定义1^[15]   设U是一个论域，模糊集A或者U的一个模糊子集A是论域U到[0, 1]的一个映射，即A：U→[0, 1]，x$\longmapsto$A(x)，A(x)称为模糊集A的隶属函数(或称为x对模糊集A的隶属度). 将论域U上的所有模糊子集构成的集合称为U的模糊幂集，记作F(U).

对∀A，B∈F(U)，若对∀x∈U都有A(x)≤B(x)，则称A⊆B. A=B当且仅当A⊆B且B⊆A.

对一族{α_i}⊂[0, 1]，i∈I，I⊆$\mathbb{N}_+$，记∨_i∈I α_i或者∨{α_i：i∈I}为{α_i：i∈I}的上确界，记∧_i∈I α_i或者∧{α_i：i∈I}为{α_i：i∈I}的下确界. 给出A，B∈F(U)，对∀x∈U，称(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)为A和B的并，记作A∪B. 称(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)为A和B的交，记作A∩B. 称A^c(x)=1-A(x)为A的补，记作A^c.

定义2^[11]   设U是一个非空有限集合，$\mathscr{C}$是U的子集组成的集族. 若∅∉$\mathscr{C}$且∪_{C∈$\mathscr{C}$}C=U均成立，则$\mathscr{C}$称为U的一个覆盖，二元组(U，$\mathscr{C}$)为一个覆盖近似空间.

定义3^[16]   设(U，$\mathscr{C}$)是一个覆盖近似空间，若(U，$\mathscr{C}$)中X^c记作U-X，则对∀x∈U，x的邻域N_x和互补邻域M_x分别定义为

定义4^[12]   设U是一个论域，$\mathscr{C}$={C₁，C₂，…，C_m}⊆F(U)，且β∈(0，1]. 若对∀x∈U，都有(∪_i=1^mC_i)(x)≥β，则称$\mathscr{C}$={C₁，C₂，…，C_m}是U上的一个模糊β-覆盖，称(U，$\mathscr{C}$)为一个模糊β-覆盖近似空间.

定义5^[14]   设(U，$\mathscr{C}$)是一个模糊β-覆盖近似空间，β∈(0，1]，其中$\mathscr{C}$={C₁，C₂，…，C_m}. 对∀x∈U，x的模糊β-邻域和模糊互补β-邻域分别定义为

定义6^[11]   设(U，$\mathscr{C}$)是一个模糊β-覆盖近似空间，β∈(0，1]，且C∈$\mathscr{C}$. 若下列两个条件之一成立：

(a) 对∀x∈U，有C(x) < β；

(b) 对x∈U，若C(x)≥β，则存在C′∈$\mathscr{C}$-{C}使得C′⊆C且C′(x)≥β.

则称C是$\mathscr{C}$的一个β-可约元. 否则，称C是$\mathscr{C}$的一个β-不可约元. 若D⊆$\mathscr{C}$，$\mathscr{C}$-D是$\mathscr{C}$的所有β-可约元组成的集合，则称D是$\mathscr{C}$的约简，记作Γ($\mathscr{C}$).

定义7^[11]   设(U，$\mathscr{C}$)是一个模糊β-覆盖近似空间，β∈(0，1]. 称Θ^β($\mathscr{C}$)={N_x^β：x∈U}是由模糊β-覆盖$\mathscr{C}$导出的模糊β-邻域族. 称$ \widetilde{\varTheta}^\beta(\mathscr{C})=\left\{M_x^\beta: x \in U\right\}$是由模糊β-覆盖$\mathscr{C}$导出的模糊互补β-邻域族.

定义8^[11]   设$\mathscr{C}$₁，$\mathscr{C}$₂是U上的两个模糊β-覆盖，β∈(0，1]. Θ^β($\mathscr{C}$₁)=Θ^β($\mathscr{C}$₂)当且仅当Γ($\mathscr{C}$₁)=Γ($\mathscr{C}$₂).

定义9^[17]   设U和V是两个论域，f：U→V是一个U到V上的映射，且A₁，A₂∈F(U). 若[x]_f={y∈U：f(y)=f(x)}，则{[x]_f：x∈U}是U上的一个划分. 对∀x∈U，若下列条件之一是成立的：

(a) 对∀u∈[x]_f，有A₁(u)≤A₂(u)；

(b) 对∀u∈[x]_f，有A₁(u)≥A₂(u).

则称f对于A₁和A₂是一致的. 对∀x∈U，若对∀u，v∈[x]_f，都有A₁(u)=A₁(v)，则称f对A₁是相容的.

