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高次有限元法对偏微分方程(PDE)问题的逼近较好,已得到广泛应用.多重网格(MG)法[1-9]是求解以偏微分方程为背景的离散化方程的有效数值算法之一.为进一步讨论求解二次有限元方程的瀑布型多重网格法,本文使用二次插值作为插值算子,针对二次有限元方程,提出了改进的瀑布型多重网格法(SECMG),讨论了该算法的收敛性.数值实验表明,改进算法具有较好的计算效果.本文的思想和算法可推广到其他高次元.
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考虑带Dirichlet边界条件的二维椭圆型偏微分方程:
其中α(x,y),β(x,y),f(x,y)为给定的函数且满足∀(x0,y0)∈Ω,α(x0,y0)>0,β(x0,y0)≥0.如果α(x,y)≡1,β(x,y)≡0,模型(1)为泊松方程;如果α(x,y)≡1,β(x,y)≡f(x,y)≡0,模型(1)为拉普拉斯方程.
使用一致网格剖分Ω,可得不同步长
$ h_{j}=\frac{h_{M}}{2^{M-j}}(j=1, 2, \cdots, M)$ 下的一系列离散化网格Ωj,易知Ω1,ΩM分别为最细、最粗网格层.使用二次有限元在网格Ωj上离散模型问题(1),可得对应的离散化方程组其中:Aj为对称正定稀疏矩阵,Fj为右端列向量,uj为未知解向量.
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文献[6]提出,在线性有限元离散网格中,将相邻的几个单元组合成一个大单元,进而构造一个二次插值算子,用于给相邻细层提供一个好的初始值,能在一定程度上加快瀑布型多重网格法的收敛速度.借鉴文献[6]的思想,直接使用每个二次三角形单元的6个节点(3个顶点、3个中点)的信息,无需合并相邻单元,即可构造网格Ωj上的基于每个单元的二次插值算子Ψj2,且满足
1) ‖v-Ψj2v‖≤Chjr-l+1‖v‖r+1,1≤r≤2,v∈Hr+1(Ω),l=0,1.
2) ‖v-Ψj2v‖l≤c‖v‖l,v∈Vj,l=0,1,j=1,2,…,M.
类似于文献[6]的思路,使用二次插值算子Ψj2为相邻细层网格提供初始值,可构造求解方程组(2)的瀑布型多重网格法(SECMG).
算法1 瀑布型多重网格法(SECMG)
步骤1 精确求解最粗网格层方程AMuM=FM,得uM*;
步骤2 对j=M-1,…,2,1
(a) 插值得到第j层的初始值uj0:=Ψj+12uj+1*;
(b) 对uj0使用CG(共轭迭代法)磨光mj次,ujmj:=CG(uj0,mj);
(c) 令uj*:=ujmj.
其中mj表示第j层网格上的磨光步数[2].
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在讨论算法1的收敛性之前,先引入如下引理.
引理1[10] 对任意v∈Vj,有
引理2[6] 令Cj:Vj→Vj表示在第j层上的迭代算子,并定义线性算子Kj:Vj→Vj,使得
算子Kj具有如下性质:
其中:mj表示第j层的迭代次数,r是与所采用的迭代方法有关的常数.本文采用共轭梯度法(CG)迭代,对应于r=1.
引理3[11-13] 设u为问题(1)的解,uj和Ij分别为u在第j层上的有限元解和有限元插值,有以下超收敛性:
引理4[14] 设Vh,2是二次三角形单纯形元所对应的有限元空间,则对任意f∈L2(Ω),问题(1)有唯一解uh,并且
$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {\left\| {\mathit{\boldsymbol{u}} - {\mathit{\boldsymbol{u}}_h}} \right\|_{1, \mathit{\Omega }}} = 0$ .当u∈H01(Ω)∩H3(Ω)时,有引理5 在引理4的条件上,有
证 由‖u-uh‖0≤‖u-uh‖1,|u|3≤‖u‖3,结合引理4即可证得‖u-uh‖0,Ω≤h2‖u‖3,Ω.证毕.
在上述引理的基础上,给出如下定理及证明过程.
定理1 若u∈H01(Ω)∩H3(Ω),对算法1有
证
下面对(3)式展开讨论.
由
和引理5可得
由引理2可得
综上可得
利用递归关系
可得
证毕.
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为了验证本文算法的有效性,给出如下数值算例.
例1 考虑区域Ω:[0, 1]×[0, 1]上的泊松方程
其Dirichlet边界条件和右端源函数f(x,y)取决于真解
例2 考虑区域Ω:[0, 1]×[0, 1]上的带变系数椭圆型方程
其中α(x,y)=exy+2,β(x,y)=1,Dirichlet边界条件和右端源函数f(x,y)取决于真解
为便于比较,记通常的瀑布型多重网格法为CMG,其插值算子为线性插值,磨光算子为CG迭代.取M=2,并约定G表示最细层网格规模;I表示最细层上的磨光步数;E表示问题真解u与算法求得的近似解u1*的能量范数误差|||u-u1*|||;t表示计算时间.算例的数值结果见表 1,2.
从表 1,2可以看出,与算法(CMG)相比,SECMG法虽然在计算时间方面要稍多些,但在计算精度方面具有一定的优势,计算精度要高一个量级,验证了本文算法的有效性.