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开放科学(资源服务)标识码(OSID):
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众所周知,算子与函数空间相关问题的研究一直是现代调和分析的热点问题. 例如,文献[1]证明了带粗糙核的奇异积分Toplitz-型算子在加权BMO空间上的有界性. 更多研究可参见文献[2-5]. 文献[6]首次介绍了欧氏空间上的差微分算子,即Dunkl算子{Dk,j}j=1d. Dunkl算子是一类与有限反射群相关的微分反射算子. 其不仅将黎曼对称空间中常见的偏导数与不变微分算子进行了推广,而且还推广了布朗运动模型,有关该类算子的更多研究和结果,可参见文献[7-14].
对任意v∈
{\mathbb{R}}^d \{0},定义σv为v垂直于超平面Hv⊂{\mathbb{R}}^d 的反射其中〈·,·〉为欧氏空间上的内积,且对任意x∈
{\mathbb{R}}^d ,有‖x‖=\sqrt {\left\langle {x, x} \right\rangle } . 此外,设有限集D⊂{\mathbb{R}}^d \{0},若对于任意v∈D,恒有σvD=D,则称D为根系统.设由反射族{σv}v∈D构成的有限群G为根系统反射群. 对任意v∈
{\mathbb{R}} ,kv≥0,用hk表示{\mathbb{R}}^d 上的权函数,有hk为G不变函数,且是γk次齐次的,其中γk=
\sum\limits_{v \in {D^ + }} {{k_v}} ,D+为正极子系统. 基于hk的前提下,文献[15]得到了与Dunkl集相关的极大算子在Orlicz空间上的有界性. 随后,文献[16]证明了基于Dunkl集上分数次极大算子在Orlicz空间上的有界性. 文献[5]得到了极大算子与奇异算子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 受以上结论的启发,本文得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义,并证明了基于Dunkl集上分数次极大算子及其与BMOk({\mathbb{R}}^d )生成的交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 设是中心为x∈
{\mathbb{R}}^d 且半径为r的球,在Dunkl集上的测度为其中
Sd-1是
{\mathbb{R}}^d 上的单位球,dσ为标准化曲面测度.定义1[16] 设f∈Lloc1,k(
{\mathbb{R}}^d ),带有Dunkl集的有界平均振荡空间定义为其中
且fB(x,r)表示函数f在球B(x,r)上的平均值.
设0<α<d+2γk及f∈Lloc1,k(
{\mathbb{R}}^d ),带Dunkl集的分数次极大算子定义为给定b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),与带Dunkl集的分数次极大算子相关的交换子Mα,k,b定义为若存在连续凸函数Φ:[0,∞) [0,∞],满足
则称Φ为Young函数.
全文用Y表示满足0<Φ(r)<∞的全体Young函数构成的集合. 根据凸性以及Φ(0)=0,容易验证Young函数都是增的.
定义2[16] 设Φ∈Y,则带有Dunkl集的Orlicz空间LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )定义为且
带有Dunkl集的弱Orlicz空间WLΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )的定义为且
其中
接下来,我们回顾一些逆函数的有关概念[12]. 对于一个函数Φ∈Y,且0≤t≤∞,设
若Φ∈Y,则称Φ-1为Φ的逆函数. 很明显,对于任意的r≥0,有r≤Φ-1(r)
{{\mathit{\tilde \Phi }}^{ - 1}} (r)≤2r,其中{{\mathit{\tilde \Phi }}} (r)定义为设Φ∈Y,若存在常数C>1,使得对任意的r>0,有Φ(2r)≤CΦ(r),则称Φ满足Δ2条件,即Φ∈Δ2. 另一方面,若Φ(r)≤
\frac{1}{{2\kappa }} Φ(κr),则称Φ满足∇2条件,即Φ∈∇2.类似地,我们给出如下带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间的定义:
定义3 设φ(x,r)>0为
{\mathbb{R}}^d ×(0,∞)上的可测函数,Φ∈Y,带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间定义为其中
相应地,带有Dunkl集的弱广义Orlicz-Morrey空间定义为
其中
全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方可能不尽相同. 对于
{\mathbb{R}}^d 上的可测子集E,χE表示其上的特征函数.引理1[15] 若f,g为
{\mathbb{R}}^d 上的可测函数,Φ∈Y,{\mathit{\tilde \Phi }} (r)为其补函数,则有引理2[16] 设Φ∈Y,则对任意球B⊂
{\mathbb{R}}^d ,有引理3[16] 设Φ∈Y,则对任意球B,有
引理4[16] (ⅰ)若f∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),则存在p∈[1,∞),有且对任意0<2r<t,有
(ⅱ)设f∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),则对Φ∈Y∩Δ2,有引理5[15] 设Φ∈Y∩Δ2,球B⊂
{\mathbb{R}}^d ,f∈LΦ,k(B),则对于1<p<∞,有其中C是不依赖于f和b的正常数.
