将在t时刻的人群总数记为

由(1)式可得

对(2)式积分后得

这里的P₀是时间为初始时刻的总人口数.由于

有

在本文接下来的部分，假设总人口数为一个常数，并且将此常数设为1.

在初始条件S(0)=S⁰，I₁(0)=I₁⁰，I₂(0)=I₂⁰，I₃(0)=I₃⁰的假设下，系统(1)满足

对于任意的时刻都有P(t)=1.因此，易感人群可以表示为

将(3)式带入系统(1)得

考虑集合

很明显，集合Ω是系统(2)一个正向不变集.令

为了定义手足口病3种病毒株不同的基本再生数，考虑周期函数的平均函数.假设f(t)是以ω为周期的函数，那么

其中〈·〉表示周期函数的平均值.由文献[8]的3.1.2节可得

现在，定义CA16，EV71以及其他病毒株的基本再生数分别为

因此，有下面结论.

命题1  如果R₁＜1，R₂＜1且R₃＜1，那么系统(1)的无病平衡点E₀=(1，0，0，0)是全局渐近稳定的.

证 注意到S(t)≤1，有

对(5)式求解，得到

因此，在R₁，R₂，R₃同时小于1的条件下，当t→∞时，I₁(t)→0，I₂(t)→0且I₃(t)→0.

本节讨论单个病毒株存活下来的条件.首先，假设I₂(0)=0，I₃(0)=0，那么I₂(t)=0，I₃(t)=0，t∈(0，+∞).通过与文献[9]类似的讨论，得到下面的结果.

引理1 如果R₁＞1，R₂＜1且R₃＜1，系统(4)存在唯一周期解ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0).此外，如果ζ₁(t)是系统(4)满足初始条件I₁(0)＞0的一个解，有

若R₂＞1，R₁＜1且R₃＜1时存在唯一的周期解ζ₂(t)=(0，γ₂(t)，0)，若R₃＞1，R₁＜1且R₂＜1时存在唯一的周期解ζ₃(t)=(0，0，γ₃(t))，这两种情形与引理2是对称的.下面，探究单病毒株周期解的稳定性，在系统(4)单病毒株的周期解附近线性化.不失一般性，可以设病毒株(1)的周期解为ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0)，其他的情形也是对称的.

引入变换I₁(t)=y₁(t)+γ₁(t)，I_j(t)=y_j(t)，其中y_j(t)(j=1，2，3)是扰动项，那么，线性化后的形式为

线性系统(4)可以被写成y′(t)= B (t) y (t)，其中B (t)是系数时间依赖矩阵.为了探究线性周期系统零解的稳定性，需要构造一个基解矩阵.首先，必须找到系统的一个线性无关解，令y_k(t)=0，k=2，3，这样，可以解(1)式第1个方程

得到(8)式的一个解为

其中b₁₁(t)是y₁左项系数.由此，(y₁(t)，0，0)是基解矩阵的第1列.为了获得剩余的解，令y_j(t)=0，j=2，3且j≠k，k≠1，然后，可以解(7)式第2，3方程

其中：b₂₂(t)是系统(4)的第2个方程右边的y₂前的系数，b₃₃(t)是系统(4)的第3个方程右边的y₃前的系数.在(7)式第一个方程中，y_k(t)被替换后，方程能被解出来，且解是一个复杂的表达式，定义为y_1k(t).

令基解矩阵

其中Ψ (ω)的Floquet乘子为

由文献[10]可知，当R₁＞1时，方程

有唯一的正周期解.假设γ₁(t)是系统(4)第一个方程的周期解，且满足方程(9).由于

那么，对方程(6)在[0，ω]上积分有

因此，第一个Floquet指数为

其它两个Floquet指数分别为

由Floquent定理知道，如果λ₁₁＜0，λ₁₂＜0且λ₁₃＜0，那么单病毒株的振荡解ζ₁(t)是局部渐近稳定的.如果存在λ_1k＞0，k=2，3，那么，单病毒株的振荡解ζ₁(t)是不稳定的.

定理1  如果R₁＞1，R₂＜1且R₃＜1，那么单病毒株的周期解ζ₁(t)=(γ₁(t)，0，0)是全局稳定的.

证  任意取ε＞0，使得(1-nε)R₁＞1，由命题1，当t→∞时，I₂(t)→0和I₃(t)→0，即存在T＞0，当t≥T时，I₂(t)≤ε，I₃(t)≤ε.通过变换系统(4)，假设对于所有的t，都有I_i(t)≤ε，i=2，3，因而系统(4)的第一个方程的解满足以下不等式

接下来考虑

系统(2)的第一个方程的解I₁(t)满足

其中Y₁(t)和Z₁^ε(t)是(7)式两个方程相同初始条件下的解.不难发现当ε→0时，

根据引理1，(10)式第一个方程有唯一的周期解γ₁(t)，由于(1-nε)R₁＞1，定义γ₁^ε(t)是方程(10)的第二个方程的唯一的周期解.当t→∞时，能够得到

由于(12)式不等式中ε可以取任意小，因此，当(t→∞)时I₁(t)→γ₁(t).

据文献[9-10]，如果病毒株的感染率是常数，则它与人群的密集程度κ和每一种病毒株传播的概率成正比，即

因此，假设模型(1)的3种病毒株周期感染率β₁(t)，β₂(t)，β₃(t)为

其中：κ(t)是以ω为周期的非负周期函数；常数p₁，p₂，p₃分别为CA16，EV71以及其他病毒的染病概率.据此，3种病毒株的基本再生数分别为

不失一般性，假设EV71病毒株I₂有最大的基本再生数.

定理2 如果R₂＞R₁＞1且R₂＞R₃＞1，那么，当t→∞时，I₁(t)→0，I₃(t)→0，|I₂(t)-γ₂(t)|→0即CA16病毒株和其他病毒株被竞争排斥掉，只有EV71病毒株持续生存.

证  对于病毒株I₁和I₃而言，考虑

对ν₁(t)，ν₃(t)求导，可以得到

化简(13)，(14)式得

对(15)，(16)式从0到t积分，可得

对(17)，(18)式同时取极限(t→∞)，(17)，(18)式右边收敛于正数

由于ν₁(0)＞0且ν₃(0)＞0，得到

因此，当t→∞时，ν₁(t)→∞，ν₃(t)→∞，又因为I₂(t)是有界的，所以当t→∞时，ν₁(t)→∞，ν₃(t)→∞.据定理1知EV71病毒株能够持续生存，而且系统(4)的解收敛于ζ₂(t).

令系统4的病毒感染率分别为β₁(t)=a+bsin(c₁t+c₂)，β₂(t)=c+dsin(c₁t+c₂)，β₃(t)=l+fsin(c₁t+c₂)，并且取$c_{1}=\frac{2 \pi}{52}$，c₂=2，α=0.000 16，ρ₁=0.823 5，ρ₂=0.783 5，ρ₃=0.75，b=0.3，d=0.4，f=0.3，I₁(0)=0.6，I₂(0)=0.3，I₃(0)=0.1，a=1.4，c=2.0，l=1.3.

由图 1可以发现EV71病毒株(y曲线)的感染率最大，随着时间无限推移，EV71病毒株能够持续生存，而CA16病毒株(x曲线)，其他病毒株(z曲线)会被EV71病毒竞争排斥掉.