对于一个模糊信息系统FIS=(U，AT)，对∀x∈U，若∧_x∈U[∨_i=1^m A_i(x)]≠0，则称AT是U的一个模糊β-覆盖. 下面结合模糊β-邻域和模糊互补β-邻域，在模糊信息系统上定义一种τ型的模糊β-覆盖粗糙集模型，并结合相关的理论知识探讨新模型的性质.

定义10   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 对∀X∈F(U)，集合τ^-(X)和τ⁺(X)分别被称为τ型的模糊β-覆盖下近似和τ型的模糊β-覆盖上近似，简称为τ-FβCLA，τ-FβCUA，其中

若τ^-(X)≠τ⁺(X)，则称X是τ型的模糊β-覆盖粗糙集，该模型简称为τ-FβRC.

例1   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，其中U={x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆}且AT={A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}，

当β∈(0，0.6]时，可知AT是U上的一个模糊β-覆盖. 令β=0.5，V={y₁，y₂，y₃，y₄}，f：U→V是U到V的一个映射，

令

根据定义5，计算得出x_i(i=1，2，3，4，5，6)的模糊β-邻域N_xi^0.5和模糊互补β-邻域M_xi^0.5. 很容易得出

因此，我们可以计算出X的τ型的模糊β-覆盖的上下近似值为

定理1   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 对∀X，Y∈F(U)，下列结论是成立的：

(ⅰ) τ^-(X^c)=(τ⁺(X))^c，τ⁺(X^c)=(τ^-(X))^c；

(ⅱ) τ⁺(∅)=∅，τ^-(U)=V；

(ⅲ) τ^-(X∩Y)=τ^-(X)∩τ^-(Y)，τ⁺(X∪Y)=τ⁺(X)∪τ⁺(Y)；

(ⅳ) τ^-(X∪Y)⊇τ^-(X)∪τ^-(Y)，τ⁺(X∩Y)⊆τ⁺(X)∩τ⁺(Y)；

(ⅴ) 若X⊆Y，则τ^-(X)⊆τ^-(Y)，τ⁺(X)⊆τ⁺(Y)；

(ⅵ) 若∀x∈U，有1-N_x^β(x)≤X(x)≤N_x^β(x)，1-M_x^β(x)≤X(x)≤M_x^β(x)，则τ^-(X)⊆X⊆τ⁺(X).

证   类似于文献[14]中命题3.1的证明.

为了进一步研究τ^-(X)和τ⁺(X)的性质，先看如下的一个例子：

例2   在例1中，取

则有

不难看出，

然而，定理1(ⅳ)可以在一定条件下成立. 下面结合定义9中映射的一致性与兼容性给出定理1(ⅳ)成立的充分条件：

定理2   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 对∀X，Y∈F(U)，若f对X和Y是一致的，则

证   根据定理1，有τ^-(X∪Y)⊇τ^-(X)∪τ^-(Y)和τ⁺(X∩Y)⊆τ⁺(X)∩τ⁺(Y)成立，下面仅需要证明τ^-(X∪Y)⊆τ^-(X)∪τ^-(Y)和τ⁺(X∩Y)⊇τ⁺(X)∩τ⁺(Y).

对∀y∈V，若f对X和Y是一致的，根据定义9可知以下条件之一必成立：

(a) 对∀x∈f^-1(y)，有X(x)≤Y(x)；

(b) 对∀x∈f^-1(y)，有X(x)≥Y(x).

则有

因此τ^-(X∪Y)⊆τ^-(X)∪τ^-(Y)成立.

同样地，

因此τ⁺(X∩Y)⊇τ⁺(X)∩τ⁺(Y)成立. 故定理2成立.

下面将特殊推广到一般情况，得到以下推论：

推论1   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 对∀X₁，X₂，…，X_n∈F(U)，若f对X₁，X₂，…，X_n中任意两个模糊子集都是一致的，则τ^-(∪_i=1ⁿX_i)=∪_i=1ⁿτ^-(X_i)和τ⁺(∩_i=1ⁿX_i)=∩_i=1ⁿτ⁺(X_i)均成立.

推论2   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 则以下结论成立：

(ⅰ) 对∀X，Y∈F(U)，若f对X和Y是一致的，则τ^-(X∪Y)=τ^-(X)∪τ^-(Y)和τ⁺(X∩Y)=τ⁺(X)∩τ⁺(Y)成立；

(ⅱ) 对∀X₁，X₂，…，X_n∈F(U)，若f对X₁，X₂，…，X_n中任意一个模糊子集都是相容的，则τ^-(∪_i=1ⁿX_i)=∪_i=1ⁿτ^-(X_i)和τ⁺(∩_i=1ⁿX_i)=∩_i=1ⁿτ⁺(X_i)均成立.

