设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集合，则E上的模糊集μ是一个映射μ：E→[0, 1].E上模糊集的全体记为F(E).本文使用的模糊数学有关的概念和符号主要参照文献[1]，有关拟阵的理论主要参照文献[4].

定理1^[4](圈公理)  设C是E的子集族，则C是E上某个拟阵M =(E，I)全部圈组成的集合(称为圈集)的充要条件是C满足下面两条：

(C1) 如果C₁，C₂∈ C且C₁⊆C₂，则C₁=C₂；

(C2) 如果C₁，C₂∈ C且C₁≠C₂，x∈C₁∩C₂，则有C₃∈ C使得C₃⊆(C₁∪C₂)\{x}.

此时，I={X⊆E|∀C∈C，都有$ C\nsubseteq X $.要注意到两种极端情况：一是C =Ø ⇔I={X|X⊆E}；二是C ⊇{{x}|∀x∈E}⇔I=Ø.

文献[1]首次给出了模糊拟阵的定义：

定义1^[1]  设Ɩ⊆F(E)是满足下列条件的非空模糊集族：

(a) (继承性)若μ∈Ɩ，v∈F(E)，v≤μ，则v∈Ɩ；

(b) (交换性)若μ，v∈Ɩ，|supp μ| < |supp v|，则存在ω∈Ɩ使得：

(b1) μ < ω≤μ∨v，

(b2) m(ω)≥min{m(μ)，m(v)}.

则称偶对M =(E，Ɩ)是E上的模糊拟阵，Ɩ称为M的模糊独立集族.∀μ∈F(E)，如果μ∈Ɩ，则称μ为M的模糊独立集.否则，称μ为M的模糊相关集.M的最大模糊独立集称为M的模糊基.如果μ是M的模糊相关集，但∀α∈supp μ都有μ\\a∈ Ɩ，则称μ是M的模糊圈.如果μ是M的模糊圈且|supp μ|=1，则称μ是M的模糊环.若有r∈(0，1]，使得μ=ω(supp μ，r)，则称μ是M的初等模糊圈.

中国部分学者称这种模糊拟阵为G-V模糊拟阵^[2].我们的讨论就是针对这种模糊拟阵来进行的.因此，为了简化叙述，后面提到的模糊拟阵都是指G-V模糊拟阵.

文献[1]将模糊拟阵和普通拟阵关联起来，可以看作将模糊拟阵分解为拟阵.以定理形式表述如下：

定理2^[1](分解定理)  设M =(E，Ɩ)是模糊拟阵，∀r∈(0，1]，令I_r={C_r(μ)|∀μ∈Ɩ}，则M_r=(E，I_r)是E上的拟阵，而且有有限实数列r₀ < r₁ < … < r_n，使得：

(ⅰ) r₀=0，r_n≤1；

(ⅱ) 当0＜r≤r_n时I_r≠Ø，当r＞r_n时I_r=Ø；

(ⅲ) ∀s，t∈(r_i，r_i+1)，有I_s=I_t(0≤i≤n-1)；

(ⅳ) 若r_i＜s＜r_i+1＜t＜r_i+2，则I_s⊃I_t(0≤i≤n-2).

称序列0=r₀ < r₁ < … < r_n≤1为M的基本序列.

对正整数i=1，2，…，n，设$ \overline{r_{i}}=\frac{1}{2}\left(r_{i-1}+r_{i}\right) $，称拟阵序列

为M的导出拟阵序列.若$ I_{\bar{r}_{i}}=I_{r_{i}}(i=1, 2, \cdots, n) $，则称M是闭模糊拟阵^[1].

∀r∈(0，1]，称M_r=(E，I_r)是M的r-导出拟阵，M_r的圈称为M的导出圈(或导出拟阵圈).令$ \mathscr{C}=\left\{ \left. X\subseteq E \right| \right. $存在r∈(0，1]，使得X是M_r的圈}，称其为M的导出圈集(导出拟阵圈集).

由文献[1]的定理1.8，∀μ∈F(E)，μ∈Ɩ当且当∀r∈(0，1]，C_r(μ)∈I_r.

