Φ-1Φ的逆函数. 很明显,对于任意的r≥0,有rΦ-1(r){{\mathit{\tilde \Phi }}^{ - 1}}(r)≤2r,其中{{\mathit{\tilde \Phi }}}(r)定义为

    \widetilde{\varPhi}(r)= \begin{cases}\sup \{r t-\varPhi(t): t \in[0, \infty)\} & r \in[0, \infty) \\ \infty & r=\infty\end{cases}

    ΦY,若存在常数C>1,使得对任意的r>0,有Φ(2r)≤(r),则称Φ满足Δ2条件,即ΦΔ2. 另一方面,若Φ(r)≤ \frac{1}{{2\kappa }}Φ(κr),则称Φ满足∇2条件,即Φ∈∇2.

    类似地,我们给出如下带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间的定义:

    定义3  设φ(xr)>0为 {\mathbb{R}}^d×(0,∞)上的可测函数,ΦY,带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间定义为

    M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{M^{\varPhi, \varphi, k}} \lt \infty\right\}

    其中

    \|f\|_{M^{\varPhi, \varphi, k}}=\sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, t \gt 0} \varphi(x, r)^{-1} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, r))}

    相应地,带有Dunkl集的弱广义Orlicz-Morrey空间定义为

    W M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in W L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{W M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \lt \infty\right\}

    其中

    \|f\|_{W M^{\varPhi, \varphi, k}}=\sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, t \gt 0} \varphi(x, r)^{-1} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{W L^{\varPhi, k}(B(x, r))}

    全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方可能不尽相同. 对于 {\mathbb{R}}^d上的可测子集EχE表示其上的特征函数.

    引理1[15]  若fg {\mathbb{R}}^d上的可测函数,ΦY {\mathit{\tilde \Phi }}(r)为其补函数,则有

    \int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x) g(x)| h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 2\|f\|_{L^{\varPhi, k}}\|g\|_{L^{\widetilde{\varPhi}(r), k}}

    引理2[16]  设ΦY,则对任意球B {\mathbb{R}}^d,有

    \left\|\chi_{B}\right\|_{L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\left\|\chi_{B}\right\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\frac{1}{\varPhi^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)}

    引理3[16]  设ΦY,则对任意球B,有

    \int_{B}|f(x)| h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 2|B|_{k} ^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B)}

    引理4[16]   (ⅰ)若f∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),则存在p∈[1,∞),有

    \|f\|_{*, k} \approx \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0}\left(\frac{1}{|B(x, r)|_{k}} \int_{B(x, r)}\left|f(y)-f_{B(x, r)}\right|^{p} h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}}

    且对任意0<2rt,有

    \left|f_{B(x, r)}-f_{B(x, t)}\right| \leqslant\left. C\|f\|\right|_{*, k} \ln \frac{t}{r}

    (ⅱ)设f∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),则对ΦYΔ2,有

    \|f\|_{*, k} \approx \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varPhi^{-1}\left(|B(x, r)|_{k}^{-1}\right)\left\|f-f_{B(x, r)}\right\|_{L^{\varPhi, k}(B)}

    引理5[15]  设ΦYΔ2,球B {\mathbb{R}}^dfLΦk(B),则对于1<p<∞,有

    \frac{1}{2|B|_{k}} \int_{B}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \leqslant \varPhi^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B)} \leqslant C\left(\frac{1}{|B|_{k}} \int_{B}|f(y)|{ }^{p} h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}}

    其中C是不依赖于fb的正常数.

    定理1  设0<αd+2γkΦY∩∇2,且B=B(xr),若函数对(φ1φ2)和(ΦΨ)满足条件

    r^{-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \varPhi^{-1}(r) \leqslant C \varPsi^{-1}(r) \qquad r \gt 0 (1)
    \sup \limits_{r \lt t \lt \infty} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) {\mathop {\rm{ess\ inf}}\limits_{r \lt t \lt \infty}} \frac{\varphi_{1}(x, s)}{\varPhi^{-1}\left(s^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \leqslant C \varphi_{2}(x, r) (2)

    MαkMΦφ1k( {\mathbb{R}}^d)到MΨφ2k( {\mathbb{R}}^d)有界.

