设ℝⁿ为n维欧几里得空间，K是ℝⁿ的一个非空子集，f: K→ℝ与α: K×K→ℝ\{0}为实值函数，η: K×K→ℝⁿ为向量值函数.

定义1^[6]  如果对于∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，存在向量值映射η: K×K→ℝⁿ使得y+λα(x，y)η(x，y)∈K，则称K是关于α与η的α-不变凸集.

定义2^[6]  设K是关于α与η的α-不变凸集.若∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，满足

则称f是关于α与η的拟α-预不变凸函数.

设存在映射E: ℝⁿ→ℝⁿ.下面给出E-α-不变凸集的定义.

定义3  如果∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，满足E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y))∈K，则称K是关于α与η的E-α-不变凸集.

例1  设K=[-1, 0]，对∀x∈K，E(x)=|x|-1.对∀x，y∈K，令

分析  1)当x≠-1且y≠-1时，对于∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y))=$\left( {\frac{\lambda }{2} - 1} \right)$(1+y)∈K.

2) 当x，y至少一个为-1时，对于∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y))=-y-1∈K，故K是关于α与η的E-α-不变凸集.

定义4  设K是关于α和η的E-α-不变凸集.若对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是关于α与η的E-α-预不变凸函数.

定义5  设K是关于α和η的E-α-不变凸集.若对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是关于α与η的E-拟α-预不变凸函数.

注1  由定义4与定义5可知，E-拟α-预不变凸函数是E-α-预不变凸函数的真推广.但反之，E-拟α-预不变凸函数不一定是E-α-预不变凸函数.

下例说明E-拟α-预不变凸函数的存在性.

例2  设K=(0，1]，对∀x∈K，E(x)=x².对∀x，y∈K，令α(x，y)=xy，$\eta \left( {x, y} \right) = \frac{{x - y}}{{xy}}$.定义f: K→ℝ为f(x)=x².

分析  容易证明K是关于α和η的E-α-不变凸集.对于∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

则f是关于α与η的E-拟α-预不变凸函数.

下例说明E-拟α-预不变凸函数不一定是E-α-预不变凸函数.

例3  设K=[-1, 1]×[-1, 1]，对∀(x，y)∈K，E(x，y)=(x²，y²).对∀(x₁，y₁)，(x₂，y₂)∈K，令α((x₁，y₁)，(x₂，y₂))=x₁y₂+2，η((x₁，y₁)，(x₂，y₂))=$\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}{y_2} + 2}}, \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1}{y_2} + 2}}} \right)$.定义g: K→ℝ为g(x，y)=y²-x³(图 1，2).

分析  根据图 1，2及定义5，易知g是关于α与η的E-拟α-预不变凸函数.取K上两点ω=(0，1)与ν=(1，1)，令λ=$\frac{1}{2}$，有

则g不是关于α与η的E-α-预不变凸函数.

定义6^[12]  设K⊂ℝⁿ是非空凸集，f是定义在K上的函数.

1) 如果对于∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是K上的拟凸函数；

2) 如果对于∀x，y∈K，x≠y，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是K上的严格拟凸函数；

3) 如果对于∀x，y∈K，f(x)≠f(y)，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是K上的半严格拟凸函数.

将严格和半严格拟凸函数进行推广，可分别得到严格与半严格E-拟α-预不变凸函数的定义.

定义7  设K是关于α和η的E-α-不变凸集，f是定义在K上的函数.

1) 若对∀x，y∈K，E(x)≠E(y)，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是关于α与η的严格E-拟α-预不变凸函数；

2) 若对∀x，y∈K，f(E(x))≠f(E(y))，∀λ∈[0, 1]，有

则称f是关于α与η的半严格E-拟α-预不变凸函数.

本节将讨论(半)严格E-拟α-预不变凸函数的充要条件，及E-拟α-预不变凸型约束优化问题的最优性结果.下面给出后面将用到的关于映射α和η的一个重要引理.

引理1  设K是关于映射α与η的E-α-不变凸集，且E(·)是满射.若对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

则对∀λ₁，λ₂∈(0，1]，有

且

证  根据假设，有

且

我们给出条件A与条件B的定义.

条件A  设K是关于映射α与η的E-α-不变凸集.称函数f满足条件A，如果对∀x，y∈K，有

条件B  设K是关于映射α与η的E-α-不变凸集.称α与η满足条件B，如果对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

借助条件A与条件B，我们给出严格与半严格E-拟α-预不变凸函数的等价刻画.