受文献[1]中定理2.3的启发，文献[9]的定理2.8可以看作定理2在闭模糊拟阵中的逆.

定理3^[9](合成定理)  设M_i=(E，I_i)(i=1，2，…，m)是E上的拟阵序列，使得I₁⊇I₂⊇…⊇I_m，取0=δ₀ < δ₁ < δ₂ < … < δ_m≤1，令

其中：r∈(δ_i-1，δ_i]时，I_r=I_i(i=1，2，…，m)；δ_m < 1，r∈(δ_m，1]时，I_r=Ø.则：

(ⅰ) M =(E，ψ)是闭模糊拟阵；

(ⅱ) 保留I₁⊇I₂⊇…⊇I_m中等式成立的下标最大部分，M_i1=(E，I_i1)⊃M_i2=(E，I_i2)⊃…⊃M_ih= (E，I_ih)组成M的导出拟阵序列，与之对应地，0=δ₀ < δ_i1 < δ_i2 < … < δ_ih≤1为M的基本序列.

本段重点讨论模糊拟阵导出圈的性质，以便从中找出构造模糊拟阵的方法.

定义2  设M =(E，Ɩ)是闭模糊拟阵，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1为其基本序列，M_r1⊃M_r2⊃…⊃M_rn为其导出拟阵序列，$ \mathscr{C} $为其导出圈集.

(a) 定义M的初等模糊圈集为ε={μ∈F(E)|μ是M的初等模糊圈}；

(b) 定义M的模糊圈集为ζ={μ∈F(E)|μ是M的模糊圈}；

(c) 当$ \mathscr{C}\ne \mathit{\varnothing} $时，定义M的导出圈映射为$ \mathscr{C} $上的映射$ \tau: \mathscr{C} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\}.\forall C\in \mathscr{C} $，根据文献[10]的定理3，得到两个非负整数i，j(i，j=0，1，…，n；i < j)，令τ(C)=(r_i，r_j)，称(r_i，r_j]为C的导出圈区间.

对导出拟阵M_ri(i=1，2，…，n)，令C_ri表示其所有圈组成的圈集.一般地，∀r∈(0，1]，记C_r为导出拟阵M_r的圈集.下面讨论导出圈、导出圈集和模糊圈之间的关系和性质.

定理4  闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)如定义2所设.则：

(ⅰ) $ \mathscr{C}=\bigcup\limits_{r\in (0, 1]}{{{\boldsymbol{C}}_{r}}}=\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{\boldsymbol{C}}_{{{r}_{i}}}}}=\{\operatorname{supp}\mu \mid \forall \mu \in \varepsilon \}=\{\operatorname{supp}\mu \mid \forall \mu \in \zeta \} $；

(ⅱ) $ \mathscr{C}=\emptyset \Leftrightarrow \varepsilon=\emptyset \Leftrightarrow \zeta=\emptyset \Leftrightarrow F(E)=l \Leftrightarrow r_{1}=1 $且I₁=P(E)，其中，P(E)表示E的幂集，拟阵(E，P(E))称为E上的自由拟阵^[4]；

(ⅲ) ∀μ∈F(E)，μ∈ε⇔存在r∈(0，1]和$ C \in \mathscr{C} $，使得

(ⅳ) ∀μ∈F(E)，R⁺ (μ)={β₁，β₂，…，β_k}(0 < β₁ < β₂ < … < β_k≤1)，则μ∈ζ⇔存在$ C \in \mathscr{C} $，使得τ(C)=(r_j，r_k)，β₁∈(r_j，r_k]且C_βi(μ)∈I_βi(i=2，3，…，k}(j < k)；

(ⅴ) ∀r∈(0，1]，令

则C_r^*是导出拟阵M_r的圈集(即C_r^*= C_r).我们称C_r(= C_r^*)为M的水平为r的导出圈集.

证  借用定义2的概念和符号.

(ⅰ) 使用定理1、定理2和文献[11]的定理2.5以及初等模糊圈的概念即可证明.

(ⅱ) 根据(ⅰ)知$ \mathscr{C}=\emptyset \Leftrightarrow \varepsilon=\emptyset \Leftrightarrow \zeta=\emptyset $.下面证明F(E)=Ɩ⇔ζ=Ø.

