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随着科学的发展，经典Laplacian方程Δu=0不适合生活中很多复杂的物理问题，特别是大范围不规则的扩散现象，由此人们提出了分数阶Laplacian算子. 从概率论的角度看，分数阶Laplacian算子是稳定Lévy过程中的无穷小生成元，是Lévy飞行过程中的尺度极限[1-2]，它在金融数学、概率论、生物学等领域中有着广泛的应用[3-5].
常见分数阶Laplacian算子的定义有3种，根据Riesz位势给出的定义[6]、根据傅里叶变换给出的定义[7]以及利用函数延拓给出的等价定义[8]. 本文用文献[8]中的定义.
文献[9]研究了半线性抛物方程ut=Δu+V(x)up在Dirchlet条件下的爆破，其中Ω是
${\mathbb{R}}^{N}$ 中的光滑有界凸区域，M≥0，V是Lipschitz连续的，φ>0且φ满足相容性条件.文献[10]研究了分数阶多孔介质方程(FPME)
$\frac{\partial u}{\partial t}+(-\Delta)^{\frac{\sigma}{2}}\left(|u|^{m-1} u\right)=0$ 在${\mathbb{R}}^N$ 空间中Cauchy问题解的存在性和唯一性，其中0 < σ < 2，m>0. 近期还有很多关于分数阶反应扩散方程的研究[11-12]. 本文主要研究的是如下一类半线性分数阶反应扩散方程：的非负解的性质. 其中Ω是
${\mathbb{R}}^N$ 中的有界光滑域，a(x)∈C(Ω)，1 < p < 2s*，$2_{s}^{*}=\frac{2 N}{N-2 s}(N>2 s)$ 是分数阶Sobolev迹嵌入定理的临界指数，(－Δ)s(0 < s < 1)是分数阶Laplacian算子. 方程(1)描述的是一类反常扩散现象，u表示的是扩散物质的浓度[13]，故本文默认u≥0.将方程(1)按文献[8]中的方法进行延拓. 令U：Ω×(0，∞)→
$ \mathbb{R}$ 是函数u：Ω→$ \mathbb{R}$ 的延拓函数，记D的横向边界为∂LD=∂Ω×[0，∞)，将方程(1)化为
记(－Δ)s=As，
$(-\Delta)^{\frac{5}{2}}=A_{\frac{s}{2}}$ ，0 < s < 1. 方程(1)与方程(2)等价[8]. 定义方程(2)的能量泛函为[14]其中
这里
同理方程(1)的能量泛函定义为
对E(U(t))关于t求导，得
因为a(x)∈C(Ω)，Ω是有界区域，故存在m，M>0，使得m≤|a(x)|≤M成立. 定义势井(稳定集)为
定义势井的深度为
本文的主要结果如下：
定理1 若1 < p≤p*，
$p^{*}=\frac{N}{N-2 s}$ ，u0∈Σ1，则方程(1)存在整体解u=u(x，t；u0).定理2 若U=U(x，y，t；U0)是方程(2)的解，且U0∈Σ1，则存在α>0，使得
定理3 若U=U(x，y，t；U0)是方程(2)的整体解，且在
$H_{0, L}^{s}(D)$ 上关于t一致有界，则在$H_{0, L}^{s}(D)$ 中，对任意序列{t}n，当tn→∞时，存在一个稳定解w，使得U(x，y，tn；U0)→w.
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为证明定理1，先引入引理1、引理2，其证明过程与文献[12]中的相关结论的证明类似，此处省去证明.
引理1
$d=\frac{p-1}{2(p+1)} \vartheta^{-\frac{2(p+1)}{p-1}}$ ，其中$\frac{1}{\vartheta}=\inf\limits_{\substack{U \in H_{0, L}^{s}\ (D) \\ U \neq 0}}\ \frac{h^{\frac{1}{2}}(U)}{g^{\frac{1}{p+1}}(U)}$ .由分数阶Sobolev迹嵌入不等式(证明见文献[17])，设
$\frac{1}{\vartheta_{1}}$ 是最好的嵌入指数，由于|a(x)|∈[m，M]，则有引理2 若1 < p≤p*，
$p^{*}=\frac{N}{N-2 s}$ ，令ρn(x)=min{ |x|-2s，n}，βn(x)=min{a(x)up，n}，则对任意的T>0和任意$u_{n_{0}} \in C_{0}^{\infty}(\mathit{\Omega}), a(x) \in C(\mathit{\bar{\Omega}}), u \in H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})$ ，方程存在整体解un∈C([0，T]；H0s(Ω))，使得
$\dot{u}_{n} \in L^{2}\left([0, T] ; H_{0}^{s}(\Omega)\right), \dot{u}_{n}=\frac{\partial u_{n}}{\partial t}$ .定理1的证明.
