考虑Kirchhoff型方程

这里的$\varOmega$ 是$\mathbb{R}^{\mathrm{N}}(N=1, 2, 3)$ 中的开球, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, u^{+}=\max \{u, 0\}, u^{-}=\min \{u, 0\}, u=u^{+}+u^{-}.$ 非线性项$f \in C(\bar{\varOmega} \times \mathbb{R}, \mathbb{R})$, 满足$f(x, 0)=0$, 即方程$(1)$ 有一个平凡解$u \equiv 0.$ 因此我们将考虑方程$(1)$ 非平凡解的存在性.

令$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 是Sobolev空间, 它的范数为$\|u\|=\left(\int_{\varOmega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}.$ 记$H^{*}$ 为$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 的对偶空间且$\langle\bullet, \bullet\rangle $, $为H^{*}$ 和$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 的对偶对. 令$L^{p}(\varOmega)(1 \leqslant p < +\infty)$ 是Lebesgue空间, 它的范数为$|u|_{p}=$ $\left(\int_{\varOmega}|u|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{p}}$. 由于对任意的$p \in\left[1, 2^{*}\right), H_{0}^{1}(\varOmega)$ 嵌人到$L^{p}(\varOmega)$ 是连续嵌人和紧嵌人. 当$N=3$ 时, $2^{*}=6$; 当$N=1, 2$ 时, $2^{*}=\infty$. 故存在$S_{p}>0$, 使得对任意$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$, 有

考虑Kirchhoff特征值方程

文献[1]证明了：当$\alpha=\beta$ 时, 其主特征值$\lambda_{1}=\inf \left\{\|u\|^{4}: u \in H_{0}^{1}(\varOmega), |u|_{4}^{4}=1\right\}>0$, 对应的规范特征函数为$\varphi_{1}$, 且$\left|\varphi_{1}\right|_{4}^{4}=1$. 使得方程$(3)$ 有非平凡解的点$(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}$ 构成的集合$\varSigma$ 叫作Kirchhoff方程的Fucik谱. 文献[2]得到了$\varSigma$ 的两条平凡曲线$\left\{\lambda_{1}\right\} \times \mathbb{R}$ 和$\mathbb{R} \times\left\{\lambda_{1}\right\}$, 和一条非平凡曲线

这里$c(s)$是泛函$I_{s}(u)=\|u\|^{4}-s\left|u^{+}\right|_{4}^{4}$在$S=\left\{u \in H_{0}^{1}(\varOmega): |u|_{4}^{4}=1\right\}$ 上的临界值.

具有Fu$\mathop {\rm{c}}\limits^ \vee $ik共振的p-拉普拉斯问题的非平凡解的存在性已有许多结果(见文献[3-5]). 近年来，许多学者研究了基尔霍夫型问题解的存在性和多重性(见文献[1-2, 6-14]). 受文献[2, 11-12]的启发，我们将研究方程(1)在无穷远处带有Fu$\mathop {\rm{c}}\limits^ \vee $ik谱共振的非平凡解的存在性. 对任意的$(x, t) \in \varOmega \times \mathbb{R}$, 令$F(x, t)= \int_{0}^{t} f(x, s) \mathrm{d} s$. 本文的主要结果如下：

定理1   假设非线性项f满足条件：

$\left(\mathrm{f}_{1}\right)$ 对任意的$t \neq 0, f(x, t) t>0$, 当$|t| \rightarrow \infty$ 时, $f(x, t)=o\left(|t|^{3}\right)$, 且关于$x \in \varOmega$ 一致收复;

$\left(\mathrm{f}_{2}\right)$ 存在$\delta>0, C_{0}>0$ 和$r \in(1, 2)$, 使得对任意的$|t| \leqslant \delta$ 和$x \in \varOmega, F(x, t) \geqslant C_{0}|t|^{r}; $

$\left(\mathrm{f}_{3}\right) \lim\limits _{|t| \rightarrow \infty}(f(x, t) t-4 F(x, t))=-\infty$, 且关于$x \in \varOmega$ 一致收签.

