令N={1，2，…，n}，复(实)矩阵集记为C^n×n(R^n×n).

若矩阵A=(a_ij)∈R^n×n满足a_ij≥0(a_ij>0)，i，j∈N，称A是非负(正)矩阵，记为A≥0(A>0).

设A=(a_ij)∈R^n×n，若a_ij≤0，i，j∈N，i≠j，称A是Z-矩阵，记为Z_n.若A∈Z_n表示为A=αI－P，P≥0，当α>ρ(P)时，A是非奇异M-矩阵，其构成的矩阵集记为M_n；当α=ρ(P)时，A是奇异的.

令σ(A)={λ₁，λ₂，…，λ_n}，λ_i为矩阵A的特征值. |λ_i|的最大值称为A的谱半径，记为ρ(A).用τ(A)=min{Re(λ)：λ∈σ(A)}表示A的最小特征值，由文献[4]可知τ(A)∈σ(A).

设矩阵A=(a_ij)∈R^n×n，B=(b_ij)∈R^n×n，A与B的Fan积为

若A，B∈M_n，则A★B∈M_n.

如果有置换矩阵P，使A满足

称A是可约矩阵，否则不可约^[1].

设A=(a_ij)∈R^n×n，i，j，k∈N，j≠i，

引理1^[13]  设A=(a_ij)∈C^n×n，则A的特征值包含于$\bigcup\limits_{i\ne j}{\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le \sum\limits_{k\ne i}{\left| {{a}_{ki}} \right|} \right\}}$.

引理2^[13]  设A=(a_ij)∈C^n×n，则A的特征值包含于$\bigcup\limits_{\begin{matrix} i, j=1 \\ i\ne j \\ \end{matrix}}^{n}{\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\left| z-{{a}_{jj}} \right|\le \sum\limits_{k\ne i}{\left| {{a}_{ki}} \right|}\cdot \right.}\left. \sum\limits_{l\ne j}{\left| {{a}_{lj}} \right|} \right\}$.

定理1  设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈M_n，则

证  显然n=1成立，下面分两种情况讨论n≥2.

情况1  若A★B不可约，易见A，B都不可约.由引理1，存在i∈N，使得

所以

即

情况2  若A★B可约.由文献[14]知，只有主子式皆为正时Z_n中的矩阵为M-矩阵.存在满足除p₁₂=p₂₃=…=p_n－1，n=p_n，1=1外其他元素都是0的置换阵P=(p_ij)，当ε>0足够小时A－εP，B－εP的主子式都是正的，则A－εP，B－εP是不可约的M-矩阵.此时将A，B分别代换成A－εP，B－εP，当ε趋向于0时，结果依然成立.

定理2  设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈M_n，则

证显然n=1成立，下面分两种情况讨论n≥2.

情况1  若A★B不可约，易见A，B都不可约.设τ(A★B)=λ，由引理2知，存在(i，j)∈N，1≤i，j≤n，i≠j，使得

所以

即

情况2  若A★B可约.由文献[14]知，只有主子式皆为正时Z_n中的矩阵为M-矩阵.存在满足除p₁₂=p₂₃=…=p_n－1，n=p_n，1=1外其他元素都是0的置换阵P=(p_ij)，当ε>0足够小时A－εP，B－εP的主子式都是正的，则A－εP，B－εP是不可约的M-矩阵.此时将A，B分别代换成A－εP，B－εP，当ε趋向于0时，结果依然成立.

下面比较定理1和定理2的优越性.对i≠j，设

即

因为

所以

即

定理2的结果比定理1的结果好.

令

易见A，B∈M_n，根据文献[7]中的定理3.1、文献[8]中的定理7、文献[9]中的定理2、文献[12]中的定理3.1，分别得到如下结果：

由本文定理1得

由本文定理2得

从数值算例可见，所给估计式优于其他文献中的结果.