设$ {{\mathbb{N}}_{+}} $是全体正整数的集合.对于无平方因子的正奇数D，方程

是一类基本而又重要的三次Diophantine方程，人们曾对此有过很多研究.例如，文献[1]曾证明了：当D不能被3或6k+1之形的奇素数整除时，方程(1)至多有1组解(x，y).文献[2]在文献[1]的条件下进一步证明了：如果D≡3(mod 4)，则方程(1)无解.

设p是奇素数.本文将讨论方程(1)在D＝p时的求解问题.此时，方程(1)可表示成

根据文献[2]的结果可知：如果p≡11(mod 12)，则方程(2)无解.本文将运用Pell方程的性质完整地解决方程(2)在p≡2(mod 3) 时的求解问题，即证明了：

定理1  如果p≡5(mod 12)，则方程(2)仅当p＝5时有解(x，y)＝(13，21).

显然，从定理1和文献[2]的结果直接可知：如果p≡2(mod 3)，则方程(2)当p＝5时仅有解(x，y)＝(13，21).当p≡1(mod 3) 时，方程(2)的求解是一个十分困难的问题，目前已知方程(2)在p满足下列条件时无解：

(P₁)^[3] p＝7;

(P₂)^[4] p＝37;

(P₃)^[5-6] p＝43, 61;

(P₄)^[7] p＝73;

(P₅)^[8] p＝79;

(P₆)^[9] p＝103;

(P₇)^[10] p＝109;

(P₈)^[11-12] p＝3(8n＋2)(8n＋3)＋1, 其中n是正整数;

(P₉)^[13] p≡19(mod 24);

(P₁₀)^[14] p＝3(8n＋3)(8n+4)＋1, 其中n是正整数.

本文运用Pell方程的性质找出了另一类可使方程(2)无解的奇素数p，即证明了：

定理2  如果p≡13(mod 24)，则方程(2)无解.

显然，文献[4, 6, 10, 14]的结果都是定理2的特例.同时，综合上述结果可知：如果方程(2)有解(x，y)，则必有p≡1，7(mod 24).

对于正整数r，设：

其中：

对于非负整数s，设

其中：

引理1  (ⅰ) (u，v)＝(u_r，v_r)(r＝1，2，…)是方程

的全部解.

(ⅱ) (U，V)＝(U_2s+1，V_2s+1)(s=0，1，…)是方程

的全部解.

(ⅲ) 当r是偶数时，u_r是奇数；当r是奇数时，u_r是偶数.

(ⅳ) 对于任何正整数n，都有gcd(U_2n+1，V_2n-1)＝1.

证  根据Pell方程的性质(参见文献[15]的第5.2节)直接可得引理1的结论(ⅰ)和(ⅱ).从(3)式和(4)式可知u_r满足结论(ⅲ).

现在来证明引理1的结论(ⅳ).从(5)式和(6)式可知数列{U_2s+1}_s＝0^∞满足递推关系：

从(9)式可知U_2s+1(s＝0，1，…)都是正奇数，而且

设

从(5)式和(6)式可知ββ＝－1以及

其中

故有d｜U_2r-3.又因d｜U_2r+1且d｜U_2r-3，其中d是正奇数，所以从(9)式可得d｜U_2r-1.因此，d适合

于是，从(10)式和(12)式可得d＝1.引理1证毕.

根据文献[15]的第6.2节提到的结果直接可得以下两个引理：

引理2  方程

仅有解(X，Y)＝(1，1).

引理3  方程

仅有解(X，Y)＝(1，1).

定理1的证明

设(x，y)是方程(2)的一组解.因为

所以x和y都是正奇数.又因：

而且当

时必有$ 3\parallel {{x}^{2}}-2x+4 $，故从方程(2)仅可能得出以下4种情况：

或

若(15)式成立，因为x和y都是正奇数，所以b也是正奇数，故从

可得

矛盾.因此，情况(15)是不可能出现的.

由于x²－2x+4的素因数q都满足q＝3或者q≡1(mod 3)，所以当p≡5(mod 12)时，因为

情况(16)和(18)都不可能出现，因此此时仅需考虑情况(17).

当(17)式成立时，在其中前两个等式中消去x，可得

从(20)式可知方程(7)有解

又因b是正奇数，故从引理1的结论(ⅰ)和(ⅲ)可知：

从(4)式和(6)式可知

所以从(3)，(5)，(9) 式可得

由于p是奇素数，又从引理1的结论(ⅳ)可知

所以从(22)式可得

或

如果(23)式成立，则根据引理1的结论(ⅱ)，从(23)式中的U_2n+1＝f²可知方程(13)有解

然而，因为：

所以根据引理2可知(23)式不成立.

如果(24)式成立，则根据引理1的结论(ⅱ)，从(24)式中的V_2n-1＝g²可知方程(13)有解

因此，从引理3可知，此时仅有：

将此代入(17)式即得x＝13和y=21.由此可知：如果p≡5(mod 12)，则方程(2)仅当p＝5时有解(x，y)＝(13，21).定理1证毕.

定理2的证明

因为p≡13(mod 24)，所以从定理1的证明过程可知，如果方程(2)有解(x，y)，则x和y必定满足(16)式或(18)式.

如果(16)式成立，因为x是正奇数，所以从其中的x+2＝a²可知a也是正奇数，故有

又因b也是正奇数，所以将(25)式代入(16)式中的x²－2x+4＝pb²，可得

与题设条件p≡13≡5(mod 8)矛盾，故(16)式不成立.

同理，如果(18)式成立，从其中的x+2＝3a²，可知

再将(27)式代入(18)式中的x²－2x+4＝3pb²，可得

又因gcd(3，8)=1，所以从(28)式可知p≡1(mod 8)，与题设条件p≡13≡5(mod 8) 矛盾，故(18)式不成立.综上所述可知：如果p≡13(mod 24)，则方程(2) 无解.定理2证毕.