如果F(E)=Ɩ，则∀μ∈F(E)，由μ∈Ɩ知，μ∉ζ.即ζ=Ø.

反之，如果ζ=Ø，若F(E)≠Ɩ，当然有F(E)⊃Ɩ.取μ∈F(E)\Ɩ，则μ是模糊相关集.根据文献[11]的推论2.7，存在模糊圈ν∈ζ使得ν≤μ，这与ζ=Ø矛盾.

故F(E)=Ɩ.

最后证明F(E)=Ɩ⇔r₁=1且I₁=P(E).

当F(E)=Ɩ时，根据基本序列的定义有r₁≤1.若r₁ < 1，则由定理2知I_r1⊃I₁.取X∈I_r1\I₁，则X∉I₁.即X是导出拟阵M₁的相关集.根据文献[11]的定理2.2(ⅱ)知，存在M₁的圈C，使得C⊆X.即$ \mathscr{C}\ne \mathit{\varnothing} $，这与F(E)= Ɩ矛盾.故只能r₁=1.同时，由F(E)⊇P(E)知I₁=P(E).

如果r₁=1且I₁=P(E)，则从E∈P(E)=I₁知ω(E，1)∈Ɩ，得出

故F(E)=Ɩ.

(ⅲ) 任取μ∈F(E)，那么若μ∈ε，则存在r∈(0，1]和A⊆E，使得μ=ω(A，r).根据文献[11]的定理2.5知，supp μ=A=C_r(μ)是M_r的圈.即$ A\in {{\boldsymbol{C}}_{r}}\subseteq \mathscr{C} $.如果τ(C)=(r_j，r_k)，则由文献[10]的定理3知r∈(r_j，r_k].

若r∈(0，1]和$ C \in \mathscr{C} $，使得μ=ω(C，r).而且

由文献[10]的定理3，C=C_r(μ)是M_r的圈.再由文献[11]的定理2.5知，μ∈ε.

(ⅳ) 取μ∈F(E)，设R⁺ (μ)={β₁，β₂，…，β_k}(0 < β₁ < β₂ < … < β_k≤1)，C=C_β1(μ).

如果μ∈ζ，则根据文献[11]的定理2.5，C_βi(μ)∈I_βi(i=2，3，…，k}且C=C_β1(μ)是M_β1的圈.即$ C \in \mathscr{C} $，不妨设τ(C)=(r_j，r_k).再利用文献[10]的定理3知β₁∈(r_j，r_k].

如果$ C \in \mathscr{C} $，τ(C)=(r_j，r_k)，β₁∈(r_j，r_k].由文献[10]的定理3知，C是M_β1的圈.结合C_βi(μ)∈I_βi(i=2，3，…，k}以及文献[11]的定理2.5知μ∈ζ.

(ⅴ) 显然. $ \boldsymbol{C}_{r}^{*} \subseteq \mathscr{C} $.任取C∈ C_r^*.不妨设，τ(C)=(r_j，r_k).根据已知r∈(r_j，r_k]，因此由文献[10]的定理3知C∈ C_r.即C_r^*⊆ C_r.

任取C'∈ C_r.由$ {C}'\in {{\boldsymbol{C}}_{r}}\subseteq \mathscr{C} $，可设τ(C')=(r_j^'，r_k^').由C'是M_r的圈，结合文献[10]的定理3知，必定r∈(r_j^'，r_k^'].因此，根据C_r^*的定义有C'∈ C_r^*.即C_r^*⊇ C_r.

综上所述，C_r^*= C_r.

既然C_r^*= C_r，说明C_r^*一定满足圈公理，也是某个拟阵的圈集.

根据定理4(ⅱ)，我们知道$ \mathscr{C} = \mathit{\varnothing} \Leftrightarrow F\left( E \right)=\mathit{Ɩ} $.此时，所有模糊子集都是模糊独立集，这是一种平凡情况.因此，我们排除这种情况，即要求$ \mathscr{C} \ne \mathit{\varnothing} $.接下来，再讨论导出圈的两个精细性质.

