为完成定理1和定理2的证明，先给出以下若干引理：

引理1^[2]    当n≥3时，Sing_n=〈E(D_n-1)〉.

引理2^[3]    设k≥3，{(12k)，g_k}是A_k^*的极小生成集，且A_k^*=〈{(12k)，g_k}〉.

引理3^[4]    A_k^*是{1，2，…，n}上的k-局部交错群，当k≥3时，A_k^*可由k－2个3-轮换(123)，(234)，…，((k－2)(k－1)k)生成.

引理4^[5]    当1≤r≤n－2时，D_r⊆D_r+1·D_r+1.

引理5    设n≥3，3≤k≤n，则$ E_* \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle$.

证    当k为奇数时，对任意的$2 \leqslant d \leqslant\left[\frac{k}{2}\right], 1 \leqslant j \leqslant k \text {, 有 } \zeta_2^1 \in E_{\Delta} $. 易证

由于$(j(j+1)(j+d)), (j(j+d)(j+1)) \in A_k^*=\left\langle\left\{g_k, (12 k)\right\}\right\rangle $，再由d，j的取值范围和E_*的定义可得$\zeta_2^1 \in E_{\Delta}, \zeta_j^{j+d} \in E_* $，进而有$\zeta_j^{j+d} \in\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle $.

当k为偶数时，对任意的$2 \leqslant i \leqslant k-1, \zeta_i^1 \in E_{\Delta}, \zeta_1^i \in E_{\Delta} $，易验证

由于$ (i 1 k), (1 i k) \in A_k^*=\left\langle\left\{g_k, (12 k)\right\}\right\rangle, \zeta_k^i, \zeta_i^k \in E_*$，又因$ \zeta_k^1, \zeta_1^k \in E_{\Delta}$，则

则$\zeta_k^{i+1}, \zeta_{i+1}^k \in E_* $. 同理可证，对任意的$2 \leqslant d \leqslant\left[\frac{k}{2}\right], 1 \leqslant j \leqslant k \text {, 有 } \zeta_2^1 \in E_{\Delta}, \zeta_j^{j+d} \in E_* $，从而有$\zeta_j^{j+d} \in E_* \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle $. 因此$E_* \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle $.

引理6    设n≥3，3≤k≤n. 当k为奇数时，$E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle $；当k为偶数时，$E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k)\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle $.

证    当k为奇数时，对任意的k+1≤s，t≤n且s≠t，1≤j≤k，有$\zeta_s^1, \zeta_1^t \in E_{\nabla}^* $. 易证

由s，t的取值范围和$E_{\nabla}^* $的定义可得$\zeta_s^1, \zeta_1^t \in E_{\nabla}^*, \zeta_s^{j+1}, \zeta_{j+1}^t \in E_{\nabla} $. 又由文献[15]的命题2.3.7知，存在$\alpha_{p, j+1}^t \in R_{(p, j+1)} $且$\alpha_{p, j+1}^t \in L_t $，使得$\zeta_p^{j+1}=\left(\alpha_{p, j+1}^t \zeta_s^{j+1}\right)^q $(k+1≤p，s，t≤n且p≠t≠s). 同理可得ζ_j+1^p= $\left(\zeta_{j+1}^s \alpha_{p, j+1}^t\right)^q $. 进而有$\zeta_p^{j+1}, \zeta_{j+1}^p \in E_{\nabla} $，则$E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle $.

当k为偶数时，对任意k+1≤s，t≤n且t≠s，1≤j≤k，有$\zeta_s^1, \zeta_1^t \in E_{\nabla}^* $. 易证

由s，t的取值范围和$E_{\nabla}^* $的定义可得$\zeta_s^1, \zeta_1^t \in E_{\nabla}^*, \zeta_s^{j+1}, \zeta_{j+1}^t \in E_{\nabla} $，且(1t2)，(12t)，(1s2)，(12s)∈A_k^*=〈{g_k，(12k)}〉. 同理可证$\zeta_p^{j+1}, \zeta_{j+1}^p, \zeta_t^s, \zeta_s^t \in E_{\nabla} $，从而有$\zeta_p^{j+1}, \zeta_{j+1}^p, \zeta_t^s, \zeta_s^t \in\left\langle\left\{g_k, (12 k)\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle $，则${E_\nabla } \subseteq \left\langle {\left\{ {{g_k}, \left( {12k} \right)} \right\} \cup E_\nabla ^*} \right\rangle $.

