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给定非空集I和正整数n.给定自映射F：I→I的n次迭代根f：I→I满足
其中fn表示f的n次迭代，也就是
${f^n} = f \circ {f^{n - 1}}$ 和f0=id.映射的迭代根问题在动力系统和函数方程中都会涉及到.文献[1-3]利用映射的迭代根研究了动力系统和函数方程问题，这一研究在文献[4-6]中有了突破性的进展，其结果都是针对区间上的单调连续自映射.关于在区间上非单调或者不连续的自映射的迭代根问题研究甚少[7-8].
区间上非单调连续自映射的迭代根问题要难得多.文献[9-10]研究了一类特殊的非单调连续映射，就是只有有限个非单调点的连续映射，称为严格逐段单调映射，简称为PM映射.用PM(I)表示在区间I=[a，b]上所有严格逐段单调连续映射组成的集合.让N(F)表示F∈PM(I)在I上的非单调点的个数.显然，F满足单调不减关系
用H(F)表示满足N(Fk)=N(Fk+1)的最小正整数k.由文献[9-10]知：当H(F)>1时，对任意整数n>N(F)，F没有连续的n次迭代根；当H(F)≤1时，有包含F值域的区间[a′，b′]⊆I，称为特征区间，使得F在此区间上是严格单调的.因此，可以通过找F在特征区间上的迭代根去找到F在区间I上的一些迭代根.
(P1) 当H(F)>1且N(F)≥n时，F在什么条件下具有连续的迭代根？
(P2) 当H(F)≤1且N(F)+1≥n时，若F在I上取到值a′或b′，而在[a′，b′]上取不到此值，F在什么条件下具有连续的迭代根？
对问题(P1)，文献[11-12]分别讨论了区间[0, 1]上N型和反N型映射的迭代根问题，也就是N(F)=n=2的情形.对N(F)=n=2情形，文献[13-14]研究了扩张自映射的迭代根.问题(P2)在文献[15]中得到了部分解决.文献[16]研究了当N(F)=n≥3时F的迭代根情况，在这种情形下，如果迭代根存在，仅有两种类型的迭代根.记这两种类型的迭代根分别为τ1型和τ2型，其中τ1(τ2)型指在包含F的所有非单调点且以非单调点为区间端点的区间上是严格递增(递减)的.文献[16]对τ1型的迭代根已经彻底解决，对τ2型的迭代根的完整描述还是一个公开的问题.
关于问题(P1)，我们考虑由下面Λ(I)定义的PM函数：
本文完全解决了由Λ(I)定义的PM映射的迭代根问题，使得文献[16]中的公开问题得到了部分解决.
在下文中，我们假定f是F的n次迭代根，也就是fn=F.并且用S(fi)表示fi的所有非单调点组成的集合，其中i=1，2，…，n.显然，S(F)=S(fn).记S(F)={c1，c2，…，cn}，其中，a < c1 < c2 < … < cn < b.
引理1 假定F∈Λ(I)有连续的n>1次迭代根f.则：
(ⅰ) N(fi)=i；
(ⅱ) min fi=a，max fi=b(i=1，2，…，n).
证 (ⅰ)假定F有连续的n次迭代根f：I→I满足(1)式.由H(F)>1，我们有N(F2)>N(F)，也就是N(f2n)>N(fn)，于是得到H(f)>n和1≤N(f) < N(f2) < … < N(fn)=N(F)=n.因此N(fi)=i(i=1，2，…，n).
(ⅱ)由(ⅰ)，我们有N(f)=1.假定x1表示f在I上的唯一的非单调点，那么f(x1)或者是f在I上的最小值(简记为min f)，或者是f在I上的最大值(简记为max f).如果f(x1)=min f，由a=min fn≥min f=f(x1)≥a，有f(x1)=min f=a，于是有a=min f≤min fi≤min fn=a，因此min fi=a(i=1，2，…，n)；如果f(x1)=max f，由b=max fn≤max f=f(x1)≤b，有f(x1)=max f=b，于是b=max f≥max fi≥max fn=b，因此max fi=b(i=1，2，…，n).
引理2 假定F∈Λ(I)有连续的n>1次迭代根f，那么或者S(f)={c1}，或者S(f)={cn}.