定理5  闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)如定义2所设.则：

(ⅰ) $ \forall C, C^{\prime} \in \mathscr{C}, \tau(C)=\left(r_{j}, r_{k}\right), \tau\left(C^{\prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right) $.若C⊆C'且$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] \neq \emptyset $，则必有C=C'.

(ⅱ) $ \forall C, C^{\prime} \in \mathscr{C}, \tau(C)=\left(r_{j}, r_{k}\right), \tau\left(C^{\prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right) $.若C≠C'且$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] $，还有x∈C∩C'，则对$ \forall r \in\left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] $，都有M_r的圈$ C^{\prime \prime} \in \boldsymbol{C}_{r} $，使得$ C^{\prime \prime} \subseteq\left(C \cup C^{\prime}\right) \backslash\{x\} $.

如果$ \tau\left(C^{\prime \prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime \prime}, r_{k}^{\prime \prime}\right) $，则$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime \prime}, r_{k}^{\prime \prime}\right] \neq \varnothing $.

证  (ⅰ)任取$ \forall r \in\left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] $，从文献[10]的定理3知，C，C'都是M_r的圈.再根据定理1的(C1)知C=C'.

(ⅱ) $ \forall C, C^{\prime} \in \mathscr{C}, \tau(C)=\left(r_{j}, r_{k}\right), \tau\left(C^{\prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right) $.若C≠C'且$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] \neq \emptyset $，还有x∈C∩C'.则从文献[10]的定理3知，C，C'都是M_r的圈.再由定理1的(C2)知，存在M_r的圈$ C^{\prime \prime} \in \boldsymbol{C}_{r} $，使得$ C^{\prime \prime} \subseteq\left(C \cup C^{\prime}\right) \backslash\{x\} $.

因为$ \tau\left(C^{\prime \prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime \prime}, r_{k}^{\prime \prime}\right), C^{\prime \prime} $是M_r的圈，由文献[10]的定理3知$ r \in\left(r_{j}^{\prime \prime}, r_{k}^{\prime \prime}\right] $.则$ r\in \left( {{r}_{j}}, {{r}_{k}} \right]\bigcap \left( r_{j}^{\prime }, r_{k}^{\prime } \right]\bigcap \left( r_{j}^{\prime \prime }, r_{k}^{\prime \prime } \right] $，即$ \left( {{r}_{j}}, {{r}_{k}} \right]\bigcap \left( r_{j}^{\prime }, r_{k}^{\prime } \right]\bigcap \left( r_{j}^{\prime \prime }, r_{k}^{\prime \prime } \right]\ne \varnothing $.

下面继续讨论导出圈、导出圈映射和导出圈集的性质.

定理6  闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)如定义2所设，符号C_r^*如定理4(v)所设.则0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，且$ \mathscr{C} $和τ之间有如下性质：

(M1) (规范性) $ \mathscr{C} \ne \mathit{\varnothing} $.

(M2) (导出圈映射) $ \mathscr{C} $上有映射$ \tau: \mathscr{C} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\} $.对$ \forall C \in \mathscr{C} $，有τ(C)=(r_i，r_j)，满足：

1) 0≤r_i < r_j≤1；

2) ∀r_i∈{r₁，r₂，…，r_n-1}，都存在$ {{C}'} \in \mathscr{C} $和γ∈{r_i+1，r_i+2，…，r_n}，使得τ(C^')=(r_i，γ)，如果r_i=r_n，则存在$ {{C}'} \in \mathscr{C} $和γ∈{r₀，r₁，…，r_n-1}，使得τ(C')=(γ，r_n)；

3) ∀λ∈(r_i，r_j]，都有C∈ C_λ^*，∀λ∈(0，1]\(r_i，r_j]，都有C∉C_λ^*.

(M3) (反包含性) $ \forall C, C^{\prime} \in \mathscr{C}, \tau(C)=\left(r_{j}, r_{k}\right), \tau\left(C^{\prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right) $，若C⊆C'且$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{k}^{\prime}\right] \neq \emptyset $，则C=C'.