      对任意的fLlocΦk( {\mathbb{R}}^d),有f=f1+f2,其中f1=2Bf2=f{\chi _{{{\mathbb{R}}^d}\backslash 2B}}r>0,则有

    \left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant\left\|M_{\alpha, k} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\left\|M_{\alpha, k} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}

    MαkLΦk( {\mathbb{R}}^d)到LΨk( {\mathbb{R}}^d)有界[13],得到

    \left\|M_{\alpha, k} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))}

    设任意zB,注意到当B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)= \emptyset 时,有tr. 事实上,若yB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B),有t>|y-z|≥|x-y|-|x-z|>2r-r=r. 另一方面,若yB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B),有|x-y|≤|y-z|+|x-z|<t+r<2t. 因此,B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)⊂B(x,2t). 则

    M_{\alpha, k} f_{2}(z) \leqslant C \sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y

    由引理2、引理3和(1)式,有

    \left\|M_{\alpha, k} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))}

    则有

    \left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))}

    结合(2)式可知

    \begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{M^{\varPsi, \varphi_{2}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} & \leqslant C \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varphi_{2}^{-1}(x, r) \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))} \leqslant \\ & C\|f\|_{M^{\varphi, \varphi_{1}, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \end{aligned}

    定理2  设0<αd+2γkb∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),ΦYγ∩∇2ΨYΔ2,若函数对(φ1φ2)和(ΦΨ)满足以下条件:

    r^{\alpha} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)+\sup \limits_{r \lt t \lt \infty}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPhi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) t^{\alpha} \leqslant C \varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right) \qquad r \gt 0 (3)
    \sup \limits_{r \lt t \lt \infty}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) \underset{t \lt s \lt \infty}{\operatorname{ess} \inf } \frac{\varphi_{1}(x, s)}{\varPhi^{-1}\left(s^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \leqslant C \varphi_{2}(x, r) (4)

    MαkbMΦφ1k( {\mathbb{R}}^d)到MΨφ2k( {\mathbb{R}}^d)上有界.

      设0<αd+2γkb∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),ΦYγ∩∇2ΨYΔ2,若ΦΨ满足(3)式,则对任意的球B=B(xr)和fLΦk( {\mathbb{R}}^d),有f=f1+f2,其中f1f2同定理1证明中的分解相一致,则

    \left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant\left\|M_{\alpha, k, b} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}

    MαkbLΦk( {\mathbb{R}}^d)到LΨk( {\mathbb{R}}^d)有界[13],得到

    \left\|M_{\alpha, k, b} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))}

    对任意的zBB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)= \emptyset ,且B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)⊂B(x,2t). 因此

    M_{\alpha, k, b} f_{2}(z) \leqslant C \sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}|b(z)-b(y)||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y

    进一步,得到

    \begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} &\leqslant C\left\|\sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}\left|b(y)-b_{B(x, r)}\right||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\\ &\left\|\sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}\left|b(\cdot)-b_{B(x, r)}\right||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}= \\ &J_{1}+J_{2} \end{aligned}

    由引理2、引理1、引理3和引理4,有

    J_{1} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))}

    对于J2,由引理4、(3)式和引理3,有

    J_{2} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))}

    J1J2的估计可得

    \left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))}

    则可得到

    \left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))}

    再结合(4)式,不难得到

    \begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{M^{\varPsi, \varphi_{2}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} \leqslant &C\|b\|_{*, k} \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varphi_{2}^{-1}(x, r) \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} \leqslant\\ &C\|b\|_{*, k}\|f\|_{M^{\varPhi, \varphi_{1}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} \end{aligned}
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    [16] GULIYEV V S, MAMMADOV Y Y, MUSLUMOVA F. Characterization of Fractional Maximal Operator and Its Commutators on Orlicz Spaces in the Dunkl Setting[J]. Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications, 2020, 11(4): 1699-1717. doi: 10.1007/s11868-020-00364-w
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    1. 邵旭馗,王素萍. 带变量核的高阶交换子在加权Morrey-Herz空间上的有界性. 西南大学学报(自然科学版). 2022(07): 126-131 . 百度学术

