引理 1  (3) 式的任意弱解u为正，且满足u^-1∈L_loc^∞(M).

证 由(3) 式知div(A^p-2▽u)≤0，此时应用关于弱上解的强极小值原理(参见文献[11]中定理8.19)，经过和文献[5]中类似的讨论，得到引理1.证毕.

令K⊂M是某个固定的非空紧集，φ是M上带紧致支撑的Lipschitz函数满足：0≤φ≤1，且在K的某个邻域内φ=1，特别的，φ∈W_c^p(M).假设s，t满足

这一节的主要结果是如下的先验估计.

引理 2 设1＜p≤2，σ＞p-1，且u是(1) 式在弱意义下的非负解，则u满足

证 令ψ=φ^su^-t，则▽ψ=-tu^-t-1φ^s▽u+su^-tφ^s-1▽φ.因此▽ψ∈L^p(M)，即ψ∈W_c^p(M).对给定的ε＞0，由(1) 有

容易验证

对x，y，δ＞0，z＞1成立.取

从而

注意到 ${{A}^{\frac{p\left( p-2 \right)}{p-1}}}{{\left| \nabla u \right|}^{\frac{p}{p-1}}}\le {{A}^{p-2}}{{\left| \nabla u \right|}^{2}}$ 对1＜p≤2成立，于是

将此式代入(9) 式得

再将(10) 式中取 $\delta =1-\frac{\sigma -p+1}{\sigma -t}$ ， $z=\frac{\sigma -t}{-t+p+1}$ 有

因此

将此式代入(12) 得

这里最后一个不等式归因于 $s>\frac{\sigma -t}{\sigma -p+1}$ ，这个不等式可以由(7) 式推出.现在我们在(4) 式中取ψ=φ^s得

因此

由(13) 式我们有

将这个不等式代入(14) 式得

对指标对 $\frac{\sigma }{\left( p-1 \right)\left( t+1 \right)}$ ， $\frac{\sigma }{\sigma -\left( p-1 \right)\left( t+1 \right)}$ 应用Hölder不等式有

这里最后一个不等式归因于(7) 式，0≤φ≤1以及φ在K中有紧致支撑.将上式代入(15) 式得

由于 ${{A}^{\frac{p\left( p-2 \right)}{p-1}}}{{\left| \nabla u \right|}^{\frac{p}{p-1}}}\le {{A}^{p-2}}{{\left| \nabla u \right|}^{2}}$ ，0≤φ≤1，φ∈W_c^p(M)我们有

这里supp(φ)表示φ的紧致支撑集.此估计结合

表明∫_Mu^σφ^sdμ是有界的，于是由(16) 式得(8) 式.证毕.

假设R＞0充分大使得 $t=\frac{1}{\ln R}$ 满足(6) 式.令

定义

其中

且φ定义如下

下面给出J_n(a)的一个关键估计，这里所用的方法类似于文献[8]中的方法.

引理 3我们假设 $a\in \left[ 1,\frac{2p\sigma }{\sigma -\left( p-1 \right)} \right]$ 满足

则

其中

证 类似于文献[5, 8]，对a≥1，有

由(20) 式，类似于^[8]中的讨论知

并且当n→∞时，有

因此(18) 式成立.证毕.

现在我们来证明定理2.

证  取 $a=\frac{p\left( \sigma -t \right)}{\sigma -p+1}$ 和 $a=\frac{p\sigma }{\sigma -\left( p-1 \right)\left( t+1 \right)}$ ，易知都有 $a\in \left[ 1,\frac{2p\sigma }{\sigma -p+1} \right]$ 且a满足(17) 式，由引理3知

由(8) 式有

令n→∞并利用(19) 式，(20) 式得

其中

因此

由(5) 式知对充分小的t＞0， ${{C}^{\frac{p\sigma }{p\sigma -\left( p-1 \right)\left( t+1 \right)}\frac{\sigma }{{{t}^{\sigma -p+1}}}}}M\left( t \right)\le C$ ，注意到

因此

即

令R→∞得∫_Mu^σdμ≤C.由不等式(8) 式知

令n→∞得

则

由∫_Mu^σdμ≤C知R→∞时，∫_M\BRu^σdμ→0.在(21) 式中令R→∞得∫_Mu^σdμ=0.证毕.