文献[1]在4维黎曼流形中引入了一个具有共形不变性的四阶微分算子, 文献[2]将维数扩大到5以上. Paneitz算子可定义为

其中

在本文中, 约定Δ=-div∇.

当(M, g)是爱因斯坦流形时,

其中${a_n} = \frac{{{n^2} - 2n - 4}}{{2n\left( {n - 1} \right)}}, {b_n} = \frac{{\left( {n - 4} \right)({n^2} - 4)}}{{16n{{\left( {n - 1} \right)}^2}}} $.P_g是一个具有自伴性的椭圆算子, 具有离散谱

其中的特征值有如下关系:

文献[3]给出了λ_{k, g}的变分表达式、Paneitz算子的k阶不变量和Paneitz算子的不变量的定义.

λ_{k, g}的变分表达式为

其中, k∈$ {\mathbb{N}_ + }$, Gr_k(H₂²(M))表示H₂²(M)中的所有k维子空间的集合.

Paneitz算子的k阶不变量定义为

其中vol(M, $ {\tilde g}$)是关于度量${\tilde g} $的流形M的黎曼体积, $ \left[ g \right] = \{ \tilde g = {\varphi ^{\frac{{N - 2}}{2}}}g:\varphi \in {C^\infty }\left( M \right), \varphi > 0\} $是度量g的共形类, $ N = \frac{{2n}}{{n - 4}}$.

Paneitz算子的不变量定义为

文献[3]表明, Paneitz算子的不变量μ(M, g)以及μ₁(M, g)能在光滑度量下达到.但是文献[4]指出, Paneitz算子的第二不变量μ₂(M, g)不能在与g共形的光滑度量下达到.受文献[5]的启发, 为了能让μ₂(M, g)达到, 文献[4]将与g共形的光滑度量推广到与g共形的广义度量.

设$ \tilde g = {u^{\frac{{N - 2}}{2}}}g$是与g共形的广义度量, 其中u∈L^N(M), u≥0, 且u${\not \equiv }$0.对于广义共形度量${\tilde g} $, Paneitz算子P_g的k阶特征值定义为

其中, k∈$ {\mathbb{N}_ + }$, Gr_k^u(H₂²(M))表示H₂²(M)中的所有k维子空间的集合.

假设维数n≥5的紧致爱因斯坦流形(M, g)的数量曲率为正, μ₂(M, g)≠0并且可以在广义度量下达到, 则u=|w|, 且方程P_gw=μ₂(M, g)|w|^N-2w有变号解.

文献[3]得到:只需μ(M, g) < 0, 则μ₂(M, g)就能在广义度量下达到; 进一步, 如果μ₂(M, g)≤0, 则w是上述方程的变号解, 并且u=|w|.

近年来, Paneitz算子的研究受到广泛重视, 特别是Paneitz算子的特征值和不变量的相关知识越来越多地被人们知晓(参见文献[3-7]).

针对Paneitz算子的第二不变量μ₂(M, g)的可达性和相关椭圆方程的变号解, 文献[3-4]给出了不同的条件, 但得到了相似的结论.在本文中, 我们给出了不同于文献[3-4]的条件和证明过程, 也得到了相类似的结果.本文的主要结果是:

定理1  设(M, g)是维数n≥5的紧致的爱因斯坦流形, 如果λ₁ < 0且0∉Sp(P_E), 则μ₂(M, g)可以在与g共形的广义度量上达到, 即存在u∈L^N(M), u≥0, u${\not \equiv }$0和w∈H₂²(M), 使得P_gw=μ₂(M, g)u^N-2w成立.此时, 在分布的意义下, 方程

有解.若μ₂(M, g)≤0.那么上述函数w变号.

证  设{u_m}是μ₂(M, g)的极小化序列, 即

设序列{u_m}, 使得∫_Mu_m^Ndv_g=1, 此时${\mu _2}\left( {M, g} \right) = \mathop {\lim }\limits_m {\lambda _{2, {{\tilde g}_m}}} $.对每个u_m, 由文献[3]的性质3我们可以得到, 存在w_m∈H₂²(M), 使得

而且序列{w_m}满足∫_Mu_m^N-2w_m²dv_g=1.因为∫_Mu_m^Ndv_g=1, 则{u_m}在L^N(M)中有界, 且L^N(M)是一个有自反性的空间.所以存在u∈L^N(M), 使得在L^N(M)中u_m⇀u.下证{w_m}在H₂²(M)中有界.假设‖w_m‖_H2²(M)→∞.令$w{'_m} = \frac{{{w_m}}}{{{{\left\| {{w_m}} \right\|}_{H_2^2\left( M \right)}}}} $, 因此‖w'_m‖_H2²(M)=1, 因此{w'_m}在H₂²(M)中有界.因为H₂²(M)是一个有自反性的空间, 所以存在w'∈H₂²(M), 使得:

(ⅰ)在H₂²(M)中w'_m⇀w';

(ⅱ)在H₁²(M)和L²(M)中w'_m→w'.

由(4)式, w'_m满足$ {P_g}w{'_m} = {\lambda _{2, {{\tilde g}_m}}}u_m^{N - 2}w{'_m}$, 因此对任意的φ∈C^∞(M), w'_m满足

根据Hölder不等式, 有

则

即P_gw'=0.因为0∉Sp(P_E), 根据(2)式, 则w'=0.

另一方面, 有

而

再由(ⅱ), 我们得到∫_Mb_nS_g²w'_m²dv_g→0, ∫_Ma_nS_g|∇w_m^'|²dv_g→0.所以∫_M(Δw'_m)²dv_g→0.

综上所述, 我们得到

于是得出了矛盾.所以{w_m}在H₂²(M)中有界, 于是存在w∈H₂²(M), 使得:

(ⅰ)'在H₂²(M)中w_m⇀w;

(ⅱ)'在H₁²(M)和L²(M)中w_m→w.

在分布意义下, 有P_gw=μ₂(M, g)u^N-2w.下证w是变号函数, 且w${\not \equiv }$0.

假设w不是变号函数, 不失一般性, 设w≥0, 则在分布意义下, 有

等号左边第一式和第二式都为0, 则

等号左边非负, 右边为负.这就得到了矛盾, 除非w≡0.下面的证明过程说明这是不可能的.

假设w≡0.由文献[8]的定理1我们可以得到

对∀ε＞0, A(ε)表示与ε有关的常数, 且

所以

如果μ₂(M, g)≤0, 得

由$ {\left\| u \right\|_{H_2^2}}\left( M \right) = {(\left\| {{\Delta _g}u} \right\|_2^2 + \left\| {\nabla u} \right\|_2^2 + \left\| u \right\|_2^2)^{\frac{1}{2}}}$, 得到‖w_m‖_H2²(M)→0.从而

(5) 式右边第二式趋于0.这样就得出了矛盾.所以w${\not \equiv }$0.