本文所讨论的群皆为有限群. 许多学者利用子群的广义正规性来研究有限群的结构，并得到了非常有意义的结果^[1-2]. 在这方面，文献[3]引入了$ {\mathscr{H}}$-子群：设H是群G的子群，如果H^g∩N_G(H)≤H对任意g∈G都成立，则称H是G的$ {\mathscr{H}}$-子群，并通过$ {\mathscr{H}}$-子群对有限群的结构进行了刻画. 文献[4]对这个概念进行了推广，并定义了$ {\mathscr{H}}C$-子群：设H是群G的子群，如果存在G的正规子群T，使得G=HT且H^g∩N_T(H)≤H对任意g∈G都成立，则称H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群. 应用此概念，文献[5-8]研究了有限群G的某些素数幂阶子群是$ {\mathscr{H}}C$-子群时有限群的结构，获得了非常丰富的研究成果.

本文是以上研究的延伸，考虑有限群G的Sylow p-子群P的正规化子N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群对群G的影响.

引理1^[4]  设H和K是群G的子群，

(ⅰ) 如果H≤K且H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，则H是K的$ {\mathscr{H}}C$-子群；

(ⅱ) 如果N$ \trianglelefteq $G，使得N≤H，则H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群当且仅当H/N是G/N的$ {\mathscr{H}}C$-子群.

引理2^[4]  设H是群G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且H是G的p-子群. 如果N是G的正规子群且(p，|N|)=1，则HN与HN/N分别是G与G/N的$ {\mathscr{H}}C$-子群.

引理3  设N是群G的正规子群，P是G的Sylow p-子群. 假设P的每个极大子群是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群. 当以下条件之一成立时：

(ⅰ) N是P的子群；

(ⅱ) (p，|N|)=1.

则PN/N的每个极大子群是N_G/N(PN/N)的$ {\mathscr{H}}C$-子群.

证  若N≤P，则由引理1直接验证可得.

现在假设(p，|N|)=1. 令M/N是PN/N的极大子群，则

故P₁=M∩P是P的极大子群. 由已知可得P₁是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，则存在N_G(P)的正规子群T，使得

对任意g∈N_G(P)都成立. 从而

对任意g∈N_G(P)，n∈$ \mathbb{N}$都成立. 于是P₁N是N_G(P)N的$ {\mathscr{H}}C$-子群. 由引理1可知，P₁N/N=M/N是N_G/N(PN/N)=N_G(P)N/N的$ {\mathscr{H}}C$-子群.

引理4^[4]  设N是群G的极小正规子群，且H是N的子群. 如果H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，则H是G的$ {\mathscr{H}}$-子群.

引理5^[3]  设H是群G的$ {\mathscr{H}}$-子群. 如果H$ \trianglelefteq $$ \trianglelefteq $K≤G，则H$ \trianglelefteq $K.

定理1  设p是群G的阶的最小素因子，P是G的Sylow p-子群. 如果P的每个极大子群是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且存在H≤G使得H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，并满足P′≤H ≤Φ(P)，则G是p-幂零的.

证  假设结论不真，且设G为极小阶反例，分以下几步完成证明：

步骤1  O_p′(G)=1.

假设O_p′(G)≠1. 根据引理2和引理3，G/O_p′(G)满足定理1的条件. 由G的极小性，G/O_p′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾.

步骤2  若P≤K＜G，则K是p-幂零的. 特别地，N_G(P)是p-幂零的.

因为

所以由引理1可得，P的每个极大子群都是N_K(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且存在H≤K，使得H是K的$ {\mathscr{H}}C$-子群，并满足P′≤H≤Φ(P)，因此K满足定理1的假设条件. 由G的极小性知，K是p-幂零的. 如果N_G(P)=G，则由文献[3]的引理2.7得到G是p-幂零的. 故N_G(P)＜G，且N_G(P)是p-幂零的.

步骤3  H≠1.

假设H=1，则P′=1，即P是交换p-群. 由步骤2可知，N_G(P)是p-幂零的. 设任意的Q∈Syl_q(N_G(P))，其中q≠p，那么PQ≤N_G(P)，因此PQ是p-幂零的且PQ=P×Q，即Q≤C_G(P). 因为P是交换p-群，所以P≤C_G(P). 由q的任意性得N_G(P)=C_G(P). 由Burnside定理知，G是p-幂零的，矛盾.