定理1 设0<α<d+2γk,Φ∈Y∩∇2,且B=B(x,r),若函数对(φ1,φ2)和(Φ,Ψ)满足条件
则Mα,k从MΦ,φ1,k(
{\mathbb{R}}^d )到MΨ,φ2,k({\mathbb{R}}^d )有界.证 对任意的f∈LlocΦ,k(
{\mathbb{R}}^d ),有f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f{\chi _{{{\mathbb{R}}^d}\backslash 2B}} ,r>0,则有由Mα,k从LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )到LΨ,k({\mathbb{R}}^d )有界[13],得到设任意z∈B,注意到当B(z,t)∩(
{\mathbb{R}}^d \2B)=\emptyset 时,有t>r. 事实上,若y∈B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B),有t>|y-z|≥|x-y|-|x-z|>2r-r=r. 另一方面,若y∈B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B),有|x-y|≤|y-z|+|x-z|<t+r<2t. 因此,B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B)⊂B(x,2t). 则由引理2、引理3和(1)式,有
则有
结合(2)式可知
定理2 设0<α<d+2γk,b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),Φ∈Y∩γ∩∇2,Ψ∈Y∩Δ2,若函数对(φ1,φ2)和(Φ,Ψ)满足以下条件:则Mα,k,b从MΦ,φ1,k(
{\mathbb{R}}^d )到MΨ,φ2,k({\mathbb{R}}^d )上有界.证 设0<α<d+2γk,b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),Φ∈Y∩γ∩∇2,Ψ∈Y∩Δ2,若Φ,Ψ满足(3)式,则对任意的球B=B(x,r)和f∈LΦ,k({\mathbb{R}}^d ),有f=f1+f2,其中f1,f2同定理1证明中的分解相一致,则由Mα,k,b从LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )到LΨ,k({\mathbb{R}}^d )有界[13],得到对任意的z∈B,B(z,t)∩(
{\mathbb{R}}^d \2B)=\emptyset ,且B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B)⊂B(x,2t). 因此进一步,得到
由引理2、引理1、引理3和引理4,有
对于J2,由引理4、(3)式和引理3,有
由J1,J2的估计可得
则可得到
再结合(4)式,不难得到
Estimation of Fractional Maximal Operator and Its Commutator on Generalized Orlicz-Morrey Spaces over Dunkl Setting
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摘要: 本文首先得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义;其次,利用Dunkl集的性质以及调和分析方法,证明了带有Dunkl集的分数次极大算子Mα,k及其与BMOk(Rd)函数生成的交换子Mα,k,b在带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间上的有界性.Abstract: In this paper, the authors firstly establish the definition of generalized Orlicz-Morrey spaces related to Dunkl setting. Secondly, by using the real-variable methods of harmonic analysis and the properties of Dunkl setting, the authors proved that fractional maximal operator associated with Dunkl setting Mα, k and its commutator Mα, k, b which is generated by BMOk(Rd) function and Mα, k is bounded on generalized Orlicz-Morrey spaces with Dunkl setting.
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开放科学(资源服务)标识码(OSID):
众所周知,算子与函数空间相关问题的研究一直是现代调和分析的热点问题. 例如,文献[1]证明了带粗糙核的奇异积分Toplitz-型算子在加权BMO空间上的有界性. 更多研究可参见文献[2-5]. 文献[6]首次介绍了欧氏空间上的差微分算子,即Dunkl算子{Dk,j}j=1d. Dunkl算子是一类与有限反射群相关的微分反射算子. 其不仅将黎曼对称空间中常见的偏导数与不变微分算子进行了推广,而且还推广了布朗运动模型,有关该类算子的更多研究和结果,可参见文献[7-14].
