在本文的主要结果的证明中，会多次用到前人关于Hardy空间上的Toeplitz算子的紧性以及Hankel算子的有限秩性质的刻画. 故本文引用相关结果如下：

引理1^[1]   设$ {\varphi}$ ∈L^∞，则$T_{\varphi}$是紧算子当且仅当$ {\varphi}$=0.

著名的Kronecker定理^[13]完全描述了有限秩的Hankel算子，该定理表明Hankel算子T是有限秩的当且仅当存在h∈H^∞($\partial D$)及u为有限Blaschke积，使得$T = {H_{z\bar ug}}$. Kronecker定理揭示了有限秩的Hankel算子与有理函数之间的关系. 本文引用另一版本的Kronecker定理如下：

引理2^[13]   若$ {\varphi}$∈L^∞，则$ H_{\varphi}$是有限秩的当且仅当存在一个非零的解析多项式a(z)，使得$a \varphi \in$H^∞($\partial D$).

设$f \in L^{\infty}$, 记$f^{+}=P f$及$f^{-}=(I-P) f$, 则$f^{+}, f^{-}$均属于$\bigcap\limits_{q>1} L^{q}$, 因而$T_{f^{+}}$与$T_{f}-$均是$H^{2}$上的稠定算子.

定理1   设$f_{1}, f_{2}, f_{3} \in L^{\infty}, h \in L^{\infty}$, 则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$当且仅当下列条件之一成立:

(a) $f_{1}$与$f_{1} f_{2}$都属于$\overline{H^{2}}$;

(b) $f_{1} \in \overline{H^{2}}$且$f_{3} \in H^{2}$;

(c) $f_{3}$与$f_{3} f_{2}$都属于$H^{2}$;

(d) 存在$\lambda \in \mathbb{C}$, 使得$f_{1} f_{2}^{+}-\lambda f_{1} \in \overline{H^{2}}$且$\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$.

证    充分性   显然，条件(a)或(b)或(c)成立可以推出$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$. 由于

若条件(d)成立，设

则

因此可得

即$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$是一个Toeplitz算子，其中最后一个等号成立是由Brown-Halmos定理得到的.

必要性  设$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$. 由于

从而则有

因此

即

下面我们将分2种情形进行讨论：

情形1   如果$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+} \otimes P \overline{z f_{3}}=0=-P \bar{z} f_{1} \otimes P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$，那么有以下两种可能：

情形1.1   $P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$，则有

或

如果$(2)$式成立, 即$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$且$P_{z}^{\bar{~}} f_{1}=0$, 那么可得$\bar{z} f_{1} \in\left(H^{2}\right) \perp=\bar{z} \overline{H^{2}}$, 从而则有$f_{1} \in \overline{H^{2}}$. 同理, 根据$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$, 则有$f_{1} f_{2}^{+} \in \overline{H^{2}}$ , 从而$f_{1} f_{2}=f_{1} f_{2}^{+}+f_{1} f_{2}^{-} \in \overline{H^{2}}$. 因此, 条件(a)成立.

如果$(3)$式成立, 即$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+}=0$且$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$, 则可得$f_{1} f_{2}^{+} \in \overline{H^{2}}$及$\overline{f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$, 从而有$f_{1} f_{2}^{+} \in$ $\overline{H^{2}}$及$f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$, 故存在$\lambda=0$, 使得$f_{1} f_{2}^{+}-0 f_{1} \in \overline{H^{2}}$且$0 f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$, 因此条件$(\mathrm{d})$成立.

情形1.2   $P \overline{z f_{3}}=0$, 则有

或

如果$(4)$式成立, 即$P \overline{z f_{3}}=0$且$P \bar{z} f_{1}=0$, 则可得$\overline{f_{3}} \in \overline{H^{2}}$且$f_{1} \in \overline{H^{2}}$, 即$f_{1} \in \overline{H^{2}}$且$f_{3} \in H^{2}$. 因此, 条件($\mathrm{b}$) 成立.

如果$(5)$式成立, 即$P \overline{z f_{3}}=0$且$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$, 则由$P \overline{z f_{3}}=0$可得$f_{3} \in H^{2}$, 以及由$P \overline{z f_{2}^{-} f_{3}}=0$可得$\overline{f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$, 从而$f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$, 因此$f_{2} f_{3}=f_{2}^{-} f_{3}+f_{2}^{+} f_{3} \in H^{2}$, 故条件$(\mathrm{c})$成立.

情形2   如果$P{\bar{z}} f_{1} f_{2}^{+} \otimes P \overline{z f_{3}} \neq 0$, 则存在不为0的数$\lambda$, 使得

即$P\left(\bar{z} f_{1} f_{2}^{+}-\lambda \bar{z} f_{1}\right)=0 $, 从而, $ f_{1} f_{2}^{+}-\lambda f_{1} \in \overline{H^{2}}$. 而且将(6)式代人(1) 式中, 可得

即

故

从而$P\left[\overline{\left(\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3}\right) z}\right]=0$, 即$\overline{\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3}} \in \overline{H^{2}}$, 因而$\lambda f_{3}+f_{2}^{-} f_{3} \in H^{2}$, 即条件$(\mathrm{d})$成立.