引理7    设n≥3，3≤k≤n，在D_n-1上引入关系~：α~β当且仅当存在g₁，g₂∈A_k^*使得α=g₁βg₂. ~为D_n-1上的等价关系.

证    易验证，~是D_n-1上的等价关系. 对任意α∈D_n-1，记

则$\widetilde{D}_{n-1} $是~在D_n-1上所决定的一个分类，[α]是α所在的等价类.

引理8^[8]    设k+1≤i，j≤n且i≠j，则$\left[\zeta_1^i\right] \cap\left[\zeta_1^j\right]=\varnothing $.

引理9^[12-13]    设k+1≤s≤n，G是半群A_k^*T_n的生成集，则$G \cap A_k^* \ne \varnothing , G \cap \left[ {\zeta _1^s} \right] \ne \emptyset , G \cap \left[ {\zeta _s^1} \right] \ne \varnothing $.

证    显然$G \cap A_k^* \neq \varnothing $. 由G是半群A_k^*T_n的生成集及$\left[\zeta_1^s\right] \in A_k^* T_n $可知，存在α₁，α₂，…，α_t∈G，使得$\zeta_1^s=\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_t $. 由$\left|\operatorname{im}\left(\zeta_1^s\right)\right|=n-1 $可得

从而$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t \in D_{n-1} \cup A_k^* $. 再由$\left|\operatorname{im}\left(\zeta_1^s\right)\right|=n-1 $可知，存在i∈{1，2，…，t}使得|im(α_i)|=n-1. 注意到，若|im(α_j)|=n或|im(α_p)|=n，则$\alpha_j, \alpha_q \in A_k^*, \alpha_j=g_3^{h_j}, \alpha_q=g_4^{h_q} $. 令

于是$\left|\operatorname{im}\left(\alpha_1\right)\right|=n, \cdots, \left|\operatorname{im}\left(\alpha_{f-1}\right)\right|=n, \left|\operatorname{im}\left(\alpha_{f+1}\right)\right|=n, \cdots, \left|\operatorname{im}\left(\alpha_{k-1}\right)\right|=n $且${\alpha _1} = g_3^{{h_1}}, \cdots , {\alpha _{f - 1}} = g_3^{{h_{f - 1}}}, {\alpha _{f + 1}} = g_4^{{h_{f + 1}}}, \cdots , {\alpha _{k - 1}} = g_4^{{h_{k - 1}}}, 1 \le {h_1}, \cdots , {h_{f - 1}}, {h_{f + 1}}, \cdots , {h_{k - 1}} \le k $. 从而

令$g_1=g_3^l, g_2=g_4^p $，则$\zeta_1^s=g_1 \alpha_f g_2 \alpha_k \cdots \alpha_t $. 因为

设g₁α_fg₂的唯一非单点核类为{x，y}，则xg₁α_fg₂=yg₁α_fg₂.于是

即$x \zeta_1^s=y \zeta_1^s $. 从而{x，y}是g₁α_fg₂的非单点核类. 再由{1，s}是g₁α_fg₂的唯一非单点核类可知{x，y}={1，s}，即$\zeta_1^s \sim \alpha_f $. 因此$G \cap\left[\zeta_1^s\right] \neq \varnothing $. 同理可证$G \cap\left[\zeta_s^1\right] \neq \varnothing $.

引理10    设n≥3，3≤k≤n，则rank E_*=3.

证    由引理5知，$E_* \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle $，则rank E_*=3.

