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本文所提及的群皆为有限群，符号都是标准的，可参见文献[1-2]. 在有限群理论中，常利用图和群的作用去研究群的性质和结构[3-4]. 其中群在群上的作用具有基本的重要性，许多群论专家都从事过相关研究，并得到了大量关于群的可解性[5-6]、幂零性[7-8]、Fitting高[9-10]以及轨道长[11-12]的研究成果. 关于轨道长的相关研究中有大量研究是关于大轨道的，即群G作用在群H上，存在x∈H，使得
$\left|C_G(x)\right| \leqslant|G|^{\frac{1}{2}} $ . 文献[13]证明了：p-群G忠实互素地作用在群H上，则G在H上有一个大轨道. 文献[14]改进了这一结果，证明了：若G是幂零群，则G在H上有一个大轨道；并且提出问题：若G在H上的作用忠实互素，是否总有大轨道存在? 诸多学者在此基础上做了相关工作，直到近年，文献[15]证明了这一猜想的正确性. 在大轨道研究的基础上，文献[16]证明了：交换群A忠实互素地作用在可解群G上，若轨道长都小于某整数b，则|A|≤b8. 由此我们可以看到轨道长与群的阶有密切联系. 那么在一些有大轨道的特殊情况下，确定出其他部分轨道长度，以及研究这些轨道长与群的阶之间有何联系也是有意义的课题. 例如由置换同构定理，可以知道这类群的一些不可约特征标的维数情况. 本文主要研究了有限交换q-群忠实作用在初等交换p-群时，其可能存在的轨道长度.引理1[2] 设π′-群H作用在交换π-群G上，A是G的H-不变子群，并且是G的直因子，即存在B≤G使得G=A×B，则必可找到G的某个H-不变子群K使得G=A×K.
引理2[2] 设群G是Frobenius群，H是它的F-补，则H的任一Sylow子群或循环，或为广义四元数群.
定理1 令有限群G=P
$\rtimes $ Q，其中P是初等交换p-群，Q是交换q-群，设$Q \cong C_{q^{\alpha_1}} \times \cdots \times C_{q^{\alpha_s}} $ ，若Q忠实互素地作用在P上，则对任意k=1，…，s，均存在nk∈P，使得$\left|C_Q\left(n_k\right)\right|=q^{\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_k}} $ ，其中i1，…，is是1，…，s的重排.证 当s=1时，结论显然成立，现在假定s≥2.
设M
$\trianglelefteq $ P是满足CQ(M)=1的极小阶Q-不变子群. 注意到M最大可取到P. 由则存在〈a1〉≤Q，o(a1)=qα1，使得〈a1〉在Q中有补，故可设Q=〈a1〉×Q0，其中Q0是〈a1〉在Q中的补. 设M1≤M是满足C〈a1〉(M1)=1的极小Q-不变子群.
下面证明
$\bar{Q} $ =Q/CQ(M1)循环.考虑
$\bar{Q} $ 作用在M1上，则该作用忠实互素，并且M1是极小$\bar{Q} $ -不变子群. 否则，由引理1，M1=K1×K2，其中Ki是Q-不变子群(i=1，2). 再由M1的极小性可得因为循环群的m阶子群唯一，其中m是群阶的因子，故有
即C〈a1〉(M1)≠1，矛盾. 于是M1是M1
$\rtimes $ $\bar{Q} $ 的极小正规子群. 并且由C$\bar{Q} $ (M1)=1知M1是M1$\rtimes $ $\bar{Q} $ 的唯一极小正规子群.任取
$\overline{1} \neq \bar{x} \in \bar{Q} $ ，考虑$\langle\bar{x}\rangle $ 在交换群M1上的互素作用. 若CM1($\langle\bar{x}\rangle $ )≠1，则但由M1的唯一极小性知
这与
$\overline{1} \neq \bar{x} \in \bar{Q}=Q / C_Q\left(M_1\right) $ 矛盾，于是因此交换群
$\bar{Q} $ 作用在M1是Frobenius作用，故由引理2知，$\bar{Q} $ 为循环群.由于
故
$Q=\left\langle a_1, C_Q\left(M_1\right)\right\rangle $ .又由则可得
记Q1=CQ(M1). 若Q≠〈a1〉×Q1，由Q=〈a1〉×Q0可知Q/Q1不是循环群. 而Q/Q1忠实不可约地作用在M1上，类似前面的讨论可得Q/Q1是循环群，矛盾. 故Q=〈a1〉×Q1.
设T1≤M使得
于是T1≠1. 否则，我们有CQ(M)=CQ(M1)≠1，矛盾. 又由CQ(M)=1可得CQ1(T1)=1. 此外，T1是满足CQ1(T1)=1的极小Q-不变子群. 否则，设T2<T1使得CQ1(T2)=1. 考虑群M1×T2. 任取x∈CQ(M1×T2)，设x=x1x2，其中x1∈〈a1〉，x2∈Q1，任取y∈M1，则有yx=yx1=y. 由C〈a1〉(M1)=1知x1=1，于是x=x2. 任取z∈T2，则有zx2=z. 于是x2∈CQ1(T2)=1，因此CQ(M1×T2)=1，与M是满足CQ(M)=1的极小阶Q-不变子群矛盾.
