一个考虑信息负反馈和饱和治疗的传染病模型

刘亭; 张国洪

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2019.01.002

摘要: 研究了一个考虑信息负反馈和饱和治疗的传染病模型.首先研究了疾病信息的传播对平衡态的影响，发现疾病信息量的增加在一定条件下可能会减小后向分支发生的区域，甚至导致后向分支消失.对于平衡点的稳定性，证明了无病平衡点在基本再生数R₀ < 1时是局部稳定的；当系统存在两个地方病平衡点时，证明其中一个是鞍点，同时给出另一个平衡点渐近稳定的条件.最后，通过数值模拟发现系统在一定条件下存在双稳定现象，且疾病信息的传播可能通过Hopf分支导致系统发生周期振荡.

Abstract: In this paper, we have consider the SISM epidemic model with the negative feedback of information and saturated treatment function. Firstly, the effects of disease-related information on equilibrium state are studied. We find that the backward bifurcation may disappear with the increase of disease information. Then we have analyzed the locally stability of the equilibria. It is found that the disease-free equilibrium is stable when the basic reproduction number is less than 1. When there are two positive equilibria, it is found that one of equilibria is saddle point and the other is locally asymptotically stable under some conditions. Finally, by means of numerical simulation, We find that there may be a bistable phenomenon and the increase of information of disease may cause the periodic oscillation of the system by Hopf bifurcation.

Key words:

全文HTML

近年来，越来越多的数学动力学模型被用来研究传染病的传播和控制问题^[1-4].特别地，文献[4]研究了如下包括饱和治疗的传染病模型：

其中：S(t)，I(t)分别代表易感种群和感染种群的密度；Λ代表易感种群的出生数量；d是自然死亡率；β为易感种群与感染种群的接触率；υ是自然康复率；$ h\left( I \right)\underline{\underline \Delta } \frac{{\gamma I}}{{1 + \alpha I}}$代表考虑医院饱和治疗条件下的康复率.研究发现饱和治疗项的引进将导致后向分支的产生.

随着信息时代的来临，人们可以通过媒体、网络等途径快速了解到各种传染病信息.近来越来越多的研究者开始考虑信息对于疾病传播和控制的影响^[5-8].其中一种建模方法是假设疾病的相关信息将会减少易感者与感染个体的接触，被称为信息的负反馈效应.

本文在模型(1)的基础上考虑疾病信息传播因素对模型性态的影响，建立如下SISM传染病模型：

其中β(M)代表易感种群与感染种群的接触率，与信息函数M(t)负相关.假设$ \beta \left( M \right) = \frac{1}{{1 + KM}}$，K为非负数.依据文献[6]，假设信息的生成与疾病感染数量和历史有关，即有

其中：g(I)为信息生成函数，本文假设$ g\left( I \right) = {w_0} + {a_0}I, {\rm{ }}{w_0}$代表日常传播所生成的疾病信息，当疾病爆发时，政府相关部门或个体往往会依据染病者的数量加大宣传的力度，从而可以假设信息的生成与I成比例，a₀是比例系数；分布时滞核函数$ {\mathit{\Gamma} _n}\left( t \right) = \frac{{{\theta ^{n + 1}}~~{t^n}~~{{\rm{e}}^{ - \theta t}}}}{{\mathit{\Gamma} \left( {n + 1} \right)}}$为伽马分布，满足$\int_0^{ + \infty } {} {\mathit{\Gamma} _n}\left( s \right){\rm{d}}s = 1 $.当n=0时即为弱核$ {\mathit{\Gamma} _0}\left( t \right) = \theta {{\rm{e}}^{ - \theta t}}$，此时平均时滞为：$ \int_0^{ + \infty } {} s{\mathit{\Gamma} _0}\left( s \right){\rm{d}}s = \frac{1}{\theta }$.

对方程(3)两边求导，再与(2)式联立，可得如下模型：

其中：$w = {w_0}\theta , {\rm{ }}a = {a_0}\theta $.本文将研究模型(4)信息负反馈对模型后向分支存在性以及无病平衡点与地方病平衡点的稳定性等问题的影响.

1. 非负性与耗散性

令(S(t)，I(t)，M(t))是系统(4)在给定初始条件S(0)>0，I(0)>0，M(0)>0下的任意解.首先证明解(S(t)，I(t)，M(t))的非负性.

易知I=0满足系统(4)的第二个方程，由自治系统过初始点解的唯一性及I(0)>0知对任意t≥0，有I(t)>0.