对任意v∈
Rd \{0},定义σv为v垂直于超平面Hv⊂Rd 的反射σv(x)=x−(2⟨x,v⟩‖v‖2)v,x∈Rd 其中〈·,·〉为欧氏空间上的内积,且对任意x∈
Rd ,有‖x‖=√⟨x,x⟩ . 此外,设有限集D⊂Rd \{0},若对于任意v∈D,恒有σvD=D,则称D为根系统.设由反射族{σv}v∈D构成的有限群G为根系统反射群. 对任意v∈
R ,kv≥0,用hk表示Rd 上的权函数,有hk(x)=∏v∈D+|⟨x,v⟩|kvx∈Rd hk为G不变函数,且是γk次齐次的,其中γk=
∑v∈D+kv ,D+为正极子系统. 基于hk的前提下,文献[15]得到了与Dunkl集相关的极大算子在Orlicz空间上的有界性. 随后,文献[16]证明了基于Dunkl集上分数次极大算子在Orlicz空间上的有界性. 文献[5]得到了极大算子与奇异算子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 受以上结论的启发,本文得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义,并证明了基于Dunkl集上分数次极大算子及其与BMOk(Rd )生成的交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 设B(x,r)={y∈Rd:|x−y|<r} 是中心为x∈
Rd 且半径为r的球,在Dunkl集上的测度为|B(x,r)|k=∫B(0,r)h2k(x)dx=(akd+2γk)rd+2γk 其中
ak=(∫Sd−1h2k(x)dσ(x))−1 Sd-1是
Rd 上的单位球,dσ为标准化曲面测度.定义1[16] 设f∈Lloc1,k(
Rd ),带有Dunkl集的有界平均振荡空间定义为BMOk(Rd)={f∈L1,kloc (Rd):‖f‖∗,k<∞} 其中
‖f‖∗,k=sup 且fB(x,r)表示函数f在球B(x,r)上的平均值.
设0<α<d+2γk及f∈Lloc1,k(
{\mathbb{R}}^d ),带Dunkl集的分数次极大算子定义为M_{\alpha, k} f(x)=\sup \limits_{r \gt 0}\left(|B(x, r)|_{k}\right)^{-1+\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \int_{B(x, r)}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \qquad x \in \mathbb{R}^{d} 给定b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),与带Dunkl集的分数次极大算子相关的交换子Mα,k,b定义为M_{\alpha, k, b} f(x)=\sup \limits_{r \gt 0}\left(|B(x, r)|_{k}\right)^{-1+\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \int_{B(x, r)}|b(x)-b(y)||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \qquad x \in \mathbb{R}^{d} 若存在连续凸函数Φ:[0,∞) [0,∞],满足
\lim \limits_{t \rightarrow \infty} \varPhi(t)=\infty \quad \lim \limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varPhi(t)=\varPhi(0)=0 则称Φ为Young函数.
全文用Y表示满足0<Φ(r)<∞的全体Young函数构成的集合. 根据凸性以及Φ(0)=0,容易验证Young函数都是增的.
定义2[16] 设Φ∈Y,则带有Dunkl集的Orlicz空间LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )定义为L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left( { \mathbb{R} }^{d}\right): \text { 存在 } \lambda \gt 0 \text {, 使得 } \int_{\mathbb{R}^{d}} \varPhi(\lambda|f(x)|) h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \lt \infty\right\} 且
\|f\|_{L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\inf \left\{\lambda \gt 0: \int_{\mathbb{R}^{d}} \Phi\left(\frac{|f(x)|}{\lambda}\right) h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 1\right\} 带有Dunkl集的弱Orlicz空间WLΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )的定义为W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \lt \infty\right\} 且
\|f\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\inf \left\{\lambda \gt 0: \sup \limits_{t \gt 0} \varPhi(t) m\left(t, \frac{f}{\lambda}\right)_{k} \leqslant 1\right\} 其中
m\left(\frac{f}{\lambda}, t\right)_{k}=\left|\left\{x \in \mathbb{R}^{d}: \frac{|f(x)|}{\lambda} \gt t\right\}\right|_{k} 接下来,我们回顾一些逆函数的有关概念[12]. 对于一个函数Φ∈Y,且0≤t≤∞,设
\varPhi^{-1}(t)=\inf \{r \geqslant 0: \varPhi(r) \gt t\} 若Φ∈Y,则称Φ-1为Φ的逆函数. 很明显,对于任意的r≥0,有r≤Φ-1(r)