证 由引理1，我们有N(f)=1.因此，f在I上仅有唯一的非单调点.由文献[16]的注2.7，我们知道S(f)⊂S(F).因此，一定存在某个i∈{1，2，…，n}使得S(f)={ci}.记S1=S(f)，Sk={x∈(a，b)：f(x)∈S(fk-1)}\S(fk-1)，k=2，3，…，n.由文献[16]的引理2.3，有S(fk)=S(f)∪{x∈(a，b)：f(x)∈S(fk-1)}，k=2，3，…，n.由文献[16]的推论2.5知：当S(f)⊂S(fk-1)时，有
因此，Sk仅有一个元素，且S(fk)=S(fk-1)∪Sk(k=1，2，…，n).于是S(fk)=S1∪S2∪…∪Sk.特别地，S(F)=S(fn)=S1∪S2∪…∪Sn，其中Si∩Sj=Ø，i≠j，i，j=1，2，…，n.现在假定引理2的结论不成立，则存在i∈{2，3，…，n-1}使得S(f)={ci}，那么S1={ci}，且存在两个不相等的大于1的整数k1，k2，使得Sk1={c1}，Sk2={cn}.由于ci是f在I上的唯一非单调点，则f(ci)=min f，或者f(ci)=max f.因此，仅有下面两种可能的情形：
① f(cn)≤f(c1) < f(ci)，或者f(ci) < f(c1)≤f(cn)；
② f(c1) < f(cn) < f(ci)，或者f(ci) < f(cn) < f(c1).
不失一般性，假定①成立，那么由f的连续性，存在ξ∈(ci，cn]使得f(ξ)=f(c1).由于c1∈Sk1，我们有f(c1)∈S(fk1-1)，从而有f(ξ)∈S(fk1-1).因此，ξ∈Sk1或者ξ∈S(fk1-1).注意到Sk1={c1}和ξ≠c1，因此ξ∈Sk1是不可能的.所以ξ∈S(fk1-1)=S1∪S2∪…∪Sk1-1.于是存在j∈{1，2，…，k1-1}使得ξ∈Sj.由于c1∈Sk1，则c1∉S(fk1-1)，由文献[16]的推论2.5得到c1∉S(fj-1).另一方面，由ξ∈Sj，得到f(c1)=f(ξ)∈S(fj-1)，于是c1∈Sj，但是当c1∈Sk1和j≠k1时，c1∈Sj是不可能的.因此引理2得证.
引理3 假定F∈Λ(I)有连续的n>1次迭代根f.则：
(ⅰ)如果f是τ1型的迭代根，那么f(c1)=a或者f(cn)=b；
(ⅱ)如果f是τ2型的迭代根，那么f(c1)=b或者f(cn)=a.
证 由文献[16]，我们知F∈Λ(I)仅有τ1和τ2型的迭代根.由引理1和引理2很容易证明引理3.
引理4[16] 假定F∈Λ(I).则：
(ⅰ)假设f是F的n>1次连续τ1型的迭代根.如果S(f)={c1}，那么对每个i∈{2，3，…，n}都有f(ci)=ci-1；如果S(f)={cn}，那么对每个i∈{1，2，…，n-1}都有f(ci)=ci+1.
(ⅱ)假设f是F的n≥3次连续τ2型的迭代根.如果S(f)={c1}，那么对每个
$i \in \left\{ {2,3, \cdots ,n\left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right]} \right\}$ 都有f(ci)=cn+2-i，且对每个$i \in \left\{ {\left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right] + 1, \cdots ,n} \right\}$ 都有f(ci)=cn+1-i.如果S(f)={cn}，那么对每个$i \in \left\{ {1,2, \cdots ,\left[ {\frac{{n - 1}}{2}} \right]} \right\}$ 都有f(cn-i)=ci，且对每个$i \in \left\{ {\left[ {\frac{{n - 1}}{2}} \right] + 1, \cdots ,n - 1} \right\}$ 都有f(cn-i)=ci+1.引理5 假定F∈Λ(I)有连续的n次迭代根f.则：
(ⅰ)如果f是τ1型的迭代根，那么在情形S(f)={c1}，f(a)≤c1和S(f)={cn}下，f(b)≥cn；
(ⅱ)如果f是τ2型的迭代根，那么在情形S(f)={c1}，f(b) < c1和S(f)={cn}下，f(a)>cn.
证 假定F∈Λ(I)有连续的n次迭代根f，由文献[10]的推论2.3知f∈PM(I).
(ⅰ)假定f是τ1型的迭代根且S(f)={c1}，由引理3有f(c1)=a < c1.假定f(a)>c1，由f的连续性，存在c∈(a，c1)使得f(c)=c1，因此f(c)∈S(f).由引理3和文献[16]的推论2.5，得到c∈S(f2)⊂S(fn)=S(F)，这与c1是F的最小非单调点矛盾.因此f(a)≤c1.类似地，也能证明：如果f是τ1型的迭代根且S(f)={cn}，则一定有f(b)≥cn.
(ⅱ)假定f是τ2型的迭代根且S(f)={c1}，由引理4有f(cn)=c1.由于f在[cn，b]上是递减的，则有f(b) < f(cn)=c1.类似地，如果f是τ2型的迭代根且S(f)={cn}，由引理4有f(c1)=cn.由于f在[a，c1]上是递减的，则有f(a)>f(c1)=cn.