证 由引理2可知，方程(5)存在弱解
$u_{n} \in C\left([0, T] ; H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})\right) \text {. 在 } H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})$ 中，$u_{n_{0}} \in C_{0}^{\infty}(\mathit{\Omega}), u_{n_{0}} \rightarrow u_{0}$ ，且存在ε0>0使得$I\left(u_{n_{0}}\right) \leqslant I\left(u_{0}\right)+\varepsilon_{0}<d$ . 在方程$\rho_{n}(x) \dot{u}_{n}+A_{s} u_{n}=a(x) u_{n}^{p}$ 两边同乘$\dot{u}_{n}$ ，再在Ω×(0，t)上积分，可得下证∀t∈[0，T]，un(t)∈Σ1. 用反证法，设存在最小时间t*，使得
$u_{n}\left(t^{*}\right) \notin \mathit{\Sigma}_{1}$ . 因为un∈C([0，T]；H0s(Ω))，且E(U(t))关于t单调递减，则un(t*)∈∂Σ1，即I(un(t*))=d或$\int_{\mathit{\Omega}}\left|A_{\frac{s}{2}} u_{n}\left(t^{*}\right)\right|^{2} \mathrm{~d} x=\int_{\mathit{\Omega}} a(x) u_{n}\left(t^{*}\right)^{p+1} \mathrm{~d} x$ . 显然第一种情况与(6)式矛盾. 将第二种情况代入I(un)，再结合$\vartheta $ 的定义和引理1，可得这也与(6)式矛盾. 所以∀t∈[0，T]，un(t)∈Σ1. 由Σ1的定义，有
即有
由(7)式，可得
令
由引理1和I(u0)+ε0 < d，可知当ε0取足够小时，有
令γ=1－δ∈(0，1)，则有
方程
$\rho_{n}(x) \dot{u}_{n}+A_{s} u_{n}=a(x) u_{n}^{p}$ 两边同乘un，再在Ω×{0}上积分，得其中
$C_{1}=1-\frac{M}{m}(1-\gamma)>0$ ，C是与n，T无关的常数. 所以$\left\{{u}_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在L2([0，T]；H0s(Ω))中一致有界. 综上所述，对任意的T≥0，序列{un}都存在一个u，使得所以方程(1)存在整体解.
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在本节中，为证明定理2和定理3，先引入引理3，其证明过程参见文献[12].
引理3 Σ1=Σ1*∪{0}，其中
$\mathit{\Sigma}_{1}^{*}=\left\{U \mid U \in H_{0, L}^{s}(D), E(U)<d, H(U)=h(U)-g(U)>0\right\}$ .定理2的证明.
由引理3，对∀t≥0，有H(U(t))≥0. 则
由分数阶Sobolev迹嵌入不等式，有
与定理1中证明过程相似，令
$\delta=\vartheta^{p+1}\left(\frac{2(p+1)}{p-1} E\left(U_{0}\right)\right)^{\frac{p-1}{2}}$ ，同样选适当的U0使得0 < δ <$\frac{m}{M}$ < 1. 再令γ=1－δ∈(0，1)，则构造
$f(t)=\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{\mathit{\Omega} \times\{0\}} \frac{|U|^{2}}{|x|^{2 s}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau$ ，计算得在(11)式中，对任意的T>t0，由Hardy不等式[18]有
所以，当t∈[t0，T)时，结合(9)式和(12)式有
由(10)式知，当t∈[t0，∞)时，有
结合(9)式和(14)式可知，当t∈[t0，T)时，有
由(13)式和(15)式可知
则对任意的T0>t0，若T0满足C2≤T0，当t≥t0时，有
$\int_{t}^{\infty} E(U(\tau)) \mathrm{d} \tau \leqslant T_{0} E(U(t))$ .令
$y(t)=\int_{t}^{\infty} E(U(\tau)) \mathrm{d} \tau>0$ ，则$y^{\prime}(t) \leqslant-\frac{1}{T_{0}} y(t)$ . 由Gronwall不等式和E(U(t))的单调性可得及
由(16)式可得，对∀t>T0，有
$E\left(U\left(T_{0}+t\right)\right) \leqslant E\left(U\left(t_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{1-\frac{t}{T 0}}$ . 结合(9)式，可得其中
$C=\frac{2 \mathrm{e}(p+1)}{p-1} E\left(U\left(t_{0}\right)\right), \alpha=\frac{1}{T_{0}}$ .定理3的证明 对任意序列tn→∞，令Un=U(x，y，tn；U0). 由于自反巴拿赫空间的有界序列都是弱紧的，所以存在一个序列{Un}和函数U，使得
令测试函数
其中
$\psi \in H_{0, L}^{S}(D), \rho \in C_{0}^{2}(0, 1), \rho \geqslant 0, \int_{0}^{1} \rho(s) \mathrm{d} s=1$ . 由弱解的定义，有对(17)式等号左边第二项用分部积分法，结合ρ(0)=ρ(1)=0，令δ=t－tn，得
因为U(tn+δ)(0≤δ≤1)在H0，Ls(D)中一致有界，所以存在序列{tn}和函数ωδ，ω，使得
下证在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω. 结合能量等式和Hölder不等式，当tn→∞时，有
因为0≤δ≤1，当tn→∞时，有‖U(tn+δ)－U(tn)‖L2(Ω×{0})→0，即在Ω×{0}中几乎处处有ωδ=ω. 重新整理(18)式，可得
由勒贝格控制收敛定理可知，当tn→∞时，(19)式后3项趋近于0. 对第二项，有
又因为
$\int_{0}^{1} \rho(\delta) \mathrm{d} \delta=1$ ，所以(19)式可简化为故U(tn)在弱意义上趋近于一个稳定解.
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