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在欧式空间上,经典的Picone恒等式为
其中u≥0,v>0,同时u,v是可微函数[1-3].文献[4]将(1)式推广到p-Laplace算子上,接着,文献[5]又将(1)式作了进一步的推广,得到了较为一般的Picone恒等式
最近,文献[6]将(2)式推广到p-Laplace算子上,给出了更加广义的Picone恒等式
关于Baouendi-Grushi p-退化椭圆算子,文献[7]给出了类似(3)式的结果.本文将(3)式推广到Heisenberg型群的p-退化椭圆算子上,得到了一类广义Picone恒等式,其结果包含了(3)式的情形.作为应用,在第三部分,利用本文得到的广义Picone恒等式证明了Hardy不等式、Sturmiam比较原理、主特征值的单调性结论和Liouville型定理,避免了正则性的讨论.最后,讨论了具有奇异项的拟线性方程的弱解问题.
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文献[8]提出了Heisenberg型群,它是Heisenberg群的推广,是一类与亚椭圆问题相联系的Carnot型群.作为满足Hömander条件的一般向量场的重要模型,Heisenberg型群被更多学者广泛研究,并得到许多重要结果[9-12].关于Heisenberg型群,在这里作一个简要的叙述,详细内容可参考本文中提到的参考文献.
设G是具有李代数
$\mathscr{G}$ =V1⊕V2的一个2步Carnot群,且$\mathscr{G}$ 被赋予內积〈·,·〉,定义映射J:V2→End(V1):若对任意ξ2∈V2,|ξ2|=1,映射J(ξ2):V1→V1是正交的,则称G是一个Heisenberg型群,简称H型群.
Heisenberg型群p-退化椭圆算子形为
其中p>1.
是V1的一组标准正交基,其中
相应于(4)式的非迷向伸缩为
与此伸缩相应的G的齐次维数是Q=m+2n.
设ξ=(x,y),
$\widetilde{\xi}=(\widetilde{x}, \widetilde{y}) \in G$ ,在H型群G上得到一个拟距离为定义中心在ξ,半径为R的拟开球为
令Ω⊂G,Ω是开子集,C0k(Ω)表示Ck(Ω)中具有紧支集的函数构成的集合,
D01,p(Ω)(1<p<∞)是C0∞(Ω)在范数
下的完备化.
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下文中,总是假设g满足下列条件:g:(0,∞)→(0,∞)是局部Lipchitz函数,且在(0,∞)上
几乎处处成立.
定理1 (广义Picone恒等式)若1<p<∞,Ω⊂G,u,v是Ω上的可微函数,在Ω上几乎处处v>0,且g满足(6)式,设
则
而且在Ω上,L(u,v)=0几乎处处成立的充要条件是
$\nabla_{L}\left(\frac{u}{v}\right)=0$ 几乎处处成立.证 经计算,有
得到
因为
并且g(v)满足(6)式,所以
当下面3个等式同时成立时,L(u,v)=R(u,v):
令
当ξ∈ω时,由(9)式得到
在(7)式中,取g(v)=vp-1,结合(10)式得
当ξ∈ωc时,设
由L(u,v)=0,得
从而
$\tilde \omega$ =1,即取g(v)=vp-1,得
综合(11)式和(12)式得到:在Ω上,L(u,v)=0几乎处处成立的充要条件是
$\nabla_{{L}}\left(\frac{u}{v}\right)=0$ 几乎处处成立.注1 在定理1中,当Ω=G时,结论仍然成立.
注2 在定理1中,取g(v)=vp-1,u≥0,得到文献[13]中的Picone恒等式.
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作为应用,本节首先讨论Hardy不等式.为此需要下面关键性的引理:
引理1 若v∈C1(G),在Ω上v>0,并且满足
其中λ>0,h是非负连续函数,g满足(6)式,则对于u∈C0∞(G),u≥0,有
证 取ϕ ∈C0∞(G),ϕ >0.由注1得
令ϕ →u,就得到(13)式.
利用引理1,取g(v)=vp-1,容易得到文献[14]中的下列Hardy不等式:
定理2 (Hardy不等式) 设1<p<Q,u∈C0∞(G\{0}),有
成立,其中Q=m+2n是相应于(5)式的齐次维数.
定理3 (Sturmiam比较原理) 设f1,f2是两个权函数,f1<f2,且g满足
若u是方程
的正解,则方程
的任意非平凡解一定改变符号.
证 假设v>0是方程(14)的解,由广义Picone恒等式,有
矛盾.因此假设错误,即v在Ω上改变符号.
对于下列不确定特征值问题
其中h(ξ)是不确定权函数,利用定理1给出的主特征值的严格单调性结论,g(u)满足(6)式.
定理4 (主特征值的单调性结论) 设λ1+(Ω)>0是问题(15)的主特征值,若Ω1⊂Ω2且Ω1≠Ω2,λ1+(Ω1)与λ1+(Ω2)都存在,则λ1+(Ω1)>λ1+(Ω2).
证 设u1,u2分别是相应于λ1+(Ω1),λ1+(Ω2)的正的特征函数,对于φ∈C0∞(Ω1),利用定理1,得到
在D01,p(Ω1)中,令φ→u1,有
已知
取g(u1)=u1p-1,得到
从而
结合(16)式得到
由已知条件知道
因此
定理5 (Liouville型结果) 若c0>0,p>1,且g满足
$g^{\prime}(y) \geqslant(p-1)\left[g(y)^{\frac{p-2}{p-1}}\right]$ ],则在DLoc1,p(G)中没有正解.
证 假设v是(17)式的正解,取R>0,令ϕ1是相应于第一特征值λ1(BR(ξ))的第一特征函数,使得λ1(BR(ξ))<c0.由文献[15]中的极大值原理知道:
$\frac{\phi_{1}^{p}}{g(v)}$ 可以作为测试函数,且$\frac{\phi_{1}^{p}}{g(v)}$ ∈D1,p(BR(ξ)).因此从而
矛盾.因此假设错误,即(17)式在DLoc1,p(G)中没有正解.
文献[16]讨论了具有奇异项的p-Laplacian方程解的问题,这里利用定理1来讨论这类问题.
定理6 (具有奇异项的拟线性方程组的弱解结论) 若g满足
且(u,v)是下列方程组的一组弱解:
则u=c1v,其中c1是常数.
证 设ϕ1,ϕ2∈D01,p(Ω),由方程组(18)有
在(19),(20)式中取ϕ1=u,
$\phi_{2}=\frac{u^{p}}{g(v)}$ ,得从而
因此,由定理1中的R(u,v)>0,得
即u=c1v,其中c是常数.