则对于任意的$(\alpha, \beta) \in\left(-\infty, \lambda_{1}\right) \times\left\{\lambda_{1}\right\} \cup\left\{\lambda_{1}\right\} \times\left(-\infty, \lambda_{1}\right)$，方程(1)至少有两个非平凡解.

定理2 若非线性项f满足条件(f₁)-(f₃)，则对于任意的$(\alpha, \beta) \in\left[\lambda_{1}, \infty\right) \times\left\{\lambda_{1}\right\} \cup\left\{\lambda_{1}\right\} \times\left[\lambda_{1}, \infty\right)$，方程(1)至少有一个具有负能量的非平凡解.

定义如下C¹能量泛函$I: H_{0}^{1}(\varOmega) \longrightarrow \mathbb{R}$：

从变分的观点来看，方程(1)的弱解是泛函I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$的一个临界点. 利用带有(PS)_c条件的山路定理(见文献[5]的定义6)证明定理1和定理2. 下面将只证明定理1当α=λ₁，β < λ₁时的情形. 因为当α < λ₁，β=λ₁时的情形可类似地证明. 故定理2也只证明当α≥λ₁，β=λ₁时的情形.

引理1 假设f满足条件(f₁)，(f₃). 则泛函I满足(Ce)条件.

证  令$\left\{u_{n}\right\}$是I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中的一个(Ce)序列，即当$n \rightarrow \infty$时，有

首先证明$\left\{u_{n}\right\}$在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中有界. 若不然，即当$n \rightarrow \infty$时，$\left\|u_{n}\right\| \rightarrow \infty $. 令$v_{n}=\frac{u_{n}}{\left\|u_{n}\right\|}$，则存在v∈$H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得当$n \rightarrow \infty$时，有

由条件(f₁)，对任意ε>0，存在C₁>0，使得对任意的$(x, t) \in \varOmega \times \mathbb{R}$，有

由Ω的有界性和(2)式，存在C₂>0，使得

因此，当$n \rightarrow \infty$时，$\left\|u_{n}\right\| \rightarrow \infty $，有

由(6)，(8)式和Hölder不等式，存在常数C₃>0，使得当$n \rightarrow \infty$ 时，有

结合(5)式，当$n \rightarrow \infty$时，有

因此$\int_{\varOmega} \nabla v_{n} \cdot \nabla\left(v_{n}-v\right) \mathrm{d} x \rightarrow 0.$ 再结合(5)式，推出在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中，有$v_{n} \rightarrow v$且‖v‖=1. 同样的方法，再结合对任意$w \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，当$n \rightarrow \infty$时，$\frac{\left\langle I^{\prime}\left(u_{n}\right), w\right\rangle}{\left\|u_{n}\right\|^{3}} \rightarrow 0$，有

这表明如果$\alpha=\lambda_{1}\left(\beta=\lambda_{1}\right)$，则存在$t>0$使得$v=t \varphi_{1}\left(v=-t \varphi_{1}\right).$ 因此当$x \in \varOmega$ 时，$\left|u_{n}(x)\right| \rightarrow \infty$几乎处处成立. 由条件(f₃)和Fatou引理，有

由(9)式，当$n \rightarrow \infty$时，有

矛盾. 因此$\left\{u_{n}\right\}$是有界的. 故$H_{0}^{1}(\varOmega)$中存在一个子序列(仍表示为$\left\{u_{n}\right\}$)，使得$\left\{u_{n}\right\}$在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中弱收敛到u，$\left\{u_{n}\right\}$在$L^{p}(\varOmega)\left(p \in\left[1, 2^{*}\right)\right)$中强收敛到u. 再结合(2)，(7)式和Hölder不等式，当$n \rightarrow \infty$时，有

由(5)式和Hölder不等式，推出当$n \rightarrow \infty$时，有

因为序列$\left\{u_{n}\right\}$是有界的，故当$n \rightarrow \infty$时，有

因此由(9)，(10)式，当$n \rightarrow \infty$时，有

即在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中$u_{n} \to u$，证毕.

