设{X_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，公共分布函数F(x)为重尾分布，即$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}$，其中重尾指数γ>0，$\bar{F}(x)=1-F(x)$.分布函数F(x)未知时，文献[1]提出了极值指数的Hill估计量. 在此基础上文献[2-3]进一步证明了Hill估计量$\sqrt{k}$阶渐近正态性. 作为Hill估计量的一个推广，文献[4-5]提出了如下定义的半参数估计量

其中{X_i，n，1≤i≤n}为其升序统计量. 有关极值指数估计量及其应用的更多研究见文献[6-14].

本文受文献[7]构造伪估计量的启发，将半参数估计量$\hat{\gamma}_{n}(k)$的X_n-k，n替换为非随机的分位数$U\left(\frac{n}{k}\right)$，得到如下伪估计量

其中${\mathbb{1}}_{\{\cdot\}}$为示性函数. 本文将利用Lyapunov中心极限定理^[2]和Cramér-Wold设计^[15]，建立估计量$\hat{\gamma}_{n}(k)$与伪估计量$\tilde{\gamma}_{n}(k)$的渐近关系. 本文假定$U(t) = \left( {\frac{1}{{1 - F}}} \right)\overleftarrow {} \left( t \right)$为二阶正规变化函数，即存在辅助函数A(t)，使得

对所有x>0成立. 显然，A(t)∈RV_ρ，ρ≤0.

对连续可微单增函数f(x)，定义

其中$\bar{F}_{n}(t)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {\mathbb{1}}_{\left\{X_{i}>t\right\}}$. 特别地，当f(x)=log x时，有$\hat{A E}_{\log }\left(X_{n-k, n}\right)=\hat{\gamma}_{n}(k)$和$\hat{A E}_{\log }\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)=\tilde{\gamma}_{n}(k)$. 下面给出本文的主要结果，即$\hat{A E}_{f}\left(X_{n-k, n}\right)$和$\hat{AE}_{f}\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)$之间的渐近关系.

定理1     在条件(1)下，假设序列k满足$k=k(n) \rightarrow \infty, \frac{k}{n} \rightarrow 0$和$\sqrt{k} A\left(\frac{n}{k}\right)=O(1)(n \rightarrow \infty)$. 函数f满足f′∈RV_a-1，且0≤4aγ < 1. 则

特别地，令f(x)= log x，可以得到如下推论.

推论1    在条件(1)下，假设序列k满足$k=k(n) \rightarrow \infty, \frac{k}{n} \rightarrow 0$和$\sqrt{k} A\left(\frac{n}{k}\right)=O(1)(n \rightarrow \infty)$，则有

引理1    假设条件(1)成立. 函数f满足f′∈RV_a-1，且0≤4aγ < 1. 当$t \rightarrow \infty$时，有

证    使用分部积分法，可得

再根据文献[2]的命题B.1.10，当t充分大时，对任意的δ>0有

加之$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}$和f∈RV_a，得

同理，

引理1得证.

引理2    在条件(1)下，假设序列k满足$k=k(n) \rightarrow \infty, \frac{k}{n} \rightarrow 0$和$\sqrt{k} A\left(\frac{n}{k}\right)=O(1)(n \rightarrow \infty)$. 函数f满足f′∈RV_a-1，且0≤4aγ < 1. 令

则当$n \rightarrow \infty$时，有

其中$h(a, \gamma):=-\frac{6(1-a \gamma)(1-2 a \gamma)}{(4 a \gamma-1)(3 a \gamma-1)}-1, \delta>0$. 特别地，$\sum_{i=1}^{n} Z_{i, n}^{(f)} \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0, h(a, \gamma))$.

证    根据$\left(A E_{f}\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)\right)^{2}=\frac{E\left(\left(f(X)-f\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)\right)^{2} \mathbb{1}_{\left\{x>U\left(\frac{n}{k}\right)\right\}}\right)}{2 \bar{F}\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)}$和$\bar{F}\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)=\frac{k}{n}$，可得

使用分部积分法，可得

加之$\bar{F} \in R V_{-\frac{1}{\gamma}}, f \in R V_{a}$和(4)式，当$n \rightarrow \infty$时，可得

再结合引理1，可得

此外，当n充分大时，对任意的δ>0有

最后，根据Lyapunov中心极限定理可知$\sum_{i=1}^{n} Z_{i, n}^{(f)}$收敛. 引理2得证.

定理1的证明    使用分部积分法，可得

将(6)式与(7)式分别平方后再相减，可得

首先考虑等式(8)右边的第一项与第三项. 令$v=x U\left(\frac{n}{k}\right)$再结合$\frac{1}{\bar{F}_{n}\left(X_{n-k, n}\right)}=\frac{n}{k}$，可得

由文献[2]定理2.4.1知，$\sqrt{k}\left(\frac{X_{n-k, n}}{U\left(\frac{n}{k}\right)}-1\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0, 1)$. 根据f′∈RV_a-1，且$\bar{F}_{n}\left(X_{n-k, n}\right)=\frac{k}{n}$，当n充分大时，可得

再结合引理1和文献[7]的引理1，当n充分大时，可得

接下来考虑等式(8)右边的第二项. 注意到

再根据引理2，当n充分大时，可得

从而有

最后考虑等式(8)右边的第四项. 根据$\sqrt{k}\left(\frac{X_{n-k, n}}{U\left(\frac{n}{k}\right)}-1\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0, 1)$，可得

综上所述，当n充分大时，可得

定理1得证.

推论1的证明    令f(x)=log x时有$\hat{A E_{\log }}\left(X_{n-k, n}\right)=\hat{\gamma}_{n}(k)$和$\hat{A E_{\log }}\left(U\left(\frac{n}{k}\right)\right)=\tilde{\gamma}_{n}(k)$. 再结合定理1，可得

推论1得证.