步骤4  G′是p-幂零的.

因为H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，所以存在G的正规子群T，使得

对于任意g∈G都成立. 因为

所以P≤T，从而G=T. 由于P′≤H，且P/P′是交换的，因此H/P′$ \trianglelefteq $P/P′，故H$ \trianglelefteq $P. 于是

又因为P∩(P′)^g≤H^g，所以

因此

由文献[9]的Grün定理，可得

根据N_G(P)的p-幂零性，可得

应用文献[10]的Tate定理，G′是p-幂零的.

步骤5

由步骤4，可以假设B是G′的正规p-补，则B$ \trianglelefteq $G，这与步骤1的结论矛盾，因此G′≤P. 这时

故G′≤Φ(G)，从而G是p-幂零的.

注1

(ⅰ) 定理1中的假设“H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群”是必不可少的. 例如，令G=S₄且P∈Syl₂(G). 因为P=N_G(P)，所以P的每个极大子群都是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且P′=Φ(P)是$ {\mathscr{H}}C$-子群. 但G不是2-幂零的.

(ⅱ) 定理1中的假设“p是|G|的最小素因子”也是必不可少的. 例如，设P是A₅的Sylow 3-子群. 显然P的每个极大子群都是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且P′=Φ(P)是$ {\mathscr{H}}C$-子群. 但A₅不是3-幂零的.

推论1  设p是整除群G的阶的素因子. 如果对任意的p，都存在G的Sylow p-子群P，使得P的每个极大子群是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且存在H≤G，使得H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群，并满足P′≤H ≤Φ(P)，那么G是超可解型的Sylow塔群.

证  当p是群G的阶的最小素因子时，G是p-幂零的. 设K是G的正规p-补，显然K满足假设，由归纳法可知K是超可解型的Sylow塔群. 因此G是超可解型的Sylow塔群.

定理2  设$ {\mathscr{F}}$是包含超可解群系$ {\mathscr{U}}$的饱和群系，N是群G的正规子群，且G/N∈$ {\mathscr{F}}$. 如果对N的任一Sylow p-子群P，P的每个极大子群是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且存在H≤G，使得H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群并满足P′≤H ≤Φ(P)，则G∈$ {\mathscr{F}}$.

证  假设定理2不真，且设G为极小阶反例. 接下来我们分情况进行讨论：

情形1  N是p-群.

假设Φ(N)≠1. 根据

并应用引理2和引理3，可得G/Φ(N)满足定理2的假设条件. 由G的极小性得G/Φ(N)∈$ {\mathscr{F}}$，故G/Φ(G)∈$ {\mathscr{F}}$，从而G∈$ {\mathscr{F}}$，矛盾. 因此Φ(N)=1.

设L是G包含在N的极小正规子群，容易证得G/L满足定理2的假设条件. 由G的极小性，可得G/L∈$ {\mathscr{F}}$. 不难看出L$ \nleqslant $Φ(G). 由文献[11]的引理2.6，可以假定

这里L₁，…，L_s皆是G的极小正规子群. 易证G/L_i∈$ {\mathscr{F}}$，其中i∈{1，…，s}. 如果s＞1，则

因此N=L₁是G唯一的极小正规子群. 令N₁是N的极大子群，根据假设条件，N₁是N_G(N)=G的$ {\mathscr{H}}C$-子群. 由引理4可知，N₁是G的$ {\mathscr{H}}$-子群. 再应用引理5，可得N₁$ \trianglelefteq $G. 由N的极小正规性得N₁=1，故N是p阶循环群. 应用文献[12]的引理2.16，可以得出G∈$ {\mathscr{F}}$，矛盾.

情形2  N不是素数幂阶群.

由推论1可得，N是一个超可解型的Sylow塔群. 令q是N的阶的最大素因子，Q是N的Sylow q-子群，则

显然G/Q对其正规子群N/Q满足定理2的假设条件. 由G的极小性得G/Q∈$ {\mathscr{F}}$，根据情形1可得G∈$ {\mathscr{F}}$. 定理2得证.

推论2  对于群G的任一Sylow p-子群P. 如果P的每个极大子群是N_G(P)的$ {\mathscr{H}}C$-子群，且存在H≤G，使得H是G的$ {\mathscr{H}}C$-子群并满足P′≤H≤Φ(P)，则G是超可解群.