综合定义7、定义8以及新模型，并结合可约性与属性约简相关的定理，得到以下定理：

定理3   设FIS₁=(U，AT₁)和FIS₂=(U，AT₂)是两个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，AT₁={A₁，A₂，…，A_n}，AT₂={B₁，B₂，…，B_m}，且β∈(0，min{∧_x∈U[∨_i=1ⁿA_i(x)]，∧_x∈U[∨_i=1^mB_i(x)]}]. 对∀X∈F(U)，若Γ(AT₁)=Γ(AT₂)，则FIS₁，FIS₂对模糊子集X产生相同的τ型的模糊β-覆盖粗糙集下近似集.

证   根据定义7和定义8，有Γ(AT₁)=Γ(AT₂)当且当Θ^β(AT₁)=Θ^β(AT₂)，Θ^β(AT₁)=Θ^β(AT₂)，当且当{N_1x^β：x∈U}={N_2x^β：x∈U}，{M_1x^β：x∈U}={M_2x^β：x∈U}. 则

从而

则

可得

从而

定理4   设FIS₁=(U，AT₁)和FIS₂=(U，AT₂)是两个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，AT₁={A₁，A₂，…，A_n}，AT₂={B₁，B₂，…，B_m}，且β∈(0，min{∧_x∈U[∨_i=1ⁿA_i(x)]，∧_x∈U[∨_i=1^mB_i(x)]}]. 对∀X∈F(U)，若Γ(AT₁)=Γ(AT₂)，则FIS₁，FIS₂对模糊子集X产生相同的τ型的模糊β-覆盖粗糙集下近似集.

定理5   设FIS₁=(U，AT₁)和FIS₂=(U，AT₂)是两个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，AT₁={A₁，A₂，…，A_n}，AT₂={B₁，B₂，…，B_m}，且β∈(0，min{∧_x∈U[∨_i=1ⁿA_i(x)]，∧_x∈U[∨_i=1^mB_i(x)]}]. 对∀X∈F(U)，X^c(x)=1-X(x)，则FIS₁，FIS₂对模糊子集X产生相同的τ型的模糊β-覆盖粗糙集下近似集当且仅当FIS₁，FIS₂对模糊子集X^c产生相同的τ型的模糊β-覆盖粗糙集上近似集.

证   (充分性)   ∀X∈F(U)，有τ_AT1⁺(X)=τ_AT2⁺(X). 由定理1，有τ_AT1⁺(X)=(τ_AT1^-(X^c))^c，τ_AT2⁺(X)=(τ_AT2^-(X^c))^c.因此τ_AT1^-(X^c)=τ_AT2^-(X^c)成立.

(必要性)   对∀X^c∈F(U)，有τ_AT1^-(X^c)=τ_AT2^-(X^c).由定理1，有τ_AT1^-(X^c)=(τ_AT1⁺(X))^c，τ_AT2^-(X^c)=(τ_AT2⁺(X))^c.因此τ_AT1⁺(X)=τ_AT2⁺(X).

定义11   设FIS=(U，AT)是一个模糊信息系统，f：U→V是一个U到V上的满射，其中AT={A₁，A₂，…，A_m}，且β∈(0，∧_x∈U[∨_i=1^mA_i(x)]]. 称二元组FIS_τ=(V，τ^-(AT))是FIS基于τ型的模糊β-覆盖粗糙下近似算子导出的模糊信息系统，FIS_τ=(V，τ⁺(AT))是FIS基于τ型的模糊β-覆盖粗糙上近似算子导出的模糊信息系统，其中

定理6   设X={A₁，A₂，…，A_m}是U的一个模糊β-覆盖，f：U→V是一个U到V上的满射. 以下结论成立：

(ⅰ) 若对∀x∈U，有N_x^β(x)≥A_i(x)，M_x^β(x)≥A_i(x)，则τ⁺(X)={τ⁺(A₁)，τ⁺(A₂)，…，τ⁺(A_m)}是V的一个模糊β-覆盖；

(ⅱ) 若对∀x∈U，1-N_x^β(x)≥A_i(x)，1-M_x^β(x)≥A_i(x)，则τ^-(X)={τ^-(A₁)，τ^-(A₂)，…，τ^-(A_m)}是V的一个模糊β-覆盖.

证   (ⅰ)由X={A₁，A₂，…，A_m}是U的一个模糊β-覆盖，对∀x∈U，有∨_i=1^mA_i(x)≥β. 对∀y∈V，∀x∈U，若N_x^β(x)≥A_i(x)，M_x^β(x)≥A_i(x)成立，则

因此τ⁺(X)={τ⁺(A₁)，τ⁺(A₂)，…，τ⁺(A_m)}是V的一个模糊β-覆盖.

(ⅱ) 同样地，

因此τ^-(X)={τ^-(A₁)，τ^-(A₂)，…，τ^-(A_m)}是V的一个模糊β-覆盖.