现在我们在$H_{0}^{1}(\varOmega)$上定义如下C¹泛函：

当t≤0时，$f_{-}(x, t)=0 $; 当t>0时，$f_{-}(x, t)=f(x, t). F_{-}(x, t)=\int_{0}^{t} f_{-}(x, s) \mathrm{d} s$. 类似于引理1的证明，得到如下结论：

引理2 若条件(f₁)成立，则任何使得$n \rightarrow \infty$时，$I_{\beta}^{-\prime}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0$ 的序列$\left\{u_{n}\right\}$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$都有一个收敛子列.

引理3 若条件(f₁)和(f₂)成立，则$I_{\beta}^{-}$有一个负的全局极小值点.

证  由条件(f₁)，当$\|u\| \rightarrow \infty $时，$\int_{\varOmega} F_{-}(x, u) \mathrm{d} x=o\left(\|u\|^{4}\right)$. 故

因此$I_{\beta}^{-}$在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中是强制有下界的. 由条件(f₁)和(f₂)，存在C₄>0，使得对任意$(x, t) \in \varOmega \times \mathbb{R}$，有

因此，有

因为r∈(1，2)，所以$\inf \limits_{u \in H_{0}^{1}(\varOmega)} I_{\beta}^{-} < 0$. 由引理2，$I_{\beta}^{-}$有一个非平凡全局极小值点$u_{1}$，即

注意到

所以‖u₁⁺‖=0，即$u_{1}$≤0. 由Harnack不等式，有$u_{1}$ < 0，因此$I_{\beta}^{-}$有一个非负全局极小值点.

注1 令u < 0是$I_{\beta}^{-}$的临界点，则u是下面方程的负解：

引理4 令I是$H_{0}^{1}(\varOmega)$中的C¹泛函且满足(Ce)条件. 若存在$u_{1}$∈$H_{0}^{1}(\varOmega)$和r>0，使得

这里$B_{r}=\left\{u \in H_{0}^{1}(\varOmega): \left\|u-u_{1}\right\| < r\right\}$，则I有一个临界点$w_{0}$且$\left\|u_{1}-w_{0}\right\|=r$.

证   令n是使得$\frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{r}{2}$的任意自然数. 由γ的定义知，存在$v_{n} \in \partial B_{r}$，使得$I\left(v_{n}\right) < \gamma+\frac{1}{n}$. 因此存在w_n，使得当

且

时，有

反之，如果对任意的$u \in I^{-1}\left(\left[\gamma-\frac{1}{n}, \gamma+\frac{1}{n}\right]\right) \cap S_{n}$，有$\left\|I^{\prime}(u)\right\| \geqslant \frac{8}{\sqrt{n}}$，由$S=\left\{v_{n}\right\}, \varepsilon=\frac{1}{n}$和$\delta=\frac{1}{\sqrt{n}}$知，存在$\zeta \in C\left([0, 1] \times H_{0}^{1}(\varOmega), H_{0}^{1}(\varOmega)\right)$，使得

由$\inf\limits _{u \in \partial B_{2 r}} I \leqslant \gamma=I\left(u_{1}\right) \leqslant \inf \limits_{u \in \partial B_{2 r}} I$，得$\gamma=\inf \limits_{u \in \partial B_{2 r}} I.$ 故(13)式与$\inf \limits_{u \in \neg B_{2 r}} I$的定义矛盾. 由(12)式和(Ce)条件，取一个子列(仍记为$\left\{w_{n}\right\}$)强收敛到$w_{0}$，这里$w_{0}$是I的临界点. 由不等式

和当$n \rightarrow \infty$时，$\left\|v_{n}-w_{n}\right\| \rightarrow 0$，我们得到$\left\|u_{1}-w_{0}\right\|=r$.