(M4) (合成性) $ \forall C, C^{\prime} \in \mathscr{C}, \tau(C)=\left(r_{j}, r_{k}\right), \tau\left(C^{\prime}\right)=\left(r_{j}^{\prime}, r_{h}^{\prime}\right) $，若C≠C'且$ \left(r_{j}, r_{k}\right] \cap\left(r_{j}^{\prime}, r_{h}^{\prime}\right] \neq \emptyset $，则对∀r∈(r_j，r_k]∩(r_l，r_h]，都存在C"∈ C_r^*，使得C"⊆(C∪C')\{x}.

(M5) (遗传性) 如果0 < s < t≤1，则对∀C∈ C_s^*，都存在C'∈ C_t^*，使得C'⊆C.

证  延用定义2、定理4的符号.根据定理4(v)知，C_r^*= C_r(∀r∈(0，1]).

规范性(M1)的证明由定理4及其后面的讨论即可完成.

从定理2、文献[10]的定理3和文献[11]的定理2.2(ⅱ)即可证性质(M2)成立.

由定理5(ⅰ)即得反包含性(M3)成立.

由定理5(ⅱ)即得合成性(M4)成立.

从0 < s < t≤1知，I_s⊇I_t.∀C∈ C_s^*，则C∉I_s，更有C∉I_t.由文献[11]的定理2.2(ⅱ)知，必有C'∈ C_t^*= C_t且C'⊆C.因此，遗传性(M5)成立.

此定理6中，要特别注意反包含性(M3)和遗传性(M5)的区别.(M3)的关键在于C，C^'同为M_r的圈.(M5)的关键是前面的导出拟阵的圈也会是后面的导出拟阵的圈，或真包含后面的导出拟阵的一个圈.因此，在$ \mathscr{C} $中，两个不同的导出圈很可能出现真包含.如果出现真包含，则其导出圈的区间一定不会相交.

我们仍然假设M =(E，Ɩ)是闭模糊拟阵，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1为其基本序列，M_r1⊃M_r2⊃…⊃M_rn为其导出拟阵序列.设$ \mathscr{C} $和τ分别为M的导出圈集和导出圈映射.

下面证明，一个E的非空子集族、一组0到1之间的数和一个映射，在满足一定条件时，可以确定一个模糊拟阵.为此，先做一些准备工作.

定理7  设$ \mathscr{Q}\subseteq P\left( E \right) $是E的非空子集族，取数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，有$ \mathscr{Q} $上的映射$ $，构造$ \mathscr{Q} $的子集：

假设$ \mathscr{Q} $，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*满足定理6的性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5).则有如下性质：

(ⅰ) C_r^*满足拟阵的圈公理(即定理1)；

(ⅱ) 如果r_i < r_j且C∈ C^*_ri∩ C^*_rj，则对任意r_i≤γ≤r_j，都有C∈ C_γ^*；

(ⅲ) ∀i(=1，2，…，n)，∀r∈(r_i-1，r_i]，都有C_r^*= C^*_ri；

(ⅳ) 如果0 < r_i < r_j≤1，则∀C∈ C^*_ri，都有C'∈ C^*_rj，使得C'⊆C，一般地，如果0 < s < t≤1，则∀C∈ C_s^*，都有C'∈ C_t^*，使得C'⊆C；

(ⅴ) 如果0 < s < t≤1且C_s^*= C_t^*，则对任意s≤γ≤t，都有C_s^*= C_γ^*= C_t^*；

(ⅵ) C^*_r1，C^*_r2，…，C^*_rn互不相同，而且$ \mathscr{Q}=\boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $.

证  首先，由性质(M1)知，映射τ^*有意义.

(ⅰ) 证明C_r^*满足定理1的(C1)和(C2).

如果C_r^*=Ø，C_r^*当然满足定理1的(C1)和(C2).下面讨论C_r^*≠Ø的情况.

1) ∀C，C'∈ C_r^*，设

若C⊆C'，则从C，C'∈ C_r^*和(1)式知r∈(r_j，r_k]∩(r_l，r_h]，即(r_j，r_k]∩(r_l，r_h]≠Ø.由定理6的性质(M3)知C=C'.因此，C_r^*满足(C1).