定理1 假定F∈Λ(I)，则F没有n≥3次连续迭代根.
证 由Λ(I)的定义知F(a)=b，F(b)=a，因此N(F)是偶数.因为n=N(F)，所以F仅有偶数次迭代根.我们知道F在区间[a，c1]和区间[cn，b]上都是递减的，由文献[16]的定理4.1，F没有连续的τ1型的n次迭代根.
(Ⅰ)(反证法) 假定F有连续的τ2型n≥3次迭代根f且S(f)={c1}.由引理3和引理5，有f(c1)=b和f(b) < c1.因此，分成下面3种情形进行讨论：
情形1 f(b)=a，f(a)=a.
由于f(c1)=b>c1，f(b)=a < c1，f(a)=a < c1，由f的连续性，存在c∈(a，c1)和d∈(c1，b)使得c1=f(c)和c1=f(d)，因此f(c)∈S(f)和f(d)∈S(f).由文献[16]的引理2.3，得到c∈S(f2)和d∈S(f2).因此S(f2)={c1，c，d}，于是有N(f2)=3>2，这与引理1矛盾.
情形2 f(b)∈(a，e1)，f(a)=a.
用与情形1完全类似的讨论.
情形3 f(b)=a，f(a)∈(a，b).
f(c1)=b>c1，f(b)=a < c1.如果f(a) < c1，用与情形1完全类似的讨论，能得出矛盾.如果f(a)=c1，当n=3k，k=1，2，…时，能推出fn(a)=a，也就是F(a)=a，这与假设F(a)=b矛盾.如果f(a)>c1，由于f(b)=a < c1，由f的连续性，存在x1∈(a，b)使得f(x1)=c1.因此f(x1)∈S(f).由文献[16]的引理2.3，得到x1∈S(f2).由文献[16]的推论2.5知S(f)⊂S(f2).因此有x1=c1或者x1≠c1.如果x1=c1，有f(c1)=c1，这与f(c1)=b矛盾.如果x1≠c1，有S(f2)={c1，x1}.如果n>3，由引理4，有f(c2)=cn，f(cn-1)=c2和f(cn)=c1.因此x1=cn，也就是S(f2)={c1，cn}.由于f(c1)=b，f(b)=a，f(c2)=cn，f(cn-1)=c2，f(cn)=c1和F(a)=b，有f3(F(cn))=F(f3(cn))=F(f2(c1))=F(f(b))=F(a)=b，所以f2(F(cn))=c1，从而就有f(F(cn))=cn.因此，我们有F(cn)=c2和F(c1)=F(f(cn))=f(F(cn))=f(c2)=cn.由于f(F(c2))=F(f(c2))=F(cn)=c2，因此F(c2)=cn-1.因为F(a)=b，所以F在区间[c1，c2]上是严格递增的.因此cn=F(c1) < cn-1=F(c2)，这与cn>cn-1矛盾.
如果n=3，由引理4，我们有f(c2)=c3，f(c3)=c1.因此x1=c3，从而有S(f2)={c1，c3}.因为f(c1)=b，f(b)=a，f(c2)=c3，f(c3)=c1和F(b)=a，我们有f2(F(c3))=F(f2(c3))=F(f(c1))=F(b)=a，所以f(F(c3))=b.从而有F(c3)=c1，F(c1)=F(f(c3))=f(F(c3))=f(c1)=b和f3(F(c2))=F(f3(c2))=F(f2(c3))=F(f(c1))=F(b)=a.因此f2(F(c2))=b，从而有f(F(c2))=c1，所以F(c2)=c3.因为F(a)=b，所以F在区间[c1，c2]上是严格递增的.因此b=F(c1) < c3=F(c2)，这与假设b>c3矛盾.
(Ⅱ)(反证法) 假定F有连续的τ2型n≥3次迭代根f和S(f)={cn}.由引理3和引理5，我们有f(cn)=a和f(a)>cn.分成下面3种情形进行讨论：
情形1 f(a)=b，f(b)=b；
情形2 f(a)∈(cn，b)，f(b)=b；
情形3 f(a)=b，f(b)∈(a，b).
在情形1中，因为f(cn)=a < cn，f(a)=b>cn，f(b)=b>cn，由f的连续性，存在c∈(a，cn)和d∈(cn，b)使得cn=f(c)和cn=f(d)，因此f(c)∈S(f)和f(d)∈S(f).由文献[16]的引理2.3，得到c∈S(f2)和d∈S(f2).因此S(f2)={cn，c，d}，于是有N(f2)=3>2，这与引理1矛盾.
在情形2中，用与情形1完全类似的讨论，也能得出矛盾.