引理11    在$E_{\Delta}^* $中，有$E_{\Delta}^* \subseteq\left\langle E_{\diamond}\right\rangle $，且$\operatorname{rank} E_{\Delta}^*=\frac{(n-k)(n-k-1)}{2} $.

证    据文献[2]的定理1可知，$E_{\diamond} $是$E_{\Delta}^* $的一个极小生成集，又由元素g_k的结构及$E_{\diamond} $中i，j的取值范围，对任意的$\zeta_j^i, \zeta_m^l \in E_\diamond $(i≠j或者l≠m)，由引理8可得$\left[\zeta_j^i\right] \cap\left[\zeta_m^l\right]=\varnothing $，因此有$ E_{\Delta}^* \subseteq\left\langle E_{\diamond}\right\rangle$且$\operatorname{rank} E_{\Delta}^*=\frac{(n-k)(n-k-1)}{2} $.

引理12    设n≥3，3≤k≤n，当k为奇数时，$ \operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+1$；当k为偶数时，$ \operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+2$.

证    由引理6知，当k为奇数时，$ E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle$且$\operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+1 $；当k为偶数时，${E_\nabla } \subseteq \left\langle {\left\{ {{g_k}, (12k)} \right\} \cup E_\nabla ^*} \right\rangle $且$\operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+2 $.

定理1的证明    因为

再由引理1知Sing_n=〈E(D_n-1)〉. 又因

且$ E_*, E_{\nabla}, E_{\Delta}^*$两两相交为空集，由引理5及引理10知$ E_* \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k), \zeta_2^1\right\}\right\rangle$. 由引理11知$E_{\Delta}^* \subseteq\left\langle E_{\diamond}\right\rangle $. 由引理6及引理12知，当k为奇数时，$E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle $；当k为偶数时，$ E_{\nabla} \subseteq\left\langle\left\{g_k, (12 k)\right\} \cup E_{\nabla}^*\right\rangle$. 由文献[15]知

则

定理2的证明    由定理1知

由引理10知rank E_*=3. 由引理11知$\operatorname{rank} E_{\Delta}^*=\frac{(n-k)(n-k-1)}{2} $. 由引理12知当k为奇数时，$\operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+1 $；当k为偶数时，$ \operatorname{rank} E_{\nabla}=n-k+2$. 则

反之，由于半群A_k^*T_n的任意生成集必含有A_k^*和Sing_n中的元素，再由引理8和引理9知，若G是半群A_k^*T_n的生成集，则有

显然

因此

特别地，当n=k=1时，半群A₁^*T₁=A₁^*且rank A₁^*T₁=1；当n=2，k=1或k=2时，半群A_k^*T_n=A_k^*∪D_n-1且rank A_k^*T_n=3；当n=3，k=1或k=2时，半群A_k^*T_n=A_k^*∪D_n-1且rank A_k^*T_n=7.

设δ∈D_n-1，且δ的唯一非单点核类为(i，j)，其中i，j∈X_n，则D_n-1中3次方幂等元的形式如下：

其中a₁，a₂，…，a_p，a_q，a_r，a_t∈X_n\{i，j}. 记$\delta_{\{i \rightarrow j\}}=\delta_j^i, \delta_{\{j \rightarrow i\}}=\delta_i^j $.

设n≥5，3≤k≤n.记

E³(D_n-1)为D_n-1中所有3次方幂等元构成的集合，${E^3}\left( {{D_{n - 1}}} \right) = \prod\nolimits_* \cup \prod\nolimits_\nabla \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} $，且$\prod\nolimits_* {} , \prod\nolimits_\nabla {} , \prod\nolimits_\Delta ^* {} $两两相交为空集. 易验证，对任意的$\delta \in E^3\left(D_{n-1}\right) $，有$\delta \in R_{(i, j)} \cap L_i=H_{(i, j)}^i $或者$\delta \in {R_{(i, j)}} \cap {L_j} = H_{(i, j)}^j $.

