Brunn-Minkowski不等式是经典的等周不等式的推广，也是Brunn-Minkowski理论中重要的不等式之一^[1-3].对偶Brunn-Minkowski理论是经典Brunn-Minkowski理论的自然发展.对偶Brunn-Minkowski不等式是对偶Brunn-Minkowski理论中最重要的不等式之一^[4-6].

设K，L是$\mathbb { R } ^ { n }$中关于原点的星体，则有

等号成立当且仅当K与L互为膨胀，其中V(·)是n维的体积，$K\tilde + L$表示K与L的径向和.

20世纪60年代初，文献[7]介绍了凸体的L_q加法及数乘，并建立了L_q Brunn-Minkowski不等式.文献[8-9]推动了L_q Brunn-Minkowski理论的进一步发展.关于L_q Brunn-Minkowski理论以及对偶L_q Brunn-Minkowski理论的最新讨论参见文献[10-12].对偶L_q Brunn-Minkowski不等式为：

设K，L是$\mathbb { R } ^ { n }$中关于原点的星体，0 < q < n，则有

等号成立当且仅当K与L互为膨胀，其中$K{\tilde + _q}L$表示K与L的q阶径向和.

本文主要研究对偶Brunn-Minkowski型不等式，用对偶L_q变换法则证明了与对偶混合体积有关的不等式.

有关凸几何的基本知识和常用符号可参见文献[3].

定义1   给定函数：$\tilde F:S_o^n \to (0, + \infty), K, L \in S_o^n$，若对α∈(0，1)，有

则称$\tilde F$是q-凸的.当q=1时，我们称$\tilde F$为凸的.

引理1   设K，L∈S_oⁿ，0 < q < 1，0 < α < 1，则

等号成立当且仅当K=L.

证  由$(1 - \alpha){ \cdot _q}K{\tilde + _q}\alpha { \cdot _q}L$的定义和0 < q < 1，t∈(0，∞)时f(t)=t^q的严格凹性，对所有的u∈S^n-1，有

所以

等号成立当且仅当

即当且仅当K=L.

定理1   设：$\tilde F:S_o^n \to (0, + \infty)$是正齐次的、增的凸函数，0 < q < 1.设K，L∈S_oⁿ，则对所有的α∈(0，1)，有

当：$\tilde F:S_o^n \to (0, + \infty)$为严格增时，(3) 式中的等号成立当且仅当K与L互为膨胀.

证  不等式(3)等价于

由$\tilde F$的正齐次性，(4)式等价于

即

又因

其中

结合(5)式，不等式(3)等价于

对(6)式运用引理1，得

因此，由$\tilde F$的单调性、凸性和正齐次性，有

假设(3)式中等号成立，则(7)式中不等号应为等号，即

因$\tilde F$是严格增函数，则

又由引理1知

所以K与L互为膨胀.

另一方面，假设K与L互为膨胀，即K=βL，β>0，则有

由$\tilde F$的正齐次性得到

即(3)式中等号成立.

推论1   设：$\tilde F:S_o^n \to (0, + \infty)$是正齐次的、增的凸函数，0 < q < 1.设K，L∈S _oⁿ，则

当：$\tilde F:S_o^n \to (0, + \infty)$为严格增时，(8)式中等号成立当且仅当K与L互为膨胀.

证   设α ∈(0，1)，由定理1和$\tilde F$的正齐次性，得到

当$\tilde F$为严格增时，等号成立当且仅当${(1 - \alpha)^{ - \frac{1}{q}}}K$与${\alpha ^{ - \frac{1}{q}}}L$互为膨胀，所以K与L互为膨胀.

下面给出著名的对偶Brunn-Minkowski型不等式^[3]的一个简化证明：

定理2  设K，L，K_j+1，…，K_n∈S_oⁿ，0 < q < 1且j∈{2，…，n}，则

等号成立当且仅当K与L互为膨胀.

证  设K，L，K_j+1，…，K_n∈S_oⁿ，

则$\tilde F$是正齐次的、严格增的正函数.由文献[3]知$\tilde F$是凸函数.所以由推论1知

即

等号成立当且仅当K和L互为膨胀.