{{\mathit{\tilde \Phi }}^{ - 1}} (r)≤2r,其中{{\mathit{\tilde \Phi }}} (r)定义为\widetilde{\varPhi}(r)= \begin{cases}\sup \{r t-\varPhi(t): t \in[0, \infty)\} & r \in[0, \infty) \\ \infty & r=\infty\end{cases} 设Φ∈Y,若存在常数C>1,使得对任意的r>0,有Φ(2r)≤CΦ(r),则称Φ满足Δ2条件,即Φ∈Δ2. 另一方面,若Φ(r)≤
\frac{1}{{2\kappa }} Φ(κr),则称Φ满足∇2条件,即Φ∈∇2.类似地,我们给出如下带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间的定义:
定义3 设φ(x,r)>0为
{\mathbb{R}}^d ×(0,∞)上的可测函数,Φ∈Y,带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间定义为M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{M^{\varPhi, \varphi, k}} \lt \infty\right\} 其中
\|f\|_{M^{\varPhi, \varphi, k}}=\sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, t \gt 0} \varphi(x, r)^{-1} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, r))} 相应地,带有Dunkl集的弱广义Orlicz-Morrey空间定义为
W M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)=\left\{f \in W L_{\text {loc }}^{1, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{W M^{\varPhi, \varphi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \lt \infty\right\} 其中
\|f\|_{W M^{\varPhi, \varphi, k}}=\sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, t \gt 0} \varphi(x, r)^{-1} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{W L^{\varPhi, k}(B(x, r))} 全文中,C表示与主要参数无关的常数,其值在不同的地方可能不尽相同. 对于
{\mathbb{R}}^d 上的可测子集E,χE表示其上的特征函数.引理1[15] 若f,g为
{\mathbb{R}}^d 上的可测函数,Φ∈Y,{\mathit{\tilde \Phi }} (r)为其补函数,则有\int_{\mathbb{R}^{d}}|f(x) g(x)| h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 2\|f\|_{L^{\varPhi, k}}\|g\|_{L^{\widetilde{\varPhi}(r), k}} 引理2[16] 设Φ∈Y,则对任意球B⊂
{\mathbb{R}}^d ,有\left\|\chi_{B}\right\|_{L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\left\|\chi_{B}\right\|_{W L^{\varPhi, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}=\frac{1}{\varPhi^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)} 引理3[16] 设Φ∈Y,则对任意球B,有
\int_{B}|f(x)| h_{k}^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant 2|B|_{k} ^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B)} 引理4[16] (ⅰ)若f∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),则存在p∈[1,∞),有\|f\|_{*, k} \approx \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0}\left(\frac{1}{|B(x, r)|_{k}} \int_{B(x, r)}\left|f(y)-f_{B(x, r)}\right|^{p} h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}} 且对任意0<2r<t,有
\left|f_{B(x, r)}-f_{B(x, t)}\right| \leqslant\left. C\|f\|\right|_{*, k} \ln \frac{t}{r} (ⅱ)设f∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),则对Φ∈Y∩Δ2,有\|f\|_{*, k} \approx \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varPhi^{-1}\left(|B(x, r)|_{k}^{-1}\right)\left\|f-f_{B(x, r)}\right\|_{L^{\varPhi, k}(B)} 引理5[15] 设Φ∈Y∩Δ2,球B⊂
{\mathbb{R}}^d ,f∈LΦ,k(B),则对于1<p<∞,有\frac{1}{2|B|_{k}} \int_{B}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y \leqslant \varPhi^{-1}\left(|B|_{k}^{-1}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B)} \leqslant C\left(\frac{1}{|B|_{k}} \int_{B}|f(y)|{ }^{p} h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}} 其中C是不依赖于f和b的正常数.