为完成定理3及定理4的证明，先给出以下若干引理：

引理13^[4]    当k为奇数时，记W={(123)，(345)，…，((k－4)(k－3)(k－2))，((k－2)(k－1)k)}；当k为偶数时，记W={(123)，(345)，…，((k－5)(k－4)(k－3))，((k－3)(k－2)(k－1))，((k－2)(k－1)k)}. 则A_k^*=〈W〉且$\operatorname{rank} A_k^*=\left[\frac{k}{2}\right] $，即W为A_k^*的极小生成元.

证    由引理3和文献[4]可知，在引理13中从左到右每相邻3个元舍去中间一个，剩下的元所生成之集W是A_k^*的极小生成元.

引理14    设n≥5，3≤k≤n，则$\prod\nolimits_* \subseteq \left\langle {W \cup \left\{ {\delta _2^1} \right\}} \right\rangle $.

证    当k为奇数时，取i∈{1，2，…，k}，j∈{1，2，…，k－1}，则$\delta _2^1 \in \prod\nolimits_\Delta {} $.令

易验证，当$1 \leqslant j<\left[\frac{k}{2}\right] $时，

当$j=\left[\frac{k}{2}\right] $时，

特别地，当$\left[\frac{k}{2}\right]+1 \leqslant j \leqslant k-3 $时，

由i，j的取值范围及$\prod\nolimits_* {} , \prod\nolimits_\nabla {} $的定义可知，$\delta _{2j + 2}^{2j}, \delta _{2j - 1}^{2j}, \cdots , \delta _{k - 3}^{k - 1}, \delta _{k - 5}^{k - 3}, \delta _{k - 2}^k \in \prod\nolimits_* {} $，从而$\delta _{2j + 2}^{2j}, \delta _{2j - 1}^{2j}, \cdots , \delta _{k - 3}^{k - 1}, \delta _{k - 5}^{k - 3}, \delta _{k - 2}^k \in \prod\nolimits_* { \subseteq \left\langle {W \cup \left\{ {\delta _2^1} \right\}} \right\rangle } $.

引理15    设n≥5，3≤k≤n，则$\prod\nolimits_\nabla { \subseteq \left\langle {W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} } \right\rangle } $.

证    当k为奇数时，任取i∈{k+1，k+2，…，n}，j∈{1，2，…，k－1}，则$ \delta _1^i \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} , \delta _i^1 \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} $. 易验证，当$1 \leqslant j \leqslant\left[\frac{k}{2}\right] $时，

当$\left[\frac{k}{2}\right]+1 \leqslant j \leqslant k-1 $时，

由i，j的取值范围及$\prod\nolimits_\nabla {} , \prod\nolimits_\nabla ^* {} $的定义可知，$\delta _1^i \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} , \delta _{2j - 1}^i, \delta _{2j}^i \in \prod\nolimits_\nabla {} $，从而$\delta _{2j - 1}^i, \delta _{2j}^i \in \prod\nolimits_\nabla \subseteq W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} $，由引理6同理可得$\delta _i^{2j - 1}, \delta _i^{2j} \in \prod\nolimits_\nabla \subseteq W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} $，则$\prod\nolimits_\nabla \subseteq \left\langle {W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} } \right\rangle $.

当k为偶数时，任取i∈{k+1，k+2，…，n}，j∈{1，2，…，k－1}，则$\delta _1^i \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} , \delta _i^1 \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} $. 令

再令g_*=(124…(k－6)(k－4)(k－1)(k－3)…753). 易验证，当$1 \leqslant j \leqslant\left[\frac{k-1}{2}\right]-1 $时，