定理1  设K是关于α与η的E-α-不变凸集，映射E(·)是满射，且f满足条件A，η满足条件B.若对∀x，y∈K，E(x)≠E(y)，∀λ∈[0, 1]，有

且

成立，则f在K上是关于映射α与η的严格E-拟α-预不变凸函数，当且仅当对∀x，y∈K，∀λ∈(0，1]，g(λ)=f(E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y)))是严格拟凸的.

证  先证定理的必要性.设g(λ)=f(E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y)))是严格拟凸的.根据定义，对∀x，y∈K，E(x)≠E(y)，∀λ∈[0, 1]，

根据条件A，可知

即f是关于映射α与η的严格E-拟α-预不变凸函数.

再证定理的充分性.设f是关于映射α与η的严格E-拟α-预不变凸函数.根据定义，对∀x，y∈K，E(x)≠E(y)，∀λ∈[0, 1]，有

由条件可知E(x)≠E(y)时有α(E(x)，E(y))≠0，η(E(x)，E(y))≠0成立，则对于∀λ₁，λ₂，β∈[0, 1]，λ₁≠λ₂(不失一般性，假设λ₂＜λ₁)，有

根据引理1，下列不等式成立

即g(λ)为严格拟凸函数，证毕.

使用类似方法，可以得到关于半严格E-拟α-预不变凸函数的如下刻画.

定理2  设K是关于α与η的E-α-不变凸集，映射E(·)是满射，且f满足条件A，η满足条件B.若对∀x，y∈K，f(E(x))≠f(E(y))，∀λ∈[0, 1]，有α(E(x)，E(y))=α(E(y)，E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y)))成立，则f在K上是关于映射α与η的半严格E-拟α-预不变凸函数，当且仅当对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，g(λ)=f(E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y)))是半严格拟凸的.

考虑如下非线性规划问题(NP1)

其中: K是关于映射α与η的E-α-不变凸集；函数f，g_i(i=1，2，3，…，n)为关于映射α与η的E-拟α-预不变凸函数.

规定

使用与文献[5]在引理2中类似的证明方法，可以得到引理2.

引理2  若K_i(i∈I)皆为关于同一α与η的E-α-不变凸集，则集合$\bigcap\limits_{i \in I} {{K_i}} $仍然是关于同一α与η的E-α-不变凸集.

下面给出问题(NP1)的3个最优性结果.

定理3  非线性规划问题(NP1)的可行解集是关于映射α与η的E-α-不变凸集.

证  设x，y是问题(NP1)的可行解，则对∀x，y∈X_i，∀λ∈[0, 1]，有

由g_i(x)的E-拟α-预不变凸性可知，对∀x，y∈X_i，∀λ∈[0, 1]有

即

则X_i是关于映射α与η的E-α-不变凸集.

因为$X = \bigcap\limits_{i \in I} {{K_i}} $，根据引理2可知X是关于映射α与η的E-α-不变凸集，证毕.

定理4  非线性规划问题(NP1)的最优解集S是关于映射α与η的E-α-不变凸集.

证  设x₁^*，x₂^*是问题(NP1)的最优解，

则有

由定理3得可行解集X是关于映射α与η的E-α-不变凸集，故

对∀x₁^*，x₂^*∈S，∀λ∈[0, 1]，有

根据(1)式可知对∀x₁^*，x₂^*∈S，∀λ∈[0, 1]，有

即S是关于映射α与η的E-α-不变凸集，证毕.

定理5  如果x^*是非线性规划问题(NP1)的局部最优解，则x^*是(NP1)的全局最优解.

证  设x^*是(NP1)的局部最优解，则存在δ＞0，使得

其中B(x^*；δ)={x|0＜‖x-x^*‖≤δ，x∈K}.若x^*不是问题(NP1)的全局最优解，则必存在x∈X(x≠x^*)，使得f(E(x))＜f(E(x^*)).

由于f是关于映射α与η的E-拟α-预不变凸函数，对∀λ∈[0, 1]，有

取

显然有λ∈(0，1].对∀λ∈[0，λ]，令

则

由定理3可知x∈X，则x∈X∩B(x^*；δ)，且f(E(x))≤f(E(x^*))，这与x^*是问题(NP1)的局部最优解矛盾.故x^*是问题(NP1)的全局最优解，证毕.