定理1的证明  由引理4，$I_{\beta}^{-}$有一个非平凡全局极小值点$u_{1}$ < 0. 由半线性椭圆型方程的正则性^[15]，有$u_{1} \in C^{1}(\bar{\varOmega})$，且存在$\delta>0$，使得对任意$u \in C_{0}^{1}(\varOmega)$，有

这里$\left\|u-u_{1}\right\|_{c^{1}} < \delta$且$u \leqslant 0$. 因此，$u_{1}$是泛函I在$C_{0}^{1}(\varOmega)$中的局部极小值点. 由文献[14]，$u_{1}$也是I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中的局部极小值点. 如果$v_{0}$也是$I_{\beta}^{-}$($v_{0}$≠ $u_{1}$)的全局极小值点，则$v_{0}$是I的另一个非平凡临界点，证毕.

我们假设$u_{1}$是$I_{\beta}^{-}$唯一的全局极小值点，则存在r>0，使得$2 r < \operatorname{dist}\left(u_{1}, 0\right)$，且$B_{r}=\left\{u \in H_{0}^{1}(\varOmega)\right.$：$\left.\left\|u_{1}-u\right\| < r\right\}$时，有

若$\inf \limits_{u \in \partial B_{r}} I=I\left(u_{1}\right)$，由引理6，I在边界上还有一个临界点. 因此，假设$\inf \limits_{u \in \partial B_{r}} I>I\left(u_{1}\right)$.

由条件(f₃)，当$t \rightarrow+\infty$时，有

因此，存在$t_{0}>0$，使得$\left\|u_{1}-t_{0} \varphi_{1}\right\|>2 r$且$I\left(t_{0} \varphi_{1}\right) < I\left(u_{1}\right)$，即

由引理1和山路定理，泛函I有一个临界值

这里

现在，我们通过证明c < 0来证I另外一个非平凡临界点的存在性. 即证存在一个$\gamma_{0} \in \varGamma$，使得$\max\limits _{t \in[0, 1]} I\left(\gamma_{0}(t)\right) < 0 $. 由方程(3)中$\alpha=\beta$时的第二特征值$\lambda_{2}$的定义(见文献[2, 13])：

这里

则存在$d>\lambda_{2}$和$\gamma \in \varGamma_{0}$，使得$\max\limits _{t \in[0, 1]}\|\gamma(t)\|^{4} < d $. 再结合(11)式，有

因此，对于充分小的s>0，有

现在固定s>0满足(14)式和s < t₀. 由条件(f₁)，对任意的τ∈[s，t₀]，有

这表明对任意的τ∈[s，t₀]，有

定义γ₁∈Γ如下：

由(14)式和(15)式，有

因为$u_{1}$是$I_{\beta}^{-}$唯一的全局极小值点，且$I_{\beta}^{-}$满足(PS)条件，由第二形变引理，存在$\eta \in C([0, 1] \times$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$，$H_{0}^{1}(\varOmega)$)，使得对任意的0≤t≤1，有

因此，对任意的t∈[0, 1]，有

这里$\xi(t)=\left(\eta\left(t, -s \varphi_{1}\right)\right)^{-}$是一条从$-s \varphi_{1}$到$u_{1}$的连续路径. 定义

由(16)式和(17)式，有$\gamma_{0}(t) \in \varGamma$且$\max\limits _{t \in[0, 1]} I\left(\gamma_{0}(t)\right) < 0$，这表明c < 0. 故问题(1)至少有两个非平凡解.

为了证明定理2，我们现在回忆一下文献[11]中的一些结论. 对任意的s≥0，定义

这里$\varSigma=\left\{\gamma \in C([0, 1], S): \gamma(0)=\varphi_{1}, \gamma(1)=-\varphi_{1}\right\}$. 文献[11]已经证明了$c(s)>\lambda_{1}$. 同样地，对任意s≥0，定义

且文献[11]证明了对任意的s≥0有$\tilde{c}(s)>\lambda_{1}$.

