On the Solvability of the Arithmetic Function Equation S (SL (n11, 12))=φ2 (n) of Smarandache LCM Function

He-cai YUAN; Xiao-feng WANG

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.10.012

In this paper we discuss the solvability of the arithmetic function equation S(SL(n¹¹))=φ₂(n) and S(SL(n¹²))=φ₂(n) of the Smarandache LCM function, where S(n) is a Smarandache function, SL(n) is a Smarandache LCM function, and φ₂(n) is a generalized Euler function. All positive integer solutions of the above two arithmetic function equations are obtained by using the elementary number theory method and the calculation technique.

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20世纪90年代，美国著名的数学家F. Smarandache在文献[1]中提出了许多新的数论问题，并定义了若干新的数论函数，对现代数论的发展产生较大的影响.其中以F. Smarandache本人命名的Smarandache函数S(n)，以及在函数S(n)基础上衍生出的若干数论函数，如Smarandache LCM函数SL(n)，近年来受到国内外诸多学者的广泛关注和深入研究.Smarandache函数S(n)表示为：对任意正整数n，S(n)为使得n|m!的最小正整数m，即S(n)=min{m∈z：n|m!}.Smarandache LCM函数SL(n)则表示为：使得n|[1，2，…，k]的最小正整数k，即SL(n)=min{k∈z：n|[1，2，…，k]}，也表示1，2，…，$\left[{\frac{n}{2}} \right]$中与n互素的正整数的个数.由广义欧拉函数φ₂(n)的定义^[2]易知φ₂(2)=1；2φ₂(n)=φ(n)(n≥3).关于Smarandache LCM函数SL(n)与欧拉函数φ(n)数及广义欧拉函数φ₂(n)相结合的数论方程，近年来受到关注.文献[2-3]研究了数论函数方程φ(n)=S(n)的可解性问题；文献[4]研究了数论函数方程φ(n)=S(n^k)(k≥2)与SL(n)=φ(n)的可解性问题；文献[5]研究了3类数论函数方程φ(n^k)=S(n)(k≥2)，SL(n^k)=φ(n)(k≥2)及SL(n)=φ(n^k)(k≥2)的可解性问题；文献[6]研究了数论函数方程S(n¹¹)=φ(n)的可解性问题；文献[7]研究了数论函数方程S(n^2k)=φ(n)的几种特殊形式的解的情况；文献[8]研究了数论函数方程φ(n)=S(n¹⁰)的可解性问题；文献[9-10]分别研究了数论方程S(SL(n))=φ(n)和S(SL(n))=φ₂(n)的可解性；文献[11]研究了数论方程S(SL(n²))=φ₂(n)的正整数解.本文在前人研究Smarandache LCM数论函数方程理论工作的基础上，进一步研究了Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹¹))=φ₂(n)及S(SL(n¹²))=φ₂(n)的可解性问题.

1. 相关引理

引理1^[10] 若n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，则：

引理2^[10] 对于整数k和素数p，有S(p^k)≤kp；若进一步有k < p，则S(p^k)=kp.

引理3^[10] 当n≥2时，有φ(n) < n；当n≥3时，φ(n)为偶数.

2. 定理及其证明

定理1 Smarandache LCM函数的数论函数方程

的正整数解为n=360，1 587，2 116，3 174，432，540，208，336

证当n=1时，

显然1不是方程(1)的解.

当n≥2时，设n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，由引理1，有

又因

其中n=p^rm，(m，p)=1，则方程(1)可化为

由引理2知

即

下面针对(2)，(3)，(4)式中的p，r的不同取值分10种情形分别加以讨论：

情形1 当r=1时，(3)式为

若p=2，则φ(m)=2S(2¹¹)=28，m=29，58，又因(m，p)=1，则n=p^rm=58，将其代入(2)式，经检验n=58不满足(2)式，因此n=58不是方程(1)的解；

若p=3，则φ(m)=S(3¹¹)=27，由引理3，此时方程(1)无解；

若p=5，则2φ(m)=S(5¹¹)=50，φ(m)=25，由引理3，此时方程(1)无解；

若p=7，则3φ(m)=S(7¹¹)=70，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=11，则5φ(m)=S(11¹¹)=121，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p≥13，由引理2，则22p=2S(p¹¹)=(p-1)φ(m)，又因(p-1，p)=1，则(p-1)|22，得p=23，φ(m)=23，由引理3，此时方程(1)无解.

情形2 当r=2时，(3)式为2S(p²²)=p(p-1)φ(m)，(4)式为44≥p-1.

