为叙述方便，先给出本文需要用到的一些记号.

用R^m×n表示m×n阶实矩阵的集合，记N={1，2，…，n}，m≤i，j，k≤n.

设：

定义1^[1-2]  设A=(a_ij)∈R^n×n，如果对任意的i，j∈N，i≠j，都有a_ij≤0，则称A为Z-矩阵，记为A∈Z_n.设A∈Z_n，则A可表示为A=sI－B，其中B≥0.当s≥ρ(B)时，称A为M-矩阵；当s>ρ(B)时，称A为非奇异M-矩阵.

定义2^[3]  设A=(a_ij)∈R^n×n，如果满足下面条件：

(a) $\left| {{a_{ii}}} \right| \ge \sum\limits_{j \ne i} {\left| {{a_{ij}}} \right|} , i \in N$；

(b) $J(A) \ne \emptyset $；

(c) 对于任意i∈N，i∉J(A)，存在i₁，i₂，…，i_k，使得a_ii1a_i1i2…a_ik－1i_k≠0，i_k∈J(A).

则称A为弱链对角占优矩阵.

定义3^[3]  设A=(a_ij)∈R^n×n，若J(A)=N，则称A为行严格对角占优矩阵.

引理1^[3]  设A=(a_ij)∈R^n×n是弱链对角占优M-矩阵，则A^{(k， n)}(k=1，…，n-1)也是弱链对角占优的M-矩阵.这里A^{(n₁，n₂)}表示由A=(a_ij)∈R^n×n的n₁至n₂行和n₁至n₂列的元素组成的子矩阵.

引理2^[3]  设A=(a_ij)∈R^n×n是弱链对角占优M-矩阵，B=A^(2，n)，A^－1=(α_ij)_i，j=1ⁿ，B^－1=(β_ij)_i，j=2ⁿ，则对任意的i，j∈N有

其中$\Delta = {a_{11}} - \sum\limits_{k = 2}^n {{a_{1k}}} \left[ {\sum\limits_{i = 2}^n {{\beta _{ki}}} {a_{i1}}} \right]$.

引理3^[4-5]  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则A^－1=(α_ij)满足

定理1  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则A^－1=(α_ij)满足

证  设$r_i^{\left( 1 \right)}\left( \varepsilon \right) = \max \left\{ {\frac{{\left| {{a_{ji}}} \right| + \varepsilon }}{{\left| {{a_{ij}}} \right| - \sum\limits_{k \ne j, i}^n {\left| {{a_{jk}}} \right|} }}} \right\}, i \in N$.由于A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优矩阵，则存在ε>0，使得$0 < r_i^{(1)}(\varepsilon ) < 1$，设

对于任意给定的i∈N，下面证明AR_i⁽¹⁾(ε)是行严格对角占优M-矩阵.事实上：

当j≠i时，有$r_i^{(1)}(\varepsilon ) > \frac{{\left| {{a_{ji}}} \right|}}{{\left| {{a_{jj}}} \right| - \sum\limits_{k \ne j \cdot i}^n {\left| {{a_{jk}}} \right|} }}$，即$\left| {{a_{jj}}} \right|r_i^{(1)}(\varepsilon ) > \left| {{a_{ji}}} \right| + \sum\limits_{k \ne j.i}^n {\left| {{a_{jk}}} \right|} r_i^{(1)}(\varepsilon )$；

当j=i时，有$\sum\limits_{k \ne i}^n {\left| {{a_{ik}}} \right|} r_i^{(1)}(\varepsilon ) < \sum\limits_{k \ne i}^n {\left| {{a_{ik}}} \right|} < \left| {{a_i}} \right|$

故AR_i⁽¹⁾(ε)是行严格对角占优M-矩阵.

因为AR_i⁽¹⁾(ε)是行严格对角占优M-矩阵，设AR_i⁽¹⁾(ε)=(a_ij⁽¹⁾)，[AR_i⁽¹⁾(ε)]^－1=α_ij⁽¹⁾.则：$\alpha _{jk}^{\left( 1 \right)}\frac{{{\alpha _{jk}}}}{{r_i^{(1)}(\varepsilon )}}, j \ne i;\alpha _{ik}^{(1)} = {\alpha _{ik}};a_{ji}^{(1)} = {a_{ji}}, j \ne i;a_{jk}^{(1)} = {a_{jk}}r_i^{(1)}(\varepsilon ), k \ne i$.由引理3得

即

则

令ε→0，得

类似定理1的证明，对r_i^(m)关于m用数学归纳法可得到如下定理：

定理2  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则A^－1=(α_ij)满足

特别地，当i=1时，有

由文献[6]中引理5的证明方法可得：

定理3  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则A^－1=(α_ij)满足

定理4  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，B=A^(2，n)，A^－1=(α_ij)B^－1=(β_ij)，则

证  设${r_i} = \sum\limits_{j = 1}^n {{\alpha _{ij}}} ,{M_A} = {\left\| {{A^{ - 1}}} \right\|_\infty },{M_B} = {\left\| {{B^{ - 1}}} \right\|_\infty }.则{M_A} = \mathop {\max }\limits_{_{i \in N}} \left\{ {{r_i}} \right\},{M_B} = \mathop {\max }\limits_{2 \le i \le ,n} \left\{ {\sum\limits_{j = 2}^n {{\beta _{ij}}} } \right\}$.由引理2及(5)式可得

当2≤i≤n时，由引理2和(4)式得

故对2≤i≤n，由引理2和(7)式知

若r₁≤q⁽¹⁾r₁+M_B，则

若r₁>q⁽¹⁾r₁+M_B，则

综上所述，有

对定理4利用迭代法可得如下结论：

定理5  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则

定理6  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，则

证  设A=(a_ij)∈R^n×n是行严格对角占优M-矩阵，显然有q_ji^(m)≤q^(m)≤l_m < 1，u_i < 1，故

且

故定理6成立.

故定理5改进了文献[7]中的定理3.2，优于文献[8]中的定理3.4和文献[2]中的定理3.3.

例1  设${\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} {1\;\;}&{ - 0.6}&{ - 0.1}\\ { - 0.5}&{1\;\;}&{ - 0.3}\\ { - 0.2}&{ - 0.3}&{1\;\;} \end{array}} \right]$，显然A是严格对角占优矩阵，应用文献[2]中的定理3.3、文献[7]中的定理3.2及文献[8]中的定理3.4，分别计算得‖A^－1‖_∞≤12.857 1，‖A^－1‖_∞≤7.267 7，‖A^－1‖_∞≤8.564 9.应用本文定理5得‖A^－1‖_∞=3.700 6，事实上，‖A^－1‖_∞=3.506 5.数值例子进一步验证了本文的结果比参考文献[2, 7-8]中的结果更为精确.