定理1 设0<α<d+2γk,Φ∈Y∩∇2,且B=B(x,r),若函数对(φ1,φ2)和(Φ,Ψ)满足条件
r^{-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}} \varPhi^{-1}(r) \leqslant C \varPsi^{-1}(r) \qquad r \gt 0 (1) \sup \limits_{r \lt t \lt \infty} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) {\mathop {\rm{ess\ inf}}\limits_{r \lt t \lt \infty}} \frac{\varphi_{1}(x, s)}{\varPhi^{-1}\left(s^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \leqslant C \varphi_{2}(x, r) (2) 则Mα,k从MΦ,φ1,k(
{\mathbb{R}}^d )到MΨ,φ2,k({\mathbb{R}}^d )有界.证 对任意的f∈LlocΦ,k(
{\mathbb{R}}^d ),有f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f{\chi _{{{\mathbb{R}}^d}\backslash 2B}} ,r>0,则有\left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant\left\|M_{\alpha, k} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\left\|M_{\alpha, k} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} 由Mα,k从LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )到LΨ,k({\mathbb{R}}^d )有界[13],得到\left\|M_{\alpha, k} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))} 设任意z∈B,注意到当B(z,t)∩(
{\mathbb{R}}^d \2B)=\emptyset 时,有t>r. 事实上,若y∈B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B),有t>|y-z|≥|x-y|-|x-z|>2r-r=r. 另一方面,若y∈B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B),有|x-y|≤|y-z|+|x-z|<t+r<2t. 因此,B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B)⊂B(x,2t). 则M_{\alpha, k} f_{2}(z) \leqslant C \sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}|f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y 由引理2、引理3和(1)式,有
\left\|M_{\alpha, k} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))} 则有
\left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} 结合(2)式可知
\begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k} f\right\|_{M^{\varPsi, \varphi_{2}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} & \leqslant C \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varphi_{2}^{-1}(x, r) \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))} \leqslant \\ & C\|f\|_{M^{\varphi, \varphi_{1}, k}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \end{aligned} 定理2 设0<α<d+2γk,b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),Φ∈Y∩γ∩∇2,Ψ∈Y∩Δ2,若函数对(φ1,φ2)和(Φ,Ψ)满足以下条件:r^{\alpha} \varPhi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)+\sup \limits_{r \lt t \lt \infty}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPhi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) t^{\alpha} \leqslant C \varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right) \qquad r \gt 0 (3) \sup \limits_{r \lt t \lt \infty}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right) \underset{t \lt s \lt \infty}{\operatorname{ess} \inf } \frac{\varphi_{1}(x, s)}{\varPhi^{-1}\left(s^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \leqslant C \varphi_{2}(x, r) (4) 则Mα,k,b从MΦ,φ1,k(
{\mathbb{R}}^d )到MΨ,φ2,k({\mathbb{R}}^d )上有界.证 设0<α<d+2γk,b∈BMOk(
{\mathbb{R}}^d ),Φ∈Y∩γ∩∇2,Ψ∈Y∩Δ2,若Φ,Ψ满足(3)式,则对任意的球B=B(x,r)和f∈LΦ,k({\mathbb{R}}^d ),有f=f1+f2,其中f1,f2同定理1证明中的分解相一致,则\left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant\left\|M_{\alpha, k, b} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} 由Mα,k,b从LΦ,k(
{\mathbb{R}}^d )到LΨ,k({\mathbb{R}}^d )有界[13],得到\left\|M_{\alpha, k, b} f_{1}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varphi, k}(B(x, t))} 对任意的z∈B,B(z,t)∩(
{\mathbb{R}}^d \2B)=\emptyset ,且B(z,t)∩({\mathbb{R}}^d \2B)⊂B(x,2t). 因此M_{\alpha, k, b} f_{2}(z) \leqslant C \sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}|b(z)-b(y)||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y 进一步,得到
\begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} &\leqslant C\left\|\sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}\left|b(y)-b_{B(x, r)}\right||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}+\\ &\left\|\sup \limits_{t \gt r} \frac{1}{|B(x, t)|_{k}^{1-\frac{\alpha}{d+2 \gamma_{k}}}} \int_{B(x, t)}\left|b(\cdot)-b_{B(x, r)}\right||f(y)| h_{k}^{2}(y) \mathrm{d} y\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)}= \\ &J_{1}+J_{2} \end{aligned} 由引理2、引理1、引理3和引理4,有
J_{1} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} 对于J2,由引理4、(3)式和引理3,有
J_{2} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r} \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} 由J1,J2的估计可得
\left\|M_{\alpha, k, b} f_{2}\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} 则可得到
\left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{L^{\varPsi, k}(B)} \leqslant C\|b\|_{*, k} \frac{1}{\varPsi^{-1}\left(r^{-d-2 \gamma_{k}}\right)} \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} 再结合(4)式,不难得到
\begin{aligned} \left\|M_{\alpha, k, b} f\right\|_{M^{\varPsi, \varphi_{2}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} \leqslant &C\|b\|_{*, k} \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{d}, r \gt 0} \varphi_{2}^{-1}(x, r) \sup \limits_{t \gt r}\left(1+\ln \frac{t}{r}\right) \varPsi^{-1}\left(t^{-d-2 \gamma_{k}}\right)\|f\|_{L^{\varPhi, k}(B(x, t))} \leqslant\\ &C\|b\|_{*, k}\|f\|_{M^{\varPhi, \varphi_{1}, k}{\left(\mathbb{R}^{d}\right)}} \end{aligned} -
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