Riesz表示定理是泛函分析中的一个基本定理.匈牙利数学家Frigyes Riesz在不假定空间是可分的条件下证明了该定理, 并且他强调, Hilbert空间的整个理论可以以他的表示定理为基础(参考文献[1]).记H为任意的Hilbert空间, H^*表示其对偶空间. Riesz表示定理可以表述为(参考文献[2]定理3.2):

Riesz表示定理  设f⊂H^*, 则存在y_f⊂H, 使得f可以表示为f(x)=〈x, y_f〉(∀x∈H), 并且‖f‖_H^*=‖y_f‖_H.

文献[2]基于Hilbert空间的正规正交基, 给出了Riesz表示定理的新证明, 并明确写出连续泛函对应元的表达式.此外, 在实Hilbert空间情形下, 文献[2]基于变分原理证明了Riesz表示定理.对于Riesz表示定理, 常见的证明方法是通过在f的零空间的正交补中, 构造满足

的元素y_f(参考文献[3-12]).这种证明方法非常简洁, 而且也体现了Riesz表示定理的几何意义.

与前面提到的证明方法不同, 本文利用几何测度论的知识, 主要利用Hausdorff测度理论和Radon测度对线性泛函的特征化, 首先构造了任意集合的变分测度, 并证明了该测度是一个Radon测度; 然后构造了一个线性泛函, 并证明了存在一个可测函数满足Riesz表示定理的条件.我们的证明方法不仅证明了一般的Riesz表示定理, 而且给出了一个Riesz表示定理的推广形式.

令C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$)表示从${\mathbb{R}^n}$到${\mathbb{R}^m}$的, 定义在紧支撑上的连续函数, L: C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$)→${\mathbb{R}}$表示一个线性泛函.一个映射μ: 2^X[0, ∞]如果满足下面的条件:

(ⅰ) μ(∅)=0;

(ⅰ)如果$ A \subseteq \mathop \cup \limits_{k = 1}^\infty {A_k}$, 那么$ \mu \left( A \right) \leqslant \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \mu ({A_k})$.

则称μ为定义在x上的测度.一个集合A⊆X, 如果对于任意的B⊆X, 都有μ(B)=μ(B∩A)+μ(B-A), 那么我们称集合A是可测的.一个定义在X上的测度μ, 如果满足:对于任意的集合A⊆X, 存在μ-可测的集合B, 使得A⊆B并且μ(A)=μ(B), 则称μ是正则的.如果μ是Borel的, 并且对于每一个A⊆X, 存在一个Borel集B, 使得A⊆B并且μ(A)=μ(B), 则称μ是Borel正则的.如果一个测度是Borel正则的, 并且对于每一个紧集K⊂${\mathbb{R}^n}$, 都有μ(K) < ∞成立, 则称测度μ是一个Radon测度.

定理1  令L: C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$)→${\mathbb{R}}$是一个满足下式的线性泛函:

其中K⊂${\mathbb{R}^n}$是一个任意的紧集, 那么存在${\mathbb{R}^n}$上的Radon测度μ和一个μ-可测函数σ: ${\mathbb{R}^n}$→${\mathbb{R}^m}$, 使得对于μ-几乎所有的x∈${\mathbb{R}^n}$, 都有|σ(x)|=1成立, 并且对于所有的f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$; ${\mathbb{R}^m}$), 都有

为了证明定理1, 我们需要证明下面的两个引理:

引理1  如果V是开集, K⊆V是紧集, 那么存在f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$), 使得spt(f)⊆V, 并且对于所有的x∈K, 恒有f≡1成立.

证  因为V是开集, 则存在可列个开球{B(x_i, r_i)}_i=1^∞, 使得B(x_i, r_i)⊆V并且$ K \subseteq \mathop \cup \limits_{i = 1}^\infty B({x_i}, {r_i})$.因此存在有限个开球满足$K \subseteq \mathop \cup \limits_{i = 1}^k B({x_i}, {r_i}) $.令:

定义

那么f(x)即为符合条件的函数.