若存在t₁>0使得S(t₁)=0首次成立，则有$\frac{{{\rm{d}}S({t_1})}}{{{\rm{d}}t}} < 0 $.但是当t=t₁时，由(4)式的第一个方程可知$ \frac{{{\rm{d}}S({t_1})}}{{{\rm{d}}t}} \ge \mathit{\Lambda} > 0$，显然与假设矛盾.因此对于任意的t≥0，有S(t)>0.

由系统(4)的第3个方程可得

所以

因为M(0)>0，这表明对任意的t≥0，有M(t)>0.

下证其耗散性.依据系统(4)的前两个方程可得：

由比较定理，得到$ {\rm{lim }}\;{\rm{su}}{{\rm{p}}_{t\infty }}\left( {S + I} \right) \le \frac{\mathit{\Lambda} }{d}$.当t充分大，由系统(4)的第3个方程可得

从而得到

因此，系统(4)有如下有界区域作为正不变集

下面仅仅需要考虑(S，I，M)∈Ω.

2. 平衡点的存在性

系统(4)总是存在一个无病平衡点(DFE)：$ {\mathit{\boldsymbol{E}}_0} = \left( {\frac{\mathit{\Lambda} }{d}, 0, \frac{w}{\theta }} \right)$.下面考虑地方病平衡点的存在性.首先可以得到系统(4)基本再生数为

令(4)式右边为0，可以得到${S^*} = \frac{\mathit{\Lambda} }{d} - {I^*}, {M^*} = \frac{{w + a{I^*}}}{\theta } $，这里I^*由下面的方程决定

其中

如果α=0，则有A=0，B>0，从而下面的结论显然成立.

定理1   假设α=0成立.

(ⅰ)   如果R₀>1，系统(4)存在唯一地方病平衡点.

(ⅱ)   如果R₀≤1，系统(4)不存在地方病平衡点.

下面总是在假设α>0的情况下考虑(5)式的根的存在性.在一定条件下等式(5)可能存在如下两个根：

相应的地方病平衡点为E₁=(S₁^*，I₁^*，M₁^*)和E₂=(S₂^*，I₂^*，M₂^*).定义

则可得如下定理.

定理2   假设α>0成立. $ \bar w, \bar R$定义见(7)式.

(ⅰ)  如果R₀>1，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₂.

(ⅱ)  如果R₀≤1并且w≥ ${\bar w} $，系统(4)不存在地方病平衡点.

(ⅲ)  如果R₀=1并且w < ${\bar w} $，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₂.

(ⅳ)  如果R₀ < 1，并且w < ${\bar w} $，则有

① 当R₀> ${\bar R} $，系统(4)存在两个地方病平衡点E₁与E₂；

② 当R₀=${\bar R} $，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₁=E₂；

③ 当R₀ < ${\bar R} $，系统(4)不存在地方病平衡点.

证   由式(6)可得到如下等价关系：

和

如果R₀>1，有C < 0，再由A>0得方程(5)存在唯一正根，知系统(4)存在唯一地方病平衡点，(i)得证.

如果R₀≤1并且w≥ $ {\bar w}$，则有B≥0，C≥0，再由A>0得方程(5)不存在正根，知系统(4)不存在地方病平衡点，(ⅱ)得证.

如果R₀=1并且w < $ {\bar w}$，则方程(5)存在唯一正根$ I = \frac{{ - B}}{A}$，知系统(4)存在唯一的地方病平衡点，(ⅲ)得证.

如果R₀ < 1，w < $ {\bar w}$，容易验证有下面的等价关系成立：

又因为A>0且当w < $ {\bar w}$时，有B < 0.从而知当R₀ < ${\bar R} $，R₀=${\bar R} $和R₀>${\bar R} $时，方程(5)分别存在0，1和2个正根，即相应的系统(4)分别存在0，1和2个正平衡点，(ⅳ)得证.

定理3   假设α>0成立. $ \bar a, \bar R$定义见(7)式.

(ⅰ)   如果R₀>1，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₂.

(ⅱ)  如果R₀≤1并且a≥ $ {\bar a}$，系统(4)不存在地方病平衡点.

(ⅲ)  如果R₀=1并且a < $ {\bar a}$，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₂.

(ⅳ)   如果R₀ < 1，并且a < $ {\bar a}$，则有

① 当R₀> $ {\bar R}$，系统(4)存在两个地方病平衡点E₁与E₂；

② 当R₀= $ {\bar R}$，系统(4)存在唯一地方病平衡点E₁=E₂；

③ 当R₀ < $ {\bar R}$，系统(4)不存在地方病平衡点.