例1   若$f_{1}, f_{2}, f_{3}$均为解析多项式, 则$h=f_{1} f_{2} f_{3}$且$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}=T_{h}$.

本节我们考虑Toeplitz算子的乘积与Hankel算子之间的关系. 下面首先寻找使得2个Toeplitz算子的乘积等于一个Hankel算子的条件.

问题1  设$f, g, \varphi \in L^{\infty}$∈L^∞，什么条件下，成立$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$?

对于问题1，我们得到如下的结论：

定理2  若$f, g, \varphi \in L^{\infty}$∈L^∞，则$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$当且仅当f或g为0，且$ {\varphi}$∈H^∞.

证   必要性  设$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$，则

从而可得

即

由于$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T_{z}=H_{\varphi z^{2}}$，故$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=P{\bar{z}} f \otimes P \overline{g z}$. 下面我们分2种情况进行讨论：

情形1    若$P {\bar{z}} f \otimes P \overline{g z}=0$，则$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=0$，从而$\varphi\left(z^{2}-1\right) \in H^{2} $. 根据引理2知，$H_{\varphi}$是有限秩算子. 故由$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$及引理1可知f或g为0.

情形2    若$P \bar{z} f \otimes P \overline{g z} \neq 0$，则由于$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}$是秩为1的算子，根据引理2知，存在一次解析多项式a(z)，使得$a(z)$$\varphi\left(z^{2}-1\right) \in H^{2} $. 由于$a(z)\left(z^{2}-1\right)$仍然是解析多项式，再次根据引理2，$H_{\varphi}$为有限秩算子. 因此，由$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$及引理1可得f或g为0.

由$T_{f} T_{g}=H_{\varphi}$，f或g为0以及$ {\varphi}$∈L^∞，易得$ {\varphi}$∈H^∞.

充分性   显然.

下面，我们考虑3个Toeplitz算子的乘积等于一个Hankel算子的条件. 设$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$=$H_{\varphi}$，则

从而

由于$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T_{z}=H_{\varphi z^{2}}$，故

这表明$H_{\varphi} T_{z^{2}-1}=H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}$是秩至多为2的算子. 由引理2知$H_{\varphi}$为有限秩算子. 从而$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$=$H_{\varphi}$为有限秩算子. 因此，根据引理1可知，f₁或f₂或f₃为0，从而有$ {\varphi}$∈H^∞.

反过来，如果f₁或f₂或f₃为0，且$ {\varphi}$∈H^∞，则显然有$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$=0=$H_{\varphi}$. 因此，我们有下述结论：

定理3 设f₁，f₂，f₃∈L^∞，$ {\varphi}$∈L^∞，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} T_{f_{3}}$=$H_{\varphi}$当且仅当f₁或f₂或f₃为0，且$ {\varphi}$∈H^∞.

应用上述的方法和技巧，上面的结论可以推广至任意有限多个Toeplitz算子的乘积是一个Hankel算子的情形，即：

定理4 设$f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n} \in L^{\infty}, \varphi \in L^{\infty}$，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=H_{\varphi}$当且仅当f₁或f₂或…或f_n为0，且$ {\varphi}$∈H^∞.

引理3 设$f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{n} \in L^{\infty}, \varphi \in L^{\infty}$，则$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n-1} T_{a_{i}} T_{\bar{b}_{i}}+T_{\varphi}$, 这里$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$且$\varphi \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$.

证   应用数学归纳法证明该结论. 首先，如果n=2，则

这里，$a=f_{1}^{+}, b=\bar{f_{2}^{-}}$均属于$\bigcap\limits_{q>1} H^{q}$，且

现在假设结论对n个Toeplitz算子的情况成立，即

其中$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}, \varphi_{1} \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$，那么对n+1个Toeplitz算子的乘积有

这里

且$A_{i}, B_{i} \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$,

即结论对n+1个Toeplitz算子的情况也成立.

综上所述，对一切自然数n，均有结论成立.

定理4的证明 充分性显然，下证必要性. 如果$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}=H_{\varphi}$，根据引理3，有

此处$a_{i}(z), b_{i}(z) \in \bigcap\limits_{q>1} H^{q}$且$\psi \in \bigcap\limits_{q>1} L^{q}$. 从而

由于$T_{\bar{z}} H_{\varphi} T=H_{\varphi z}{ }^{2}$，因此

是秩至多为n－1的算子. 又根据$H_{\varphi\left(z^{2}-1\right)}=H_{\varphi} T_{z^{2}-1}$及引理2知，$H_{\varphi}$为有限秩算子，从而$T_{f_{1}} T_{f_{2}} \cdots T_{f_{n}}$是有限秩算子. 由引理1可得，f₁或f₂或…或f_n为0，从而$H_{\varphi}$=0，即$ {\varphi}$∈H^∞. 故必要性得证.