引理2  令C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$)={f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$): f≥0}, 并且对于任意的f∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$), 令

则:

(ⅰ)对于f₁, f₂∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$), 如果f₁≤f₂, 那么λ(f₁)≤λ(f₂);

(ⅱ)对于任意的f∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$)和c≥0, λ(cf)≤cλ(f);

(ⅲ)对于f₁, f₂∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$), λ(f₁+f₂)=λ(f₁)+λ(f₂);

(ⅳ)对于Radon测度μ和f∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$), λ(f)=∫_{${\mathbb{R}^n}$}fdμ.

证  根据(2)式, (ⅰ)和(ⅱ)是显然的.下面证明(ⅲ).

令g₁, g₂∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$)满足|g₁|≤f₁, |g₂|≤f₂, 那么

不妨设L(g₁), L(g₂)≥0.因此

对g₁, g₂∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$)取上确界可得

另一方面, 固定g∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$), 其中|g|≤f₁+f₂.令

那么g₁, g₂∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$), 并且g=g₁+g₂.显然|g_i|≤f_i(i=1, 2), 因此

这表明λ(f₁+f₂)≤λ(f₁)+λ(f₂).

接下来, 证明(ⅳ).令ε≥0, 选择0=t₀ < t₁ < …＜t_N, 其中

并且对于i=1, …, N, 有μ(f^-1{t_i})=0成立.令U_j=f^-1((t_j-1, t_j)), 那么U_j是一个开集, 并且μ(U_j) < ∞.根据近似定理, 存在紧集K_j, 使得K_j⊆U_j, 并且

另外存在函数g_j∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$), 满足|g_j|≤1, spt(g_j)⊆U_j, 并且|L(g_j)|≥μ(U_j)-$ \frac{\varepsilon }{N}$.注意到存在函数h_j∈C_c⁺(${\mathbb{R}^n}$), 使得spt(h_j)⊆U_j(0≤h_j < 1), 且在紧集K_j∪spt(g_j)上恒有h_j≡1成立.因此:

其中$\mu ({U_j}) - \frac{\varepsilon }{N} \leqslant \lambda ({h_j}) \leqslant \mu ({U_j}) $.定义集合

那么A是一个开集, 并且

因此:

并且

由于

可得

定理1的证明  首先我们证明存在μ-可测函数σ: ${\mathbb{R}^n}$→${\mathbb{R}^m}$, 满足L(f)=∫_{${\mathbb{R}^n}$}f·σdμ.对于固定的e∈${\mathbb{R}^m}$, |e|=1.定义λ_e(f)=L(fe), 其中f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$).那么λ_e是线性的, 且

因此可以拓广λ_e到关于L¹(${\mathbb{R}^n}$; μ)的有界线性泛函.因此存在σ∈L^∞(μ), 使得对于任意的f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$), 有λ_e(f)=∫_{${\mathbb{R}^n}$}fσ_edμ成立.令e₁, …, e_m是${\mathbb{R}^m}$上的标准正交基, 定义$\sigma = \mathop \sum \limits_{j = 1}^m {\sigma _{{e_j}}}{e_j}$, 则如果f∈C_c(${\mathbb{R}^n}$; ${\mathbb{R}^m}$), 可得

接下来, 证明对于μ-几乎所有的x∈${\mathbb{R}^n}$, |σ|=1.令U⊆${\mathbb{R}^n}$是一个开集, 并且μ(U) < ∞.根据定义

现在取f_k∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$), 使得|f_k|≤1, spt(f_k)⊆U, 并且f_k·σ→|σ|.因此

另一方面, 如果f∈C_c(${\mathbb{R}^n};{\mathbb{R}^m}$), 并且spt(f)⊂U, 那么

对应的(3)式表明μ(U)≤∫_U|σ|dμ.因此对于所有的开集U⊂${\mathbb{R}^n}$, 有μ(U)=∫_U|σ|dμ成立, 因此对于μ-几乎所有的x∈${\mathbb{R}^n}$, |σ|=1.