子流形几何中, 当外围流形具有良好对称性时, 其极小子流形或具有常平均曲率的子流形的研究已有非常丰富的研究成果^[1-6].对于外围流形不具有良好对称性的黎曼子流形, 记Nⁿ⁺¹表示局部对称黎曼流形, 假定其截面曲率K_N满足条件$ \frac{1}{2} < \delta \le {K_N} \le 1$.文献[7]研究了Nⁿ⁺¹中完备连通的极小超曲面M, 证明了当S满足S≤(2δ-1)n时: S=0, 此时M是全测地的; 或者S=n, 此时M等距于$ {S^p}\left( {\frac{n}{p}} \right) \times {S^{n - p}}\left( {\frac{n}{{n - p}}} \right)\left( {p = 1, 2, \cdots , n - 1} \right)$, 其中S^r(c)表示r维欧氏球面.

更一般地, 文献[8]研究了Nⁿ⁺¹中具有常平均曲率H的完备超曲面M, 假定Nⁿ⁺¹在M上任一点x处的截面曲率K_(n+1)i(n+1)i满足$ \mathop \sum \limits_i {\lambda _i}{K_{\left( {n + 1} \right)i\left( {n + 1} \right)i}} = nH$, 其中λ_i(i=1, 2, …, n)是M在x点处的n个主曲率, 证明了:如果$ S < 2\;\sqrt {n - 1} \left( {2\delta - 1} \right)$, 则M是全脐超曲面; 如果$ S = 2\;\sqrt {n - 1} \left( {2\delta - 1} \right)\left( {n \ge 3} \right)$, 则M局部地等距于积空间S¹(r)×S^n-1(t), 其中$ {r^2} = \frac{1}{{\sqrt {n - 1} + 1}}, {t^2} = \frac{{\sqrt {n - 1} }}{{\sqrt {n - 1} + 1}}$.随后, 文献[9]研究了外围空间满足截面曲率K_N≥c₁(c₁是常数)的局部对称空间中具有常数平均曲率H的超曲面, 假定Nⁿ⁺¹的截面曲率满足K_(n+1)i(n+1)i=c₀(c₀是常数), 证明了:如果S < D(n, H), 则M是全脐的超曲面; 如果S=D(n, H), 则M与一个具有两个不同主曲率, 且其中一个主曲率是单重的超曲面等距, 其中

记Φ为超曲面M的全脐算子.本文将应用文献[10]中的Okumura型不等式

对文献[11]中的定理1.1进行改进, 其中, 整数p满足$1 \le p \le \frac{n}{2}, C\left( {n, p} \right) = \frac{{n - 2p}}{{\sqrt {np\left( {n - p} \right)} }} $为常数.我们有:

定理1  设Nⁿ⁺¹是截面曲率K_N满足$ \frac{1}{2} < \delta \le {K_N} \le 1$的局部对称黎曼流形, M是Nⁿ⁺¹中具有常平均曲率H的完备超曲面, 其全脐算子Φ满足(1)式.假定常数B(n, δ, H, p)≥0.若

则δ=1, 即Nⁿ⁺¹是单位球面Sⁿ⁺¹(1), 此时(2)式即为$ n{H^2} \le S \le 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} $.进一步, 有:

(ⅰ)若S=nH², 此时M是全脐超曲面;

(ⅱ)若$S = 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} > n{H^2} $, 此时M是S^p(r)×S^n-p(t), 其中:

常数

当p=1时, 由文献[11]中经典的Okumura引理可知, (1)式总是成立的, 而且常数A(n, δ, H, p)=A(n, δ, H), B(n, δ, H, p)=B(n, δ, H).同时定理1中的积空间S^p(r)×S^n-p(t)正是文献[11]中的积空间S¹(r)×S^n-1(t).由此可见定理1推广并改进了文献[11]的结果.

当δ=1时,

根据定理1可以得到如下推论:

推论1  设M是单位球面Sⁿ⁺¹(1)中具有常平均曲率H的完备超曲面, 如果

则M是下列两种情况之一:

(ⅰ) S=nH², 此时M是全脐超曲面;

(ⅱ) $ S = 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} > n{H^2}$, 此时M是S^p(r)×S^n-p(t), 其中:

设Nⁿ⁺¹是满足条件$\frac{1}{2} < \delta \le {K_N} \le 1 $的截面曲率K_N的n+1维局部对称流形, M是浸入到Nⁿ⁺¹中的完备超曲面.在Nⁿ⁺¹上选择适当的局部标准正交标架场{e_A}_A=1ⁿ⁺¹, 使得限制在M上时, {e_i}_i=1ⁿ为M的切标架场.记{ω_A}, {ω_AB}分别是{e_A}的对偶形式和联络1-形式, 则Nⁿ⁺¹的结构方程为:

其中K_ABCD为外围空间Nⁿ⁺¹的曲率张量分量.由于Nⁿ⁺¹是局部对称的, 故其黎曼曲率张量分量K_ABCD满足K_{ABCD, E}=0.

