定义1^[3]  设(X，d)是度量空间，G是拓扑群. 若映射φ：G×X→X满足：

(a) 对任意的x∈X，有φ(e，x)=x，其中e为G的单位元；

(b) 对任意的x∈X以及g₁，g₂∈G，有φ(g₁，φ(g₂，x))=φ(g₁g₂，x).

则称(X，G，φ)是度量G-空间. 为了书写方便，通常将φ(g，x)简写为gx. 拓扑群的定义见文献[14].

定义2^[15]  设(X，d)是度量G-空间. 若对任意的x，y∈X和g∈G，有d(x，y)=d(gx，gy)，则称度量d对G不变.

定义3^[16]  设(X，d)是度量G-空间，f：X→X连续，δ＞0，{x_i}_i≥0是X中的序列. 若存在t_i∈G使得$ \sum\limits_{i = 0}^\infty {d\left( {{t_i}f\left( {{x_i}} \right), {x_{i + 1}}} \right)} $＜δ，则称{x_i}_i≥0是f的(G，δ)-强伪轨.

定义4^[16]  设(X，d)是度量G-空间，f：X→X连续，ε＞0，y∈X，{x_i}_i≥0是X中的序列. 若存在t_i∈G使得$ \sum\limits_{i = 0}^\infty {d\left( {f^i\left( {y} \right), {t_{i}}{x_{i}}} \right)} $＜ε，则称y(G，ε)-强跟踪{x_i}_i≥0.

定义5^[16]  设(X，d)是度量G-空间，f：X→X连续. 若对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得当{x_i}_i≥0是X中f的(G，δ)-强伪轨时，存在y∈X使得y(G，ε)-强跟踪{x_i}_i≥0，则称f具有G-强跟踪性.

定义6^[1]  设(X，d)是紧致度量空间，无限乘积空间$ \overline X = \prod\limits_{i = 0}^\infty {{X_i}} $，X_i=X(i≥0). 设

在X上定义度量d

在X上定义移位映射σ

由文献[1]知(X，d)是紧致度量空间，σ：X→X是连续的.

定义7^[17]  设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，δ＞0，{x_i}_i≥0是X中的序列. 若对任意的i≥0，有d(f(x_i)，x_i+1)＜δ，则称{x_i}_i≥0是f的δ-伪轨.

定义8^[18]  设(X，d)是度量空间，f：X→X连续，ε＞0，y∈X，{x_i}_i≥0是X中的序列. 若对任意的i≥0，有d(fⁱ(y)，x_i)＜ε，则称y ε-跟踪{x_i}_i≥0.

定义9^[18]  设(X，d)是度量空间，f：X→X连续. 若存在常数L＞0与δ₀＞0，∀0＜δ＜δ₀，使得对f的任意δ-伪轨{x_i}_i=0^∞，存在x∈X使得x Lδ-跟踪{x_i}_i=0^∞，则称f具有利普希茨跟踪性.

定义10^[18]  设(X，d)是度量空间，f：X→X连续. 若存在L＞0，∀x，y∈X，有d(f(x)，f(y))≤Ld(x，y)，则称f是利普希茨映射，L为f的利普希茨常数.

定理1  设(X，d)是度量G-空间，f：X→X等价，L为f的利普希茨常数，k≥2. 若度量d对G不变，则f具有G-强跟踪性当且仅当f^k具有G-强跟踪性.

证  充分性  设f具有G-强跟踪性，则∀ε＞0，存在δ₁＞0，当{x_i}_i=0^∞是f的(G，δ₁)-强伪轨时，存在x∈X，x(G，ε)-强跟踪{x_i}_i=0^∞. 设{y_m}_m=0^∞是f^k的(G，δ₁)-强伪轨，取

则{x_i}_i=0^∞是f的(G，δ₁)-强伪轨. 故存在x∈X，l_i∈G，使得

因此有

即

因此f^k具有G-强跟踪性.

必要性  由于L为f的利普希茨常数，故∀x，y∈X，∀1≤i≤L，有

下面分L≥1和0＜L＜1两种情况来证明.

情形1  当L≥1时，假设f^k具有G-强跟踪性，则∀ε＞0，存在0＜δ₂＜ε，当{z_i}_i=0^∞是f^k的(G，δ₂)-强伪轨时，存在z∈X，使得z(G，ε)-强跟踪{z_i}_i=0^∞. 取δ₃=$ \frac{{{\delta _2}}}{{{L^k}}}$. 设{x_m}_m=0^∞是f的强(G，δ₃)-伪轨，则存在g_m∈G，使得

对m≥0，取ε_m=d(g_mf(x_m)，x_m+1)和y_m=x_mk，则$ \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\varepsilon _m}} $＜δ₃. 由f等价，且度量d对G不变，结合(1)式知，∀m≥0，有

故

因此{y_m}_m=0^∞是f^k的(G，δ₂)-强伪轨. 由f^k具有G-强跟踪性知，存在z∈X，t_m∈G，使得

即

∀m≥0，取η_m=d(t_mf^mk(z)，x_mk)，则$ \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\eta _m}} $＜ε. 由三角不等式知，对任意的m≥0，有

继续下去可以得到

故

因此可以得到

因此对任意的m≥0，存在p_m∈G，使得

由度量d对G不变知

因此f具有G-强跟踪性.

情形2  当0＜L＜1时，假设f^k具有G-强跟踪性，则∀ε＞0，存在0＜δ₄＜ε，当{z_i}_i=0^∞是f^k的(G，δ₄)-强伪轨时，存在z∈X，z(G，ε)-强跟踪{z_i}_i=0^∞. 设{x_m}_m=0^∞是f的(G，δ₄)-强伪轨，则存在g_m^′∈G，使得

对m≥0，取

则

由f等价，且度量d对G不变，结合(1)式知，对任意的m≥0，有

故

因此{y_m}_m=0^∞是f^k的(G，δ₄)-强伪轨. 由f^k具有G-强跟踪性知，存在z∈X，t_m^′∈G，使得

即

对m≥0，取η_m^′=d(t_m^′f^mk(z)，x_mk)，则

由三角不等式知，对任意的m≥0，有

用同样的方法可以得到

故

因此可以得到

因此存在p_m^′∈G，使得

取l_m^′=(p_m^′)^-1，由度量d对G不变知

因此f具有G-强跟踪性.

定理2  在无限乘积空间X中，移位映射σ：X→X具有利普希茨跟踪性.

证  取L₀=2和ε₀=1. ∀0＜ε＜ε₀，设{yⁱ}_i≥0是X中σ的ε-伪轨，其中yⁱ=(y₀ⁱ，y₁ⁱ，y₂ⁱ，…). 故对任意的i≥0，有

故对任意的k≥1和i≥0，有

因此

即对任意的k≥1和i≥0，有

取y=(y₀⁰，y₀¹，y₀²，…)∈X，则

因此移位映射σ具有利普希茨跟踪性.

本文在度量G-空间和无限乘积空间中研究了G-强跟踪性和利普希茨跟踪性的动力学性质，所得结果为它们在生物学、信息学和经济学等诸多领域的应用提供了理论依据和科学基础.