2) ∀C，C'∈ C_r^*，若C≠C'和x∈C∩C'.不妨设

由(1)式知r∈(r_j，r_k]∩(r_l，r_h].根据性质(M4)知，存在C"∈ C_r^*，使得C"⊆(C∪C')\{x}.所以，C_r^*满足(C2).

故C_r^*满足拟阵的圈公理.即C_r^*是E上某个拟阵M_r^*=(E，I_r^*)的圈集.而且，根据圈公理有

(ⅱ) 直接用(1)式即知r_i < r_j且C∈ C^*_ri∩ C^*_rj，则对任意r_i≤γ≤r_j，都有C∈ C_γ^*.

(ⅲ) 从C_r^*的定义和(1)式即可证明C_r^*= C^*_ri.

(ⅳ) 根据遗传性(M5)即知结论成立.

(ⅴ) 根据(1)，(2)式和性质(M5)，可以证明C_s^*= C_γ^*= C_t^*.

(ⅵ) 首先证明C^*_r1，C^*_r2，…，C^*_rn互不相同.反证，若有某两个子集合相同，不妨设C^*_ri= C^*_rj(r_i < r_j).根据性质(M2)的2)，有$ C \in \mathscr{Q} $，使得τ^*(C)=(r_i，γ).

首先讨论r_i+1=r_j时的情况.如果τ^*(C)=(r_i，γ)，则有r_i < r_i+1=r_j≤γ.从r_j∈(r_i，γ]，得到C∈C^*_rj.从已知有C^*_ri= C^*_rj，因此C∈C^*_ri.然而，从性质(M2)的3)和r_i∈[0, 1]\(r_i，γ]知C∉C^*_ri，矛盾.

再讨论r_i+1 < r_j时的情况.根据$ \boldsymbol{C}_{r_{i}}^{*}=\boldsymbol{C}_{r_{j}}^{*} $，得出$ \boldsymbol{C}_{r_{i}}^{*}=\boldsymbol{C}_{r_{i+1}}^{*}=\boldsymbol{C}_{r_{j}}^{*} $.但根据r_i+1=r_j时情形的讨论知$ \boldsymbol{C}_{r_{i}}^{*} \neq \boldsymbol{C}_{r_{i+1}}^{*} $，即$ \boldsymbol{C}_{r_{i}}^{*} \neq \boldsymbol{C}_{r_{j}}^{*} $，矛盾.

综上所述，$ \boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*}, \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*}, \cdots, \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $互不相同.

最后证明$ \mathscr{Q}=\boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $.显然$ \mathscr{Q} \supseteq \boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $.任取$ C \in \mathscr{Q} $，根据性质(M2)中τ^*的定义知，必有r_i，r_j∈{r₀，r₁，…，r_n}，使得τ^*(C)=(r_i，r_j).则由性质(M2)的3)知C∈ C^*_rj.所以$ \mathscr{Q}\subseteq \boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $.

综上所述，$ \mathscr{Q}=\boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*} $.

我们利用定理7证明：当一个子集族、一组数和一个映射满足某些性质时，能够确定唯一的闭模糊拟阵.

定理8  设$ \mathscr{Q}\subseteq P\left( E \right) $是E的非空子集族，取数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，有$ \mathscr{Q} $上的映射$ \tau^{*}: \mathscr{Q} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\} $，通过(1)式，构造$ \mathscr{Q} $的子集C_r^*.假设$ \mathscr{Q} $，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*满足定理6的性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5).则：

(ⅰ) 由(2)式能够得到一个拟阵序列

(ⅱ) 通过数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和(3)式，利用定理3能够得到一个闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)；

(ⅲ) 闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出拟阵序列是(3)式，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*；

(ⅳ) 如果闭模糊拟阵M '=(E，Ɩ')的基本序列也是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*，则M' = M.

证  (ⅰ) 根据定理7(i)，M^*_ri=(E，I^*_ri)(i=1，2，…，n)都是E上的拟阵.再由定理7(ⅵ)知，这n个拟阵互不相同.下面证明它们之间有包含关系.