例4  考虑下面的非线性规划问题(NP2)

其中集合$K = \left( {0, \frac{1}{2}} \right]$，$E\left( x \right) = {x^2} + \frac{1}{4}$.定义g(x)=log₂(1-x)，f(x)=x²-x+1.对∀x，y∈K，令α(x，y)=xy，$\eta \left( {x, y} \right) = \frac{{x - y}}{{xy}}$.由定义3和定义4易知集合A是关于α和η的E-α-不变凸集，f(x)与g(x)是关于α和η的E-拟α-预不变凸函数.

(NP2) 的可行解集为$X = \left\{ {x\left| {0 < x \le \frac{1}{2}} \right.} \right\}$.易知$x = \frac{1}{2}$为问题(NP2)的局部最优解，且是问题(NP2)的全局最优解.该结果验证了定理5.

本节主要讨论E-α-预不变凸性以及其在一类多目标规划问题中的应用.首先给出关于α与η的E-α-预不变凸函数的两个性质.

定理6  设f是K上关于α与η的E-α-预不变凸函数，且f可微.若▽f≥(≤)0，且对于∀x，y∈K，α，η满足α(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y))≥(≤)E(x)-E(y)，则下列不等式成立:

证  根据▽f≥(≤)0，α(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y))≥(≤)E(x)-E(y)成立，对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

由E-α-预不变凸函数的定义可知，对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

由(2)，(3)式可知，下列不等式成立

当λ=0或λ=1时，(4)式恒成立.现考虑λ∈(0，1)时的情况，显然有

当λ→0⁺时，得到不等式f(E(x))-f(E(y))≥▽f(E(y))^T(E(x)-E(y))，证毕.

定理7  设K是关于映射α与η的E-α-不变凸集，E(·)是满射.函数f满足条件A，映射η满足条件B.若对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，有

成立，则函数f是关于α和η的E-α-预不变凸函数当且仅当对∀x，y∈K，∀λ∈[0, 1]，g(λ)=f(E(y)+λα(E(x)，E(y))η(E(x)，E(y)))为凸函数.

证  利用定理1的方法可类似证明.

考虑下列多目标规划问题(MOP1)

其中K⊂ℝⁿ是关于α与η的E-α-不变凸集，f_i(i=1，2，3，…，m)，g_j(j=1，2，3，…，n)与h_k(k=1，2，3，…，p)是K上关于同一α与η的E-α-预不变凸函数，设多目标规划问题(MOP1)的可行域为D.

先引入以下几个符号:设x=(x₁，x₂，…，x_n)，y=(y₁，y₂，…，y_n).

定义8  设x^*是多目标规划问题(MOP1)的可行解，若不存在另一可行解x，使f(E(x))≤f(E(x^*))(或f(E(x))＜f(E(x^*)))成立，则称x^*为该问题的有效解(或弱有效解).

定理8  设x^*是多目标规划问题(MOP1)的可行解，f_i，g_j，h_k具有一阶连续偏导数，$\sum\limits_{k = 1}^p {{v_k}{h_k}} $，v=(v₁，v₂，…，v_p)∈ℝ^p是关于α和η的E-α-预不变凸函数，并且定理6中的条件皆成立.若存在λ∈ℝ₊₊^m，μ∈ℝ₊ⁿ，v∈ℝ^p，使得

则x^*是多目标规划问题(MOP1)的有效解(弱有效解).

证  反证.假设x^*不是(MOP1)的有效解(弱有效解)，则存在x∈D，使得f(E(x))≤(＜)f(E(x^*)).由于λ∈ℝ₊₊^m，下列不等式成立

由于f_i，g_j与$\sum\limits_{k = 1}^p {{v_k}{h_k}} $为E-α-预不变凸函数，且满足定理6的假设，则以下不等式成立

将(8)式中第i式乘以λ_i，(9)中第j式乘以μ_j，并与(10)式相加得到

则有

式(11)与(7)矛盾，故x^*为有效解(弱有效解)，证毕.

下面给出例5来证明以上结果的正确性.

例5  考虑多目标规划问题(MOP2)

其中K=[0, 1]×[0, 1].对∀(x，y)∈K，E(x，y)=(x²，y²)，f₁(x，y)=x²，f₂(x，y)=x³-1，g(x，y)=${y^{\frac{3}{2}}} - 1$，h(x，y)=0.对∀(x₁，y₁)，(x₂，y2)∈K，令

分析  容易证明K是关于α和η的E-α-不变凸集，f₁，f₂，g，h是关于α和η的E-α-预不变凸函数且满足定理6的条件，x^*=(0，0)是(MOP2)的一个可行解.任取λ₁，λ₂＞0，v∈ℝ，μ=0有

因此x^*=(0，0)是(MOP2)的有效解.