若p=2，则φ(m)=S(2²²)=24，m=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90，又因(m，p)=1，则n=p^rm=140，156，180，将其代入(2)式，经检验n=140，156，180不满足(2)式，因此n=140，156，180不是方程(1)的解；

若p=3，则3φ(m)=S(3²²)=48，φ(m)=16，m=17，32，34，40，48，60，又因(m，p)=1，则n=p^rm=153，288，306，360，将其代入(2)式，经检验n=360满足(2)式，因此n=360是方程(1)的解；

若p=5，则10φ(m)=S(5²²)=95，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=7，则21φ(m)=S(7²²)=140，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=11，则55φ(m)=S(11²²)=231，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=13，则78φ(m)=S(13²²)=273，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=17，则136φ(m)=S(17²²)=357，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=19，则171φ(m)=S(19²²)=399，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p≥23，由引理2，则44p=2S(p²²)=p(p-1)φ(m)，即44=(p-1)φ(m)，得p=23，φ(m)=2，m=3，4，6，n=p^rm=1 587，2 116，3 174，将其分别代入(2)式，经检验n=1 587，2 116，3 174满足(2)式，因此n=1 587，2 116，3 174是方程(1)的解.

情形3 当r=3时，(3)式为2S(p³³)=p²(p-1)φ(m)，(4)式为66≥p(p-1)，即p=2，3，5，7.

若p=2，则2φ(m)=S(2³³)=36，φ(m)=18，m=19，27，38，54，又因(m，p)=1，则n=p^rm=152，216，将其代入(2)式，经检验n=152，216不满足(2)式，因此n=152，216不是方程(1)的解；

若p=3，则9φ(m)=S(3³³)=72，φ(m)=8，m=15，16，20，24，30，又因(m，p)=1，则n=p^rm=432，540，将其代入(2)式，经检验n=432，540满足(2)式，因此n=432，540是方程(1)的解；

若p=5，则50φ(m)=S(5³³)=135，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=7，则147φ(m)=S(7³³)=203，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形4 当r=4时，(3)式为2S(p⁴⁴)=p³(p-1)φ(m)，(4)式为88≥p²(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则4φ(m)=S(2⁴⁴)=48，φ(m)=12，m=13，21，26，28，36，42，又因(m，p)=1，则n=p^rm=208，336，将其代入(2)式，经检验n=208，336满足(2)式，因此n=208，336是方程(1)的解；

若p=3，则27φ(m)=S(3⁴⁴)=90，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形5 当r=5时，(3)式为2S(p⁵⁵)=p⁴(p-1)φ(m)，(4)式为110≥p³(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则8φ(m)=S(2⁵⁵)=60，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解；

若p=3，则81φ(m)=S(3⁵⁵)=114，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形6 当r=6时，(3)式为2S(p⁶⁶)=p⁵(p-1)φ(m)，(4)式为132≥p⁴(p-1)，即p=2.

若p=2，则16φ(m)=S(2⁶⁶)=68，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形7 当r=7时，(3)式为2S(p⁷⁷)=p⁶(p-1)φ(m)，(4)式为154≥p⁵(p-1)，即p=2.

若p=2，则32φ(m)=S(2⁷⁷)=80，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形8 当r=8时，(3)式为2S(p⁸⁸)=p⁷(p-1)φ(m)，(4)式为176≥p⁶(p-1)，即p=2.

若p=2，则64φ(m)=S(2⁸⁸)=92，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形9 当r=9时，(3)式为2S(p⁹⁹)=p⁸(p-1)φ(m)，(4)式为198≥p⁷(p-1)，即p=2.

若p=2，则128φ(m)=S(2⁹⁹)=104，φ(m)不是整数，此时方程(1)无解.

情形10 当r≥10时，2^r-2≻22r，显然22pr≥p^r-1(p-1)不成立，此时方程(1)无解.

综上所述，可得Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹¹))=φ₂(n)的正整数解为：

定理2 Smarandache LCM函数的数论函数方程

的正整数解为n=275，550，480.

证当n=1时，

显然1不是方程(5)的解.

当n≥2时，设n=p₁^r₁p₂^r₂…p_k^r_k，其中p₁，p₂，…，p_k为素数，由引理1知

又因

其中：

则方程(5)可化为

由引理2知

即

下面针对(6)，(7)，(8)式中的p，r的不同取值分10种情形分别加以讨论：

情形1 当r=1时，(7)式为2S(p¹²)=(p-1)φ(m).

若p=2，则φ(m)=2S(2¹²)=32，m=51，64，68，80，96，102，120，又因(m，p)=1，则n=p^rm=102，将其代入(6)式，经检验n=102不满足(6)式，因此n=102不是方程(5)的解；

若p=3，则φ(m)=S(3¹²)=27，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=5，则2φ(m)=S(5¹²)=50，φ(m)=25，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=7，则3φ(m)=S(7¹²)=77，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=11，则5φ(m)=S(11¹²)=121，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p≥13，由引理2，则24p=2S(p¹²)=(p-1)φ(m)，又因(p-1，p)=1，则(p-1)|24，得p=13，φ(m)=26，经检验，不存在m使得φ(m)=26，此时方程(5)无解.