任取r_i∈{r₁，…，r_n-1}，考察$ M_{r_{i}}^{*}=\left(E, I_{r_{i}}^{*}\right) $与$ M_{r_{i+1}}^{*}=\left(E, I_{r_{i+1}}^{*}\right) $.它们的圈集分别为C^*_ri与C^*_ri+1.根据拟阵圈公理有

从r_i < r_i+1和定理7(iv)知，∀C∈ C^*_ri，都有C'∈ C_ri+1^*，使得C'⊆C.

从r_i < r_i+1和定理7(ⅳ)知，∀C∈ C^*_ri，都有C'∈ C^*_ri+1，使得C'⊆C.

任取X∈I^*_ri+1，如果有某个C∈ C^*_ri，使得C⊆X，则有某个C'∈ C^*_ri+1，使得C'⊆X，这与I^*_ri+1的定义矛盾.

因此，∀C∈ C^*_ri，都有$ C \nsubseteq X $.所以X∈I^*_ri，即I^*_ri+1⊆I^*_ri.

再结合$ M_{r_{i}}^{*} \neq M_{r_{i+1}}^{*} $知

(ⅱ) 由数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，(3)式和定理3，得到闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)，其模糊独立集族定义为

其中，若r∈(r_i-1，r_i](i=1，2，…，n)，则I_r=I^*_ri(注意此时r_n=1).

(ⅲ) 由于(3)式是严格包含关系，因此，根据定理3，M =(E，Ɩ)的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出拟阵序列是(3)式.

一般地，∀r∈(0，1]，总有某个i(=1，2，…，n)，使得r∈(r_i-1，r_i].因此，M的r-导出拟阵是$ M_{r}=M_{r_{i}}^{*}=M_{r}^{*} $ ($ M_{r}^{*} $由(2)式定义).因此，其圈集为$ \boldsymbol{C}_{r}=\boldsymbol{C}_{r_{i}}^{*}=\boldsymbol{C}_{r}^{*} $.

由M^*_ri(i=1，2，…，n)的圈集为C^*_ri，再结合定理7(ⅵ)，得到$ \mathscr{Q}=\boldsymbol{C}_{r_{1}}^{*} \cup \boldsymbol{C}_{r_{2}}^{*} \cup \cdots \cup \boldsymbol{C}_{r_{n}}^{*}$.利用定理4(ⅰ)知，$ \mathscr{Q} $是M的导出圈集.

假设$ \tau: \mathscr{Q} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\} $是M的导出圈映射. $ \forall C\in \mathscr{Q} $，我们证明τ(C)=τ^*(C).分别假设τ(C)=(r_i，r_j)，τ^*(C)=(r_k，r_l).

1) 按照导出圈映射τ的定义，∀r∈(r_i，r_j]，C都是M_r^*的圈.即C∈ C_r^*；∀r∈[0, 1]\(r_i，r_j]，C都不是M_r^*的圈.即C∉C_r^*.

2) 按照τ^*的定义，满足性质(M2)的3)，∀λ∈(r_k，r_l]，都有C∈ C_λ^*；∀λ∈[0, 1]\(r_k，r_l]，都有C∉C_λ^*.

1) 和2)要同时成立，必定(r_i，r_j]=(r_k，r_l]，因此，τ(C)=τ^*(C).故τ^*是M的导出圈映射.

(ⅳ) 闭模糊拟阵M'=(E，Ɩ')的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*.设M'=(E，Ɩ')的导出拟阵序列为

∀r∈(0，1]，设C_r是M '的水平为r的导出圈集(即M_r的圈集).则由定理4(ⅴ)知，$ {{\boldsymbol{C}}_{r}}=\left\{ C\in Q\left| \tau \left( C \right)={{\tau }^{*}}\left( C \right) \right.=\left( {{r}_{j}}, {{r}_{k}} \right)且 r\in \left( {{r}_{j}}, {{r}_{k}} \right] \right\} $.再由(1)式知C_r= C_r^*.得出C_ri= C^*_ri(i=1，2，…，n).通过拟阵的圈公理，得到M_ri=M^*_ri.因此，M'=(E，Ɩ')的导出拟阵序列也是(3)式.

因为M和M '都是闭模糊拟阵，而且它们的基本序列和导出拟阵序列也都相同，所以利用文献[9]的命题2.4知M = M'.