由归纳法，则有
其中
Mi是满足C〈ai〉(Mi)=1的极小Q-不变子群，i=1，…，s，并且有
最后将证明
下面对s进行归纳. 设对任意1≤t≤s-1都有(1)式这样的分解，下证当t=s时，也有该分解. 考虑Q/CQ(Ms)，与证明
$\bar{Q} $ 循环同理，可得Q/CQ(Ms)是循环群. 因为asCQ(Ms)∈Q/CQ(Ms)，类似地可得Q=〈as〉×CQ(Ms). 记则M=Ms×Ns-1.因为
于是CQ(Ns-1)=〈as〉. 记Qs=CQ(Ms)，则
由归纳法有
于是
取nk=xik+1…xis，1≠xij∈Mij，则|CQ(nk)|=qαi1+…+αik，其中i1，…，is是1，…，s的重排.
设Irr(G)是有限群G的所有不可约特征标构成的集合. 由文献[1]的定理13.24，可得下面推论：
推论1 令有限群G=P
$\rtimes $ Q，其中P是初等交换p-群，Q是交换q-群，设$Q \cong C_{q^{\alpha_1}} \times \cdots \times C_{q^{\alpha_s}} $ ，若Q忠实互素地作用在P上，则对任意k=1，…，s，均存在nk∈P，使得qαi1+…+αik∈cd(G)，其中i1，…，is是1，…，s的重排，cd(G)={χ(1)：χ∈Irr(G)}.
A Special Class of Meta-Abelian Groups
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摘要: 令有限群G=P$\rtimes $Q, 其中P是初等交换p-群，Q是交换q-群.若Q忠实互素地作用在P上，则存在Q的任意直因子阶数的轨道长，即若$Q \cong C_{q^{\alpha_1}} \times \cdots \times C_{q^{\alpha_s}}$，则对任意k=1，…，s，均存在nk∈P，使得|CQ(nk)|= $q^{\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_k}} $，其中i1，…，is是1，…，s的重排，k=1，…，s.Abstract: Let finite group G=P$\rtimes $Q, where P is an elementary abelian p-group and Q is an abelian q-group. Suppose Q acts faithfully and coprimely on P, then there exists arbitrary orbit sizes that equal to the order of factors of Q, i.e, if $Q \cong C_{q^{\alpha_1}} \times \cdots \times C_{q^{\alpha_s}}$, then there exists some nk∈Psuch that |CQ(nk)|=$q^{\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_k}} $ where i1, …, is is the rearrange of 1, …, s, and k=1, …, s.
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Key words:
- finite group /
- meta-abelian group /
- orbit size .
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[1] ISAACS I M. Character Theory of Finite Groups[M]. New York-London: Academic Press, 1976. [2] 徐明曜. 有限群初步[M]. 北京: 科学出版社, 2014: 265-294. [3] 张良才, 施武杰, 王玲丽, 等. 李型单群U3(q)的非交换图刻画[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2007, 29(8): 8-12. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND200708002.htm [4] 王玲丽, 施武杰, 张良才, 等. 用非交换图刻画某些单群[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2007, 29(6): 159-160. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNND200706034.htm [5] 张广祥. 幂零群无不动点地作用于有限群[J]. 西南师范学院学报(自然科学版), 1984, 9(1): 41-44. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNZK198401009.htm [6] ROWLEY P. Finite Groups Admitting a Fixed-Point-Free Automorphism Group[J]. Journal of Algebra, 1995, 174(2): 724-727. doi: 10.1006/jabr.1995.1148 [7] 钟胜. 关于带作用群的有限群的幂零性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 1995, 20(5): 488-492. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNZK505.004.htm [8] SCIMEMI B. Finite Groups Admitting a Fixed-Point-Free Automorphism[J]. Journal of Algebra, 1968, 10(2): 125-133. doi: 10.1016/0021-8693(68)90089-6 [9] ERCAN G, GVLO GÜLUĞI S, JABARA E. Good Action on a Finite Group[J]. Journal of Algebra, 2020, 560: 486-501. doi: 10.1016/j.jalgebra.2020.05.032 [10] THOMPSON J G. Automorphisms of Solvable Groups[J]. Journal of Algebra, 1964, 1(3): 259-267. doi: 10.1016/0021-8693(64)90022-5 [11] QIAN G H, YANG Y. Large Orbit Sizes in Finite Group Actions[J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2021, 225(1): 106458. doi: 10.1016/j.jpaa.2020.106458 [12] DOLFI S. Large Orbits in Coprime Actions of Solvable Groups[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2008, 360(1): 135-152. doi: 10.1090/S0002-9947-07-04155-4 [13] PASSMAN D S. Groups with Normal, Solvable Hallp'-Subgroup[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1966, 123(1): 99-111. [14] ISAACS I M. Large Orbits in Actions of Nilpotent Groups[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1999, 127(1): 45-50. doi: 10.1090/S0002-9939-99-04584-0 [15] 石立叶, 王少英, 仝延增, 等. 可解群的大轨道[J]. 数学的实践与认识, 2019, 49(8): 311-315. doi: https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SSJS201908039.htm [16] YANG Y. On Nilpotent Group Actions on the Characters of Solvable Groups[J]. Algebras and Representation Theory, 2020, 23(1): 1-6. -
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