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出版历程
  • 收稿日期:  2021-05-23
  • 刊出日期:  2022-04-20

基于Dunkl集上分数次极大算子及其交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的估计

    通讯作者: 逯光辉,副教授
    作者简介: 芮俪,硕士研究生,主要从事调和分析的研究
  • 西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070
基金项目:  国家自然科学基金项目(11561062);甘肃省高等学校科研项目(2020A-010);西北师范大学青年教师科研能力提升项目

摘要: 本文首先得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义;其次,利用Dunkl集的性质以及调和分析方法,证明了带有Dunkl集的分数次极大算子Mαk及其与BMOk( {\mathbb{R}}^d)函数生成的交换子Mαkb在带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间上的有界性.

English Abstract

  • 开放科学(资源服务)标识码(OSID):

  • 众所周知,算子与函数空间相关问题的研究一直是现代调和分析的热点问题. 例如,文献[1]证明了带粗糙核的奇异积分Toplitz-型算子在加权BMO空间上的有界性. 更多研究可参见文献[2-5]. 文献[6]首次介绍了欧氏空间上的差微分算子,即Dunkl算子{Dkj}j=1d. Dunkl算子是一类与有限反射群相关的微分反射算子. 其不仅将黎曼对称空间中常见的偏导数与不变微分算子进行了推广,而且还推广了布朗运动模型,有关该类算子的更多研究和结果,可参见文献[7-14].

    对任意v {\mathbb{R}}^d\{0},定义σvv垂直于超平面Hv {\mathbb{R}}^d的反射

    其中〈·,·〉为欧氏空间上的内积,且对任意x {\mathbb{R}}^d,有‖x‖= \sqrt {\left\langle {x, x} \right\rangle } . 此外,设有限集D {\mathbb{R}}^d\{0},若对于任意vD,恒有σvD=D,则称D为根系统.

    设由反射族{σv}vD构成的有限群G为根系统反射群. 对任意v {\mathbb{R}}kv≥0,用hk表示 {\mathbb{R}}^d上的权函数,有

    hkG不变函数,且是γk次齐次的,其中γk= \sum\limits_{v \in {D^ + }} {{k_v}} D+为正极子系统. 基于hk的前提下,文献[15]得到了与Dunkl集相关的极大算子在Orlicz空间上的有界性. 随后,文献[16]证明了基于Dunkl集上分数次极大算子在Orlicz空间上的有界性. 文献[5]得到了极大算子与奇异算子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 受以上结论的启发,本文得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义,并证明了基于Dunkl集上分数次极大算子及其与BMOk( {\mathbb{R}}^d)生成的交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 设

    是中心为x {\mathbb{R}}^d且半径为r的球,在Dunkl集上的测度为

    其中

    Sd-1 {\mathbb{R}}^d上的单位球,为标准化曲面测度.

    定义1[16]  设fLloc1,k( {\mathbb{R}}^d),带有Dunkl集的有界平均振荡空间定义为

    其中

    fB(xr)表示函数f在球B(xr)上的平均值.

    设0<αd+2γkfLloc1,k( {\mathbb{R}}^d),带Dunkl集的分数次极大算子定义为

    给定b∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),与带Dunkl集的分数次极大算子相关的交换子Mαkb定义为

    若存在连续凸函数Φ:[0,∞) [0,∞],满足

    则称Φ为Young函数.

    全文用Y表示满足0<Φ(r)<∞的全体Young函数构成的集合. 根据凸性以及Φ(0)=0,容易验证Young函数都是增的.