情形2 当r=2时，(7)式为2S(p²⁴)=p(p-1)φ(m)，(8)式为48≥p-1，即p≤49.

若p=2，则φ(m)=S(2²⁴)=28，m=29，58，又因(m，p)=1，则n=p^rm=116，将其代入(6)式，经检验，n=116不满足(6)式，因此n=116不是方程(5)的解；

若p=3，则3φ(m)=S(3²⁴)=54，φ(m)=18，m=19，27，38，54，又因(m，p)=1，则n=p^rm=171，342，将其代入(6)式，经检验，n=171，342不满足(6)式，因此n=171，342不是方程(5)的解；

若p=5，则10φ(m)=S(5²⁴)=100，φ(m)=10，m=11，22，又因(m，p)=1，则n=p^rm=275，550，将其代入(6)式，经检验n=275，550满足(6)式，因此n=275，550是方程(5)的解；

若p=7，则21φ(m)=S(7²⁴)=147，φ(m)=7，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=11，则55φ(m)=S(11²⁴)=242，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=13，则78φ(m)=S(13²⁴)=299，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=17，则136φ(m)=S(17²⁴)=391，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=19，则171φ(m)=S(19²⁴)=437，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=23，则253φ(m)=S(23²⁴)=529，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p≥29，由引理2，则48p=2S(p²⁴)=p(p-1)φ(m)，即48=(p-1)φ(m)，而不存在p使得p≥29和48=(p-1)φ(m)同时成立，此时方程(5)无解.

情形3 当r=3时，(7)式为2S(p³⁶)=p²(p-1)φ(m)，(8)式为72≥p(p-1)，即p=2，3，5，7.

若p=2，则2φ(m)=S(2³⁶)=40，φ(m)=20，m=25，33，44，50，66，又因(m，p)=1，则n=p^rm=200，264，将其代入(6)式，经检验n=200，264不满足(6)式，因此n=200，264不是方程(5)的解；

若p=3，则9φ(m)=S(3³⁶)=78，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解；

若p=5，则50φ(m)=S(5³⁶)=150，φ(m)=3，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=7，则147φ(m)=S(7³⁶)=224，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形4 当r=4时，(7)式为2S(p⁴⁸)=p³(p-1)φ(m)，(8)式为96≥p²(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则4φ(m)=S(2⁴⁸)=52，φ(m)=13，由引理3，此时方程(5)无解；

若p=3，则27φ(m)=S(3⁴⁸)=99，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形5 当r=5时，(7)式为2S(p⁶⁰)=p⁴(p-1)φ(m)，(4)式为120≥p³(p-1)，即p=2，3.

若p=2，则8φ(m)=S(2⁶⁰)=64，φ(m)=8，m=15，16，20，24，30，又(m，p)=1，则n=p^rm=480，将其代入(6)式，经检验n=480满足(6)式，因此n=480是方程(5)的解；

若p=3，则81φ(m)=S(3⁶⁰)=126，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形6 当r=6时，(7)式为2S(p⁷²)=p⁵(p-1)φ(m)，(8)式为144≥p⁴(p-1)，即p=2.

若p=2，则16φ(m)=S(2⁷²)=76，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形7 当r=7时，(7)式为2S(p⁸⁴)=p⁶(p-1)φ(m)，(8)式为168≥p⁵(p-1)，即p=2.

若p=2，则32φ(m)=S(2⁸⁴)=88，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形8 当r=8时，(7)式为2S(p⁹⁶)=p⁷(p-1)φ(m)，(8)式为192≥p⁶(p-1)，即p=2.

若p=2，则64φ(m)=S(2⁹⁶)=100，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形9 当r=9时，(7)式为2S(p¹⁰⁸)=p⁸(p-1)φ(m)，(8)式为216≥p⁷(p-1)，即p=2.

若p=2，则128φ(m)=S(2¹⁰⁸)=112，φ(m)不是整数，此时方程(5)无解.

情形10 当r≥10时，2^r-2≻24r，显然24pr≥p^r-1(p-1)不成立，此时方程(5)无解.

综上所述，可得Smarandache LCM函数的数论函数方程S(SL(n¹²))=φ₂(n)的正整数解为：n=275，550，480.

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On the Solvability of the Arithmetic Function Equation S (SL (n^{11, 12}))=φ₂ (n) of Smarandache LCM Function

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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