引理5  若f满足条件(f₁)，(f₃). 则对任意的$\alpha \geqslant \lambda_{1}$，存在$t_{1}>0$，使得$\inf \limits_{u \in E_{\alpha}} I>\max \left\{I\left(t_{1} \varphi_{1}\right), I\left(-t_{1} \varphi_{1}\right)\right\}$，这里$E_{a}=\left\{u \in H_{0}^{1}(\varOmega): \|u\|^{4}-\alpha\left|u^{+}\right|_{4}^{4} \geqslant c(\alpha)|u|_{4}^{4}\right\} $.

证  首先证明$\inf \limits_{u \in E_{a}} I>-\infty$. 因为$c(\alpha)>\lambda_{1}$，则存在ε>0，使得$c(\alpha)-\lambda_{1}>\varepsilon $. 由(2)式和(7)式，对任意的$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，存在C₅>0使得

因此，对任意的u∈E_α，有

这表明$\inf \limits_{u \in E_{a}} I>-\infty$. 接着，证明$\lim \limits_{|t| \rightarrow \infty} I\left(t \varphi_{1}\right)=-\infty$. 由条件(f₃)，当$t \rightarrow+\infty$时，有

因此，存在$t_{1}>0$使得$\inf \limits_{u \in E_{\alpha}} I>\max \left\{I\left(t_{1} \varphi_{1}\right), I\left(-t_{1} \varphi_{1}\right)\right\}$.

对任意的$\alpha \geqslant \lambda_{1}$，定义集合

则有如下结论：

引理6 假如f满足条件(f₁)，$\alpha \geqslant \lambda_{1}$，则对任意的$\gamma \in \varGamma_{\alpha}$，有$\gamma([0, 1]) \cap E_{a} \neq \emptyset$.

证   令$\gamma \in \varGamma_{\alpha}$. 如果0∈γ([0, 1])，则$\gamma([0, 1]) \cap E_{\alpha}=\{0\} \neq \emptyset$ 成立. 现在，假设$0 \notin \gamma([0, 1])$. 对任意的$0 \neq u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，定义$\pi(u)=\frac{u}{|u|_{4}}$，则$\pi \circ \gamma$ 是连续的. 由$\pi(u)$ 的定义，有

即$\pi \circ \gamma \in \varSigma $. 由$c(\alpha)$ 的定义，存在$t^{*} \in[0, 1]$，使得$J_{\alpha}\left(\pi \circ \gamma\left(t^{*}\right)\right) \geqslant c(\alpha) $. 因为$\left|\pi\left(\gamma\left(t^{*}\right)\right)\right|_{4}^{4}=1$，所以对任意的τ≥0，有

即对任意的τ≥0，有$\tau \pi\left(\gamma\left(t^{*}\right)\right) \in E_{\alpha} $. 特别地，$\gamma\left(t^{*}\right)=\left|\gamma\left(t^{*}\right)\right|_{4} \pi\left(\gamma\left(t^{*}\right)\right) \in E_{\alpha }$，因此

定理2的证明 由引理5和引理6，I的极小极大值为

即I的山路值. 因为泛函I满足(Ce)条件，所以c₁是I的临界值. 现在，通过证明c₁ < 0去证明I非平凡临界点的存在性. 即证：存在$\gamma_{2} \in \varGamma_{\alpha}$，使得$\max\limits _{t \in[0, 1]} I\left(\gamma_{2}(t)\right) < 0 $. 现在固定$d>0$且满足$d>c(0)$，则存在$\gamma \in \varSigma$，使得$\max\limits _{t \in[0, 1]}\|\gamma(t)\|^{4} < d $. 由(12)式，得

因此，由r∈(1，2)，则对充分小的s>0，有

现在固定s>0使得(18)式成立且s < t₁. 由条件(f₁)，对任意的t∈[s，t₁]，有

这表明，对任意的t∈[s，t₁]，有

定义

由(18)式和(19)式，有$\gamma_{2} \in \varGamma_{\alpha}$且$\max\limits _{t \in[0, 1]} I\left(\gamma_{2}(t)\right) < 0$，即c₁ < 0.