当$\left[\frac{k-1}{2}\right] \leqslant j \leqslant k-3 $时，

对任意的j∈{k－2，k－1，k}，s∈{1，2，3}，有

由i，j的取值范围及$\prod\nolimits_\nabla {} , \prod\nolimits_\nabla ^* {} $的定义可知，$\delta _1^i \in \prod\nolimits_\nabla ^* {} , \delta _{2j - 1}^i, \delta _{2j}^i, \delta _{k - 2}^i, \delta _j^i \in \prod\nolimits_\nabla {} $，从而$\delta _{2j - 1}^i, \delta _{2j}^i, \delta _{k - 2}^i, \delta _j^i \in \prod\nolimits_\nabla \subseteq W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} $，由引理6同理可得$ \delta _i^{2j - 1}, \delta _i^{2j}, \delta _i^{k - 2}, \delta _i^j \in \prod\nolimits_\nabla \subseteq W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} $，则$\prod\nolimits_\nabla \subseteq \left\langle {W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} } \right\rangle $.

引理16    设n≥5，3≤k≤n，则${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_* {} } \right) = \left[ {\frac{k}{2}} \right] + 1 $.

证    根据引理13及引理14可知

从而

又因为${\prod\nolimits_* {} } $的任意生成集必包含δ₂¹及A_k^*中的元素，从而

因此，${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_* {} } \right) = \left[ {\frac{k}{2}} \right] + 1 $.

引理17    设n≥5，3≤k≤n，在$\prod\nolimits_\nabla ^* {} $中，有$\prod\nolimits_\Delta ^* \subseteq \left\langle {\prod\nolimits_\diamondsuit {} } \right\rangle $，且

证    根据文献[2]的定理1可知，${\prod\nolimits_\diamondsuit {} } $是${\prod\nolimits_\Delta ^* {} } $的一个极小幂等元生成集，又由元素g_k的结构及${\prod\nolimits_\diamondsuit {} } $中i，j的取值范围，对任意的$\delta _j^i, \delta _m^l \in \prod\nolimits_\diamondsuit {} $(i≠j或者l≠m)，由引理8类似地可得$\left[\delta_j^i\right] \cap\left[\delta_m^l\right]=\varnothing $，因此有$\prod\nolimits_\Delta ^* \subseteq \left\langle {\prod\nolimits_\diamondsuit {} } \right\rangle $，且${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_\Delta ^* {} } \right) = \frac{{(n - k)(n - k - 1)}}{2} $.

引理18    设n≥5，3≤k≤n，则${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_\nabla {} } \right) = n - k + \left[ {\frac{k}{2}} \right] $.

证    由引理13及引理14知，$\prod\nolimits_\nabla \subseteq \left\langle {W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} } \right\rangle $且${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_\nabla {} } \right) = n - k + \left[ {\frac{k}{2}} \right] $.

定理3的证明    因为

由引理1知Sing_n=〈E(D_n-1)〉. 由于Sing_n中的3次方幂等元也在H-类中，则Sing_n=〈E³(D_n-1)〉. 由引理13及引理14知$\prod\nolimits_* \subseteq \left\langle {W \cup \left\{ {\delta _2^1} \right\}} \right\rangle $. 由引理17知$\prod\nolimits_\Delta ^* \subseteq \left\langle {\prod\nolimits_\diamondsuit {} } \right\rangle $. 由引理13及引理15知$\prod\nolimits_\nabla \subseteq \left\langle {W \cup \prod\nolimits_\nabla ^* {} } \right\rangle $. 再由文献[15]知

则

定理4的证明    由定理3知

由引理16知${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_* {} } \right) = \left[ {\frac{k}{2}} \right] + 1 $. 由引理17知${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_\Delta ^* {} } \right) = \frac{{(n - k)(n - k - 1)}}{2} $. 由引理18知${{\mathop{\rm rank}\nolimits} ^3}\left( {\prod\nolimits_\nabla {} } \right) = n - k + \left[ {\frac{k}{2}} \right] $. 则

反之，由于半群A_k^*T_n的任意生成集必含有A_k^*和Sing_n中的元素，再由引理8和引理9知，若G是半群A_k^*T_n的生成集，则有

显然

因此