通过以上的讨论，现在得出本文的主要结论.

定理9  (闭G-V模糊拟阵导出圈公理) 设$ \mathscr{Q}\subseteq P\left( E \right) $是E的非空子集族，取数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，取$ \mathscr{Q} $上的映射$ \tau^{*}: \mathscr{Q} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\} $.则有某个闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)，使得M的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*的充要条件是$ \mathscr{Q} $、0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*满足性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5).

定理9的必要性可从定理6得出，充分性可从定理8得出.

已知闭模糊拟阵M =(E，Ɩ)，通过定理2可以得出M的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和导出拟阵序列.从导出拟阵序列和定理4(ⅰ)可以计算出导出圈集$ \mathscr{C} $.最后，由定义2和文献[10]的定理3可以找出导出圈映射τ，同时，它们满足性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5).

反过来，已知非空子集族$ \mathscr{Q} $、数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和映射τ^*满足性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5)，怎么去找到一个闭模糊拟阵，使其基本序列、导出圈集和导出圈映射分别是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，$ \mathscr{Q} $和τ^*？其实，利用定理8就可以设计出找到这种闭模糊拟阵的算法.

最后，讨论导出拟阵圈公理在理论方面的一个应用例子.

文献[12]的定义3定义了模糊拟阵的圈好性，这种圈好性利用本文的概念和符号可以描述为：∀C⊆E(|C|>1)，若有C∈C_ri，则必有C∈C_r1.即圈好性可简单概括为：任何非环的导出圈都是导出拟阵M_r1的圈.

我们用导出圈映射可以得到准模糊图拟阵^[12]的一个充要条件.

定理10  设M =(E，Ɩ)是闭模糊拟阵，则M是准模糊图拟阵的充要条件是M的导出圈映射τ具有如下性质：$ \forall C \in \mathscr{C} $，只要|C|>1，都有r_i∈{r₁，r₂，…，r_n}，使得τ(C)=(0，r_i).

我们根据准模糊图拟阵的定义、文献[10]的命题1和文献[10]的定理3，容易证明定理10.

我们使用定理9的描述方法来表达定理10，可以得到准模糊图拟阵导出圈公理.

定理11(准模糊图拟阵导出圈公理)  设$ \mathscr{Q}\subseteq P\left( E \right) $是E的子集族，取数列0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，有$ \mathscr{Q} $上的映射$ \tau^{*}: \mathscr{Q} \longrightarrow\left\{r_{0}, r_{1}, \cdots, r_{n-1}\right\} \times\left\{r_{1}, \cdots, r_{n}\right\} $.则有某个准模糊图拟阵M =(E，Ɩ)，使得M的基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*的充要条件是$ \mathscr{Q} $，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*满足性质(M1)，(M2)^*，(M3)，(M4)和(M5).其中性质(M2)^*是在(M2)的基础上，增强条件而成，可表述为：(M2)的2)，3)和如下的1)^*：

1) ^*0≤r_i < r_j≤1.当|C|>1时，有τ^*(C)=(0，r_j).

证  首先证明必要性.设M =(E，Ɩ)是准模糊图拟阵，$ \mathscr{Q} $，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*分别为其导出圈集、基本序列和导出圈映射.则根据定理9，$ \mathscr{Q} $，0=r₀ < r₁ < … < r_n=1和τ^*满足性质(M1)，(M2)，(M3)，(M4)和(M5).

(M2) ^*的2)和3)自然成立，主要考察(M2)^*的1)^*.

根据定理10，$ \forall C \in \mathscr{Q} $，只要|C|>1，都有r_k∈{r₁，r₂，…，r_n}，使得τ^*(C)=(0，r_k).所以τ^*(C)=(0，r_k)=(r_i，r_j)，即τ^*(C)=(0，r_j).故性质(M2)^*成立.

再考察充分性.从性质(M2)^*可以看出，若(M2)^*成立，则(M2)自然成立.因此，根据定理9，有闭模糊拟阵M，其基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n=1，导出圈集是$ \mathscr{Q} $和导出圈映射是τ^*.再由性质(M2)^*的1)^*和定理10知，M是准模糊图拟阵.