    定义2[16]  设ΦY,则带有Dunkl集的Orlicz空间LΦk( {\mathbb{R}}^d)定义为

    带有Dunkl集的弱Orlicz空间WLΦk( {\mathbb{R}}^d)的定义为

    其中

    接下来,我们回顾一些逆函数的有关概念[12]. 对于一个函数ΦY,且0≤t≤∞,设

    ΦY,则称Φ-1Φ的逆函数. 很明显,对于任意的r≥0,有rΦ-1(r){{\mathit{\tilde \Phi }}^{ - 1}}(r)≤2r,其中{{\mathit{\tilde \Phi }}}(r)定义为

    ΦY,若存在常数C>1,使得对任意的r>0,有Φ(2r)≤(r),则称Φ满足Δ2条件,即ΦΔ2. 另一方面,若Φ(r)≤ \frac{1}{{2\kappa }}Φ(κr),则称Φ满足∇2条件,即Φ∈∇2.

    类似地,我们给出如下带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间的定义:

    定义3  设φ(xr)>0为 {\mathbb{R}}^d×(0,∞)上的可测函数,ΦY,带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间定义为

    其中

    相应地,带有Dunkl集的弱广义Orlicz-Morrey空间定义为

    其中

    全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方可能不尽相同. 对于 {\mathbb{R}}^d上的可测子集EχE表示其上的特征函数.

    引理1[15]  若fg {\mathbb{R}}^d上的可测函数,ΦY {\mathit{\tilde \Phi }}(r)为其补函数,则有

    引理2[16]  设ΦY,则对任意球B {\mathbb{R}}^d,有

    引理3[16]  设ΦY,则对任意球B,有

    引理4[16]   (ⅰ)若f∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),则存在p∈[1,∞),有

    且对任意0<2rt,有

    (ⅱ)设f∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),则对ΦYΔ2,有

    引理5[15]  设ΦYΔ2,球B {\mathbb{R}}^dfLΦk(B),则对于1<p<∞,有

    其中C是不依赖于fb的正常数.

    定理1  设0<αd+2γkΦY∩∇2,且B=B(xr),若函数对(φ1φ2)和(ΦΨ)满足条件

    MαkMΦφ1k( {\mathbb{R}}^d)到MΨφ2k( {\mathbb{R}}^d)有界.

      对任意的fLlocΦk( {\mathbb{R}}^d),有f=f1+f2,其中f1=2Bf2=f{\chi _{{{\mathbb{R}}^d}\backslash 2B}}r>0,则有

    MαkLΦk( {\mathbb{R}}^d)到LΨk( {\mathbb{R}}^d)有界[13],得到

    设任意zB,注意到当B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)= \emptyset 时,有tr. 事实上,若yB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B),有t>|y-z|≥|x-y|-|x-z|>2r-r=r. 另一方面,若yB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B),有|x-y|≤|y-z|+|x-z|<t+r<2t. 因此,B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)⊂B(x,2t). 则

    由引理2、引理3和(1)式,有

    则有

    结合(2)式可知

    定理2  设0<αd+2γkb∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),ΦYγ∩∇2ΨYΔ2,若函数对(φ1φ2)和(ΦΨ)满足以下条件:

    MαkbMΦφ1k( {\mathbb{R}}^d)到MΨφ2k( {\mathbb{R}}^d)上有界.

      设0<αd+2γkb∈BMOk( {\mathbb{R}}^d),ΦYγ∩∇2ΨYΔ2,若ΦΨ满足(3)式,则对任意的球B=B(xr)和fLΦk( {\mathbb{R}}^d),有f=f1+f2,其中f1f2同定理1证明中的分解相一致,则

    MαkbLΦk( {\mathbb{R}}^d)到LΨk( {\mathbb{R}}^d)有界[13],得到

    对任意的zBB(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)= \emptyset ,且B(zt)∩( {\mathbb{R}}^d\2B)⊂B(x,2t). 因此

    进一步,得到

    由引理2、引理1、引理3和引理4,有

    对于J2,由引理4、(3)式和引理3,有

    J1J2的估计可得

    则可得到

    再结合(4)式,不难得到

参考文献 (16)

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