限制Nⁿ⁺¹的所有张量在M上, 则ω_n+1=0, 根据Cartan引理有

从而M的结构方程为:

M的Gauss方程为

记$h = \mathop \sum \limits_{i, j} {h_{ij}}{\omega _i} \otimes {\omega _j} $为M的第二基本形式, $ H = \frac{1}{n}\mathop \sum \limits_i {h_{ii}}$为M的平均曲率, $ S = \mathop \sum \limits_{i, j} h_{ij}^2$为M的第二基本形式模长平方.由(4)式知M的Ricci曲率分量为

记h_ij的一阶和二阶协变导数分量分别为h_ijk和h_ijkl, 则:

由(3)式和(6)式, 以及(6)式和(7)式, 我们分别得到Codazzi方程以及Ricci恒等式:

定义h_ij的Laplacian为$\Delta {h_{ij}} = \mathop \sum \limits_k {h_{ijkk}} $, 根据(8), (9)式有

因为$ \Delta S = 2\mathop \sum \limits_{i, j, k} h_{ijk}^2 + 2\mathop \sum \limits_{i, j} {h_{ij}}\Delta {h_{ij}}$, 根据(10)式得到

引理1^[10]  设μ₁, μ₂, …, μ_n是n个实数, 满足$\mathop \sum \limits_i {\mu _i} = 0, \mathop \sum \limits_i \mu _i^2 = {\beta ^2} $, 其中β是非负常数.则方程$\mathop {{\rm{|}}\sum }\limits_i \mu _i^3{\rm{|}} = \frac{{n - 2p}}{{\sqrt {np\left( {n - p} \right)} }}{\beta ^3} $成立当且仅当p个非负数μ_i和n-p个非正数μ_i分别相等.

引理2^[12-13]  设M是Ricci曲率有下界的完备黎曼流形, F是M上有上界的C²-函数.则对任意ε>0, 存在M上的一个点列{x_k}, 使得:

引理3^[14]  设A=(a_ij)是对称的n×n矩阵, n≥2, 记A₁=tr A和${A_2} = \mathop \sum \limits_{i, j} a_{ij}^2 $.则有

定理1的证明

选取M的一组基, 使得h_ij=λ_iδ_ij.结合条件$ \frac{1}{2} < \delta \le {K_N} \le 1$, 有:

将(12), (13)式代入(11)式得到

记二阶对称张量$ \mathit{\Phi } = \mathop \sum \limits_{i, j = 1}^n {\mathit{\Phi }_{ij}}{\omega _i} \otimes {\omega _j}$, 其分量Φ_ij=h_ij-Hδ_ij.由于$ \mathop \sum \limits_i (H - {\lambda _i}) = 0, \mathop \sum \limits_i {(H - {\lambda _i})^2} = S - n{H^2} = {\left| \mathit{\Phi } \right|^2}$, 根据引理1有

从而

其中ε>0是任意常数.现在取$ \varepsilon = \frac{{n + 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} }}{{\sqrt {p\left( {n - p} \right)} }}$, 则有

将(12), (13)和(15)式代入(14)式中, 得到

记:

再根据定理1的条件, 有

令$F = {\left( {S + b} \right)^{\frac{1}{2}}} $, 其中b>0.由$ S < A + {B^{\frac{1}{2}}}$知F是光滑且有上界的.在(5)式中应用引理3, 可得

这意味着M的Ricci曲率有下界.根据引理2, 对于任意ε>0, 在M上总存在一个点列{x_k}, 使得

由于F有界, 当ε趋于0时, (18)式右边也趋于0, 即F(x_k)收敛, 不妨记收敛极限为F₀.根据上确界的定义可知F₀=sup F, 再根据F的定义可知S(x_k)→S₀=sup S.由(17)式和(18)式可得

令k趋于∞, 有

由(17)式和(19)式知$ {S_0} = A - {B^{\frac{1}{2}}}$或${S_0} = A + {B^{\frac{1}{2}}} $.结合(16)式可知

因此(12), (13)式和(15)式中的不等式等号成立.由(12)式知δ=1.因此Nⁿ⁺¹是单位球面Sⁿ⁺¹(1), 同时:

下面分两种情况讨论:

当$ {S_0} = A - {B^{\frac{1}{2}}}$时, 因为$ S \ge A - {B^{\frac{1}{2}}}$且S₀=sup S, 从而S是一个常数, 即

因此M是一个全脐超曲面.

当$ {S_0} = A + {B^{\frac{1}{2}}}$时,

如果$ n{H^2} > 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} $, S₀=nH², 则S=nH², M是一个全脐超曲面.

如果$n{H^2} \le 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} , {S_0} = 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} $, 则$S \le 2\sqrt {p\left( {n - p} \right)} $, 与文献[8]中推论1.1的证明方法相似, 将其中的C(n, 1)用C(n, p)代替即可知定理1成立.