令$U = {\left({\frac{1}{{1 - F}}} \right)^←}$为$\frac{1}{{1 - F}}$的广义逆. (1)式成立当且仅当存在辅助函数a(t)＞0使得

对x＞0局部一致成立，其中$R(t, x): = \frac{{U(tx) - U(t)}}{{a(t)}}$，${D_\gamma }(x) = \frac{{{x^\gamma } - 1}}{\gamma }$(γ=0时，D_γ(x)=log x).由文献[11]易知

对于x，y＞0，y≠1局部一致成立.

{E_n，n≥1}是独立同分布序列，均服从标准指数分布. {Y_n，n≥1}是分布函数$F(x) = 1 - \frac{1}{x}(x1)$的独立同分布序列.E_1，m^(j)≤E_2，m^(j)≤…≤E_m，m^(j)和Y_1，m^(j)≤Y_2，m^(j)≤…≤Y_m，m^(j)分别是两组序列第j组样本的次序统计量.易知对j=1，2，…，k_n，

对于k_n→∞和k_n≡k两种情况，$\hat \gamma _n^\mathit{Q}$具有相同的相合性性质：

定理1(弱收敛性)  若(1)和(3)式成立，则$\hat \gamma _n^Q\mathop \to \limits^P \gamma (n \to \infty)$.

定理2(强收敛性)  若(1)和(3)式成立，且$\frac{s}{{\log \log m}} \to \infty $S，则$\hat \gamma _n^Q\mathop \to \limits^{{\rm{a}}.{\rm{s}}.} \gamma (n \to \infty)$.

为进一步探究$\hat \gamma _n^Q$的渐近分布，假设存在辅助函数A(t)→0(t→∞)且无限远处恒正或恒负，使得当t→∞时，

对于x＞0局部一致成立，其中

即U是二阶正规变换函数.由文献[12]推论2.3.6和注记B.3.8可知，对于任意ε，δ＞0，存在t₀=t₀(ε，δ)使得当tx≥t₀时，

定理3  假设(3)和(7)式成立.若n→∞时，k_n→∞，$\frac{{{k_n}}}{{s(n)}} \to 0$，$\sqrt {{k_n}s} A\left({\frac{n}{{2s{k_n}}}} \right) \to {\lambda _1} \in {\mathbb{R}}$，则$\sqrt {{k_n}s} \left({\hat \gamma _n^\varrho - \gamma } \right)\mathop \to \limits^d N\left({\mu {\lambda _1}, {\sigma ^2}} \right)$，其中

定理4  假设(3)与(7)式成立.若k_n≡k＜∞且$\sqrt s A\left({\frac{n}{{2ks}}} \right) \to {\lambda _2} \in {\mathbb{R}}$，则$\sqrt s \left({\hat \gamma _n^Q - \gamma } \right)\mathop { \to N\left({\mu {\lambda _2}, \frac{{{\sigma ^2}}}{k}} \right)}\limits$.其中μ和σ²同定理3.

注1  若k_n=1，此时$\hat \gamma _n^Q$就是Pickands估计量(2)式，进一步在定理4中令λ₂=0，可得到与文献[2]相同的渐近性质.

定理1的证明  设(1)和(3)式成立，对于j=1，2，…，k_n，$\frac{{Y_{m - s + 1, m}^{(j)}}}{{Y_{m - 2s + 1, m}^{(j)}}}\frac{d}{ = }{{\rm{e}}^{\left({E_{m - s + 1, m}^{(j)} - E_{m - 2s + 1, m}^{(j)}} \right.}}\mathop = \limits^d Y_{s, 2s - 1}^{(j)}\mathop \to \limits^P 2$成立(见文献[2]之推论2.1)且E|Y_s，2s-1^(j)|＜∞，由(5)和(6)式知，n→∞时

定理证毕.

定理2的证明  若s满足定理2的条件，则

相似于定理1的证明，定理2得证.

定理3的证明  若(3)和(7)式成立，定义

当n→∞时，由文献[2]的定理2.1知，

由于(4)式局部一致成立，利用泰勒展式、(6)式和Smirnov引理^[12]，有

根据γ和ρ的不同，应分类对(9)式各部分进行讨论，在此只证明γ+ρ≠0，ρ＜0且γ≠0的情况，其他情况类似可证.由文献[2]之推论2.1，将$ {{\text{e}}^{\gamma \left( {E_{m - s + 1,m}^{(j)} - E_{m - 2s + 1,m}^{(j)}} \right)}}$在log 2处泰勒展开有

其中R_n^(j)=E_m-s+1，m^(j)-E_m-2s+1，m^(j)-log 2，Q_n^(j)=E_m-2s+1，m^(j)-E_m-4s+1，m^(j)-log 2，j=1，2，…，k_n.

由文献[2]定理2.3的证明易知，(10)式中R_n^(j)和Q_n^(j)(j=1，2，…，k_n)相互独立，且由

得

记${R_n}: = \sqrt {\frac{s}{{{k_n}}}} \sum\limits_{j = 1}^{{k_n}} {\sum\limits_{l = s}^{2, - 1} {\frac{{E_l^{(j)} - 1}}{l}} }$的特征函数为

由泰勒展式知，

同理，${Q_n}: = \sqrt {\frac{s}{{{k_n}}}} \sum\limits_{j = 1}^{{k_n}} {\sum\limits_{l = {2_s}}^{4s - 1} {\frac{{E_l^{(j)} - 1}}{l}} } $的特征函数f_n，Qn(t)具有如下性质：

由于R_n^(j)和Q_n^(j)(j=1，2，…，k_n)相互独立，2^γR_n-Q_n的特征函数f_n(t)具有如下性质：

注意到

所以n→∞时，

由于$\sqrt {{k_n}s} \left( {\sum\limits_{l = s}^{2s - 1} {\frac{1}{l}} - \log 2} \right) \to 0$，由Slutsky定理^[13]知，

对于ρ＜0且γ+ρ≠0，因为n→∞时$Y_{s, 2s - 1}^{(j)}\mathop \to \limits^P 2\left({j = 1, 2, \cdots, {k_n}} \right)$，有

由(8)式可知，对于足够大的t，ε(t，x)有界且局部一致收敛到0，所以

设$\sqrt {{k_n}s} A\left({\frac{m}{{2s}}} \right) \to {\lambda _1}$，根据(9)，(11)-(13)式可得当n→∞时

定理证毕.

定理4的证明类似定理3，此处省略.