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在渗流、扩散、热传导等领域中经常会遇到求解抛物型方程的问题.在一维的情形，其模型为初边值问题
对问题(1)的求解，有限差分法是解决此类问题的常用方法，常见的差分格式[1-2]，诸如古典隐格式、Crank-Nicolson格式和Dufort-Frankel格式等，虽都是绝对稳定的，但它们的截断误差较低.古典隐格式和Crank-Nicolson格式的截断误差分别是O(τ+h2)，O(τ2+h2)；Dufort-Frankel格式的截断误差为
$O\left(\tau^{2}+h^{2}+\left(\frac{\tau}{h}\right)^{2}\right) $ ，当τ=h时还失去了相容性.目前已有许多研究对上述问题进行了改进[3-9]，在这些研究成果中，有一些高精度的差分格式，如：文献[8]给出了一族高精度恒稳格式，格式的截断误差达O(τ2+h6)；文献[9]则构造了一族六点隐式差分格式，格式的截断误差为O(τ2+h4)，本文则构造了一族高精度的三层九点隐式格式，格式的截断误差达到了O(τ3+h4)，稳定性条件为$ 0<r<\frac{1}{2}$ .
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设时间步长为τ，空间步长为
$ h=\frac{L}{M}$ (M为正整数)，对区域[0，L]×[0，T]作矩形剖分，取局部结点集为其中xj=jh，tn=nτ，并令ujn=u(xj，tn).
当问题(1)的解充分光滑时，有关系式
将各节点上u的值在节点(jh，nτ)处作Taylor展开，并使用(2)式进行整理，可导出各差商的渐近表达式：
其中
$r=\frac{a \tau}{h^{2}}, \Delta_{t} u_{j}^{n}=\frac{u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{\tau}$ ，$\delta_{x}^{2} u_{j}^{n}=\frac{u_{j+1}^{n}-2 u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}} $ ，其余类推.用上述差商建立如下含参数的差分方程逼近微分方程(1)
其中ci(i=1，…，5)为待定系数.将(3)式中各节点上u的值在节点(jh，nτ)处作Taylor展开，整理可得
为使格式(3)的截断误差达到O(τ3+h4)，须满足下面方程组
在方程组(4)中，
$r=\frac{a \tau}{h^{2}} $ ，令c5=θ，可解得将所得各值代入(3)式，可得截断误差为O(τ3+h4)的一族含参数的隐式格式
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利用Fourier分析法，可算出格式(5)的传播矩阵为
其中
传播矩阵G(s)的特征方程为
引理1[10] 特征方程(6)的根满足|λ1，2|≤1的充要条件是
引理2[10] 差分格式(5)稳定，即矩阵族Gn(s)(s∈[0, 1]，n=1，2，…)一致有界的充要条件是
1) |λ1，2|≤1(λ1，2是方程(6)的两个根)
2) 使
$1-\frac{g_{11}^{2}}{4}=g_{11}^{2}+4 g_{12}=0 $ 成立的s或不存在，或不属于区间[0, 1].首先考虑条件(2)，当g12≠-1时，使
$1-\frac{g_{11}^{2}}{4}=g_{11}^{2}+4 g_{12}=0 $ 的s不存在.再由条件(1)和式(7)知，格式(5)稳定的条件为-1+g12≤g11≤1-g12 < 2.由g11≤1-g12得
为确定起见，不妨假定
该式成立的一个充分条件是
由(10)式解得
由(11)式解得
而
$ \frac{20 r^{2}-12 r-1}{48 r^{2}}<\frac{96 r^{3}-20 r^{2}-36 r+1}{96 r^{2}(3 r+1)}$ ，故(13)式优于(12)式，(13)式成立时(12)式也成立.而当(9)式成立时，由(8)式解得
该式成立的条件为
又由1-g12 < 2可得
该式成立的一个充分条件是
当
$ r<\frac{1}{2}$ 时(14)式成立.由(15)式解得
而当
$ r<\frac{1}{2}$ 时，$ \frac{96 r^{3}-20 r^{2}-36 r+1}{96 r^{2}(3 r+1)}>\frac{8 r^{2}-2 r-3}{48 r^{2}}$ 成立，故(13)式优于(16)式，(13)式成立时(16)式也成立.再由-1+g12≤g11得
(17) 式成立的一个充分条件是
由(18)式解得
由(19)式解得
而当
$ r<\frac{1}{2}$ 时，$ \frac{8 r^{2}-6 r-1}{48 r^{2}}<\frac{-24 r^{3}+28 r^{2}-18 r+1}{96 r^{2}}$ 且$ \frac{96 r^{3}-20 r^{2}-36 r+1}{96 r^{2}(3 r+1)}<\frac{-24 r^{3}+28 r^{2}-18 r+1}{96 r^{2}}$ 成立，故(21)式优于(20)式与(13)式，(21)式成立时(20)式和(13)式都成立.综上所述，并根据Lax的稳定性与收敛性等价定理可得：
定理1 当
$ 0<r<\frac{1}{2}$ 且$ \theta \geqslant \frac{-24 r^{3}+28 r^{2}-18 r+1}{96 r^{2}}$ 时，差分格式(5)稳定且收敛.特别地，当
$ \theta=\frac{-24 r^{3}+28 r^{2}-18 r+1}{96 r^{2}}$ 时，差分格式(5)可化为
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考虑扩散方程
取
$ M=20, h=\frac{1}{20}$ ，xj=jh(j=0，1，…，M)，tn=nτ(n=0，1，…)，$r=\frac{\tau}{h^{2}} $ 为网格比.当r分别取$\frac{1}{6}, \frac{1}{5} $ ，$\frac{1}{4} $ 和$ \frac{1}{3}$ 时，先利用C-N格式计算第一层的值uj1.按格式(22)计算到n=400时的解与式(23)的精确解u(x，t)=e-tsinx进行比较，结果如表 1.由表 1看出，差分格式的解与精确解有很好的吻合，这与理论分析完全一致.