注1  定理3的证明与定理2类似，这里省略.从定理2和定理3可以看到，当疾病的信息不够充分，即有w < $ {\bar w}$或a < $ {\bar a}$时，系统可能存在后向分支.由(7)式可得：

以及

因此当w < $ {\bar w}$或a < $ {\bar a}$时，$\bar R'\left( a \right) $ >0，$ \bar R'\left( w \right)$ >0.从而知后向分支点${\bar R} $的取值随着w及a的增加而增加，当w> ${\bar w} $时，后向分支消失.从实际意义讲，如果有更多的疾病信息存在，则相应发生后向分支的区域将会减小，甚至消失.

3. 平衡点的稳定性

定理4   当R₀ < 1时，无病平衡点E₀局部渐进稳定；当R₀>1时，E₀是个鞍点.

证  系统(4)在平衡点E₀处的雅可比矩阵为

易知当R₀ < 1时，雅可比矩阵的特征值皆为负，知E₀局部渐进稳定；当R₀>1时，存在正特征值，知E₀是个鞍点.

下面将分析地方病平衡点的稳定性.系统(4)在正平衡点处的雅可比矩阵为：

可得特征多项式：

其中

假设$\bar R < {R_0} < 1, w < \bar w $或$ a < \bar a$，则系统(4)存在正平衡点E₁和E₂.

将$ \mathit{\Lambda} = dS + \frac{{SI}}{{1 + KM}} - \upsilon I - \frac{{\gamma I}}{{1 + \alpha I}}$代入(5)，(6)式，经计算可得

比较(8)和(9)式，可见${b_3}{|_{{\mathit{\boldsymbol{E}}_1}}} $与P′(I₁^*)符号相同.由I₁^* < I₂^*知P′(I₁^*) < 0，从而有${b_3}{|_{{\mathit{\boldsymbol{E}}_1}}} $ < 0.依据Routh-Hurwitz原理知E₁是一个鞍点，从而E₁是不稳定的.

对于平衡点E₂的稳定性，我们知道P′(I₂^*)>0，因此b₃|_E₂>0.所以依据Routh-Hurwitz原理可得下面的定理5.

定理5   假设$ \bar R < {R_0} < 1, w < \bar w$，正平衡点E₁是个鞍点；正平衡点E₂局部渐进稳定当且仅当b₁>0和b₁b₂-b₃>0成立.

姓名
	姓名不能为空！
邮箱
	邮箱不能为空！非法的邮箱地址。
手机号码
	电话不能为空！请输入有效手机号!
标题
	标题不能为空！
留言内容
	内容不能为空！
验证码
	验证码不能为空！验证码错误！

[1]	DUSHOFF J, HUANG W Z, CASTILLO-CHAVEZ C.Backward Bifurcation and Catastrophe in Simple Models of Fatal Disease[J]. Journal of Mathematical Biology, 1998, 36(3):227-248.
[2]	doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_doaj-articles_92e89d2af5652ef352ee9b111c45504d WANG W D.Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Treatment[J]. Mathematical Biosciences, 2006, 201(1):58-71.
[3]	ZHANG X, LIU X N.Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Saturated Treatment Function[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 348(1):433-443. doi: 10.1016/j.jmaa.2008.07.042
[4]	CUI J G, MU X X, WAN H.Saturation Recovery Leads to Multiple Endemic Equilibria and Back-ward Bifurcation[J]. Journal of Theoretical Biology, 2008, 254(2):275-283. doi: 10.1016/j.jtbi.2008.05.015
[5]	D'ONOFRIO A, MANFREDI P, SALINELLI E.Vaccinating Behaviour, Information, and the Dynamics of SIR Vaccine Preventable Diseases[J]. Theoretical Population Biology, 2007, 71(3):301-317. doi: 10.1016/j.tpb.2007.01.001
[6]	BUONOMO B, D'ONFRIO A, LACITIGNOLA D.Globally Stable Endemicity for Infectious Diseases with Information-Related Changes in Contact Pattern[J]. Applied Mathematics Letters, 2012, 25(7):1056-1060. doi: 10.1016/j.aml.2012.03.016
[7]	LIU R S, WU J H, ZHU H P.Media/Psychological Impact on Multiple Outbreaks of Emerging Infectious Diseases[J]. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2007, 8(3):153-164. doi: 10.1080/17486700701425870
[8]	KUMAR A, SRIVASTAVA P K, TAKEUCHI Y.Modeling the Role of Information and Limited Optimal Treatment on Disease Prevalence[J]. Journal of Theoretical Biology, 2017, 414:103-119. doi: 10.1016/j.jtbi.2016.11.016

留言板