本文假定X，Y，Z均为一般实线性空间，Y^*，Z^*分别为Y和Z的代数对偶空间，K，P分别为线性空间Y和Z中具有非空代数内部的闭凸锥.设A⊂Y，文献[11, 16-18]中给出了代数内部、代数闭包、代数对偶锥、严格代数对偶锥和回收锥的定义如下：

A在点y的支撑泛函定义为σ_A(y^*)=sup_y∈A{y^*(y)}，∀y^*∈Y^*.

定义1^[6]    称E⊂Y是关于K的改进集，如果0∉E且E+K=E. Y中关于凸锥K的改进集全体记为$\mathscr{T}_Y$.

本文考虑下面的集值向量优化问题：

其中：S⊂X；F：S⇉Y，G：S⇉Z是具有非空值的集值映射.假定可行集D非空.记

其中μ∈Y^*，A⊂X，令L(Z，Y)表示Z到Y的全体线性算子所构成的集合且

此外，我们称(VOP)满足广义Slater约束品性，如果存在${\hat x}$∈S满足G(${\hat x}$)∩(-corP)≠∅.

定义2^[10]    设E∈$\mathscr{T}_Y$，A⊂Y.称a∈A是A的广义E-Benson真有效点，若

本文在一般实线性空间中基于向量闭包提出广义E-Benson真有效点的定义如下：

定义3    设K的代数内部非空，E∈$\mathscr{T}_Y$，A⊂Y.称a∈A是A的广义E-Benson真有效点，若

记为a∈OE∞BS(A).

定义4    称(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点，若y∈F(x)∩OE∞BS(F(D)).

定义5^[15]    设E∈$\mathscr{T}_Y$.称F(x)在D上是邻近E-次似凸的，若vclcone(F(D)+E)是凸集.

引理1^[11]    假设M和N是两个具有非空代数内部的向量闭凸集且N⁺的代数内部非空，如果M∩N={0}，则存在线性泛函μ∈Y^*\{0_Y^*}使得对任意的m∈M，n∈N，〈μ，n〉≥〈μ，m〉且对任意的n∈N\{0}有〈μ，n〉>0.

考虑标量化问题：

称(x，y)是(VOP)_μ的E-最优点，若对任意x∈D，y∈F(x)，〈μ，y-y〉≥σ_-E(μ).

引理2    设K的代数内部非空，则E_∞⁺的代数内部非空.

证    由于K的代数内部非空且K⊂E_∞，故E_∞的代数内部非空.

由回收锥的定义可知，E_∞是一个凸锥，下面证明0∉corE_∞.

反设0∈corE_∞，则对任意h ∈E，存在λ>0使得-λh∈E_∞.

由于E_∞是一个凸锥，故-h ∈E_∞.由回收锥的定义可得0∈E，矛盾.

综上所述E_∞是一个代数内部非空的凸锥且0∉corE_∞，故由文献[19]中的引理3.2.2可知E_∞⁺的代数内部非空.

定理1    设E∈$\mathscr{T}_Y$且F-y是邻近E-次似凸的，则(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点当且仅当存在μ∈E_∞⁺ⁱ使得(x，y)是(VOP)_μ的E-最优点.

证    假设存在μ∈E_∞⁺ⁱ使得(x，y)是(VOP)_μ的E-最优点.令

由E∈$\mathscr{T}_Y$知

从而存在h∈Y，对任意的λ>0，存在λ′∈(0，λ]，使得

由(x，y)是(VOP)_μ的E-最优点可知，对任意的y∈F(D)有〈μ，y-y〉≥σ_-E(μ)，即对任意的e∈E和y∈F(D)有〈μ，y+e-y〉≥0.所以

又由μ∈E_∞⁺ⁱ且d∈-E_∞可知〈μ，d〉≤0.因此〈μ，d〉=0.进而可得d=0.从而

反之，假设(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点，则x∈D，y∈F(x)且

由E的代数内部非空且E=E+E_∞可知，

又由F-的邻近E-y次似凸性可知vclcone(F(D)+E-y)是凸集.从而由(1)式与引理1，2可知，存在μ∈Y^*\{0_Y^*}使得对任意的z∈vclcone(F(D)+E-y)和k∈E_∞\{0}有

由(2)式可知μ∈E⁺ⁱ，进而有

由(2)式和(3)式可知，对任意x∈D，y∈F(x)，〈μ，y-〉≥σ_-E(μ).

本节考虑如下向量优化问题：

定理2    设E∈$\mathscr{T}_Y$，E⊂K且(F，G)在S上是邻近(E×P)-次似凸的且(VOP)满足广义Slater约束品性.若(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点且0∈G(x)，则存在T∈L⁺(Z，Y)使得-T(G(x)∩(-P))⊂(corE_∞∪{0})\corE且(x，y)是(UVP)的广义E-Benson真有效点.

证    因为(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点，所以由定理1可知，存在μ∈E_∞⁺ⁱ使得对任意的x∈S和y∈F(x)有

令H：S⇉R×Z为

由(F，G)在S上是邻近(E×P)-次似凸可知，H在S上是邻近(μE×P)-次似凸的，进一步由(4)式可知系统

无解.由定理1知存在(λ，φ)∈ℝ₊×P⁺\{(0，0_Z^*)}使得对任意的x∈S，y∈F(x)和z∈G(x)有

即对任意的x∈S，y∈F(x)，z∈G(x)，e∈E和z′∈P有

令(5)式中z′=0，则对任意的x∈S，y∈F(x)，z∈G(x)和e∈E有

由G满足slater约束品性和(6)式可知λ>0.取k∈corE_∞，则λ〈μ，k〉=1.定义T：Z→Y为

显然T∈L⁺(Z，Y).令(6)式中x=x，y=y，z=z∈G(x)∩(-P)，则

由(8)式右端不等式可知-T(z)=-〈φ，z〉k∈corE_∞∪{0}，由(8)式左端不等式可知-T(z)∉corE.否则，由corE=E+corE_∞可知存在e∈E使得-T(z)-e∈corE_∞.因此〈φ，z〉+λ〈μ，e〉 < 0，这与(8)式矛盾.由z的任意性可知

进一步地，由T∈L⁺(Z，Y)，且0∈G(x)可知0∈T(G(x))，因此

由(6)式和(7)式可知，对任意的x∈S，y∈F(x)，z∈G(x)，e∈E有

因此，(x，y)是(UVP)_μ的E最优点，由μ∈E_∞⁺ⁱ和定理1可知(x，y)是无约束向量优化问题(UVP)的广义E-Benson真有效点.

定理3    设E∈$\mathscr{T}_Y$，x∈D且y∈F(x).如果存在T∈L⁺(Z，Y)使得0∈T(G(x))且(x，y)是(UVP)的广义E-Benson真有效点，则(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点.

证    由假设条件可知y∈F(x)⊂F(x)+T(G(x))且

由x∈S可知G(x)∩(-P)≠∅，则存在z∈G(x)，使得z∈(-P)，从而-T(z)∈E_∞.因此

又因为E∈$\mathscr{T}_Y$，所以

因此

结合(9)式可知

显然x∈D，y∈F(x)⊂F(D)且

故(x，y)是(VOP)的广义E-Benson真有效点.