在情形3中，f(cn)=a < cn，f(a)=b>cn.如果f(b)>cn，用与情形1完全类似的讨论，能得出矛盾.如果f(b)=cn，当n=3k，k=1，2，3，…时，能得到fn(b)=b，也就是F(b)=b，这与假设F(b)=a矛盾.如果f(b) < cn，因为f(a)=b>cn，由f的连续性，存在x1∈(a，b)使得f(x1)=cn.因此f(x1)∈S(f).由文献[16]的引理2.3，得到x1∈S(f2).再由文献[16]的推论2.5得到S(f)⊂S(f2)，因此有x1=cn或者x1≠cn.如果x1=cn，有f(cn)=cn，这与f(cn)=a矛盾.如果x1≠cn，有S(f2)={cn，x1}.如果n≥3，由引理4，我们有f(cn-1)=c1，f(c1)=cn.因此，x1=c1，也就是S(f2)={c1，cn}.因为f(cn)=a，f(a)=b，f(c1)=cn，f(cn-1)=c1和F(a)=b，F(b)=a，所以f(F(cn))=F(f(cn))=F(a)=b.因此F(cn)=a，从而有F(cn)=F(b)=a，这与F在区间[cn，b]上是严格递减的相矛盾.证毕.
Non-existence of Iterative Roots of Strictly Piecewise Monotone Continuous Self-mappings
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摘要: 区间上严格单调连续自映射的迭代根问题得到了彻底的解决.一类只有有限个非单调点的连续自映射，称为严格逐段单调自映射，简称为PM映射.对这类自映射，当特征区间存在时，已获得了一些关于其迭代根存在性的结果.继续研究PM映射迭代根的不存在性.Abstract: The problem of iterative roots of monotone continuous self-mappings on interval was solved completely. A class of nonmonotone continuous self-mappings, which are continuous self-mappings with finite nonmonotone points, is referred to as strictly piecewise monotone self-mappings, or PM mappings simply. For this class of self-mappings, some results have been obtained for iterative roots when the characteristic interval exists. In this paper we continue to study non-existence of iterative roots of PM mappings.
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Key words:
- PM mapping /
- Iterative root /
- Non-existence .
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[1] doi: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01174213 BÖDEWADT U T. Zur Iteration Reeller Funktionen[J]. Math Z, 1943, 49(1): 497-516. [2] doi: https://classiques-garnier.com/oeuvres-completes-tome-i-1867-1879.html ABEL N H. Oeuvres Completes [J]. Christiania, 1881(2): 36-39. [3] doi: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370269300010340 KOENIGS G. Recherches Sur Lesintegrals De Certains Equations Fonctionnelles[J]. Ann Ecole Norm Sup, 1884, 1: 3-41. [4] KUCZMA M. Functional Equations in a Single Variable[M]. Warsaw: PolishScienti cPubl, 1968. [5] doi: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=40560 ISAACS R. Iteraties of Fractional Order[J]. Canad J Math, 1950, 2: 409-416. [6] TARGONSKI G. Topics in Iteration Theory[M]. Göttingen: Vandenhoeck and Ruprecht, 1981. [7] doi: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2934960 LIU X H. Iteration and Iterative Roots of Fractional Polynomial Function[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2012, 2012: 1-10. [8] 刘晓华, 侯学刚.关于3类函数的迭代根[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2014, 39(6): 21-24. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2014.06.006 [9] 张景中, 杨路.论逐段单调连续函数的迭代根[J].数学学报, 1983, 26(4): 398-412. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFD1983-SXXB198304002.htm [10] doi: http://yadda.icm.edu.pl/yadda/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-apmv65z2p119bwm ZHANG W N. PM Functions, Their Characteristic Intervals and Iterative Roots[J]. Ann Polon Math, 1997, 65(2): 119-128. [11] 孙太祥, 席鸿建.区间上N型函数的迭代根[J].数学研究, 1996, 29(2): 40-45. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SSYJ602.008.htm [12] 孙太祥.区间上反N型函数的迭代根[J].数学研究, 2000, 33(3): 274-284. doi: 10.3969/j.issn.1006-6837.2000.03.006 [13] 张广远.一类线段自映射的共轭与迭代根(Ⅰ)[J].数学年刊, 1992, 28(1): 33-40. doi: http://www.ixueshu.com/document/946e317b94c487681fd6bf8951d5e6e2318947a18e7f9386.html [14] 张广远.一类线段自映射的共轭与迭代根(Ⅱ)[J].数学年刊, 1992, 28(4): 473-478. doi: http://www.cqvip.com/QK/95311X/199204/984017.html [15] doi: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X07013200 LI L, YANG D L, ZHANG W N. A Note on Iterative Roots of PM Functions[J]. J Math Anal Apppl, 2008, 341(2): 1482-1486. [16] doi: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X11005876 LIU L, JARCZYK W, LI L, et al. Iterative Roots of Piecewise Monotonic Functions of Non-Monotonicity Height Not Less Than 2[J]. Nonlinear Anal, 2012, 75(1): 286-303. -
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