Multiplicity Results for Fractional Elliptic Equations with Near Resonance

考虑分数阶椭圆方程

其中，$\mathit{\Omega } \subset {\mathbb{R}^N}$为具有Lipschitz边界$\partial \mathit{\Omega } $的有界开区域，s∈(0，1)，N＞2s，$f \in C\left( {\mathit{\overline \Omega } \times \mathbb{R}, \mathbb{R}} \right)$，且满足条件：

(f₀)$\mathop {\lim }\limits_{\left| t \right| \to \infty } \frac{{f\left( {x, t} \right)}}{t} = 0$对$x \in \mathit{\overline \Omega }$一致成立.

(-Δ)^s为分数阶椭圆算子，定义如下：

记$Q = {\mathbb{R}^{2N}}\backslash \mathcal{O}$，其中$\mathcal{O} = C\left( \mathit{\Omega } \right) \times C\left( \mathit{\Omega } \right) \subset {\mathbb{R}^{2N}}$以及$C\left( \mathit{\Omega } \right) = {\mathbb{R}^N}\backslash \mathit{\Omega }$.近年来，分数阶椭圆算子越来越多地出现在一些运用领域，例如极小曲面问题^[1]、分数阶椭圆相变理论^[2]以及分数阶量子力学问题^[3]等.由文献[4]的命题4.4知，当s→1^-时，算子(-Δ)^s的极限为-Δ.用X(Ω)表示由Lebesgue可测函数构成的线性空间，满足

赋予范数

令X₀(Ω)={u∈X(Ω)：$u = 0\left( {{\rm{a}}{\rm{.e}}{\rm{.}}\;\;x \in {\mathbb{R}^N}\backslash \mathit{\Omega }} \right)$，则X₀(Ω)为X(Ω)的线性闭子空间.由文献[5]知(X₀(Ω)，‖.‖_X0)为Hilbert空间，其内积为

并且当$q \in \left[ {1, 2_s^ * } \right]\left( {2_s^ * = \frac{{2N}}{{N - 2s}}} \right)$时，嵌入X₀(Ω)$\circlearrowleft$ L^q(Ω)是连续的；当q∈[1，2_s^*)时，嵌入X₀(Ω)$\circlearrowleft$L^q(Ω)是紧的.因此，对∀q∈[1，2_s^*]，存在τ_q＞0，使得

由文献[6]知特征值问题

有一列单调递增的特征值0＜λ₁＜λ₂≤…≤λ_k≤…，相应的特征函数表示为ϕ_k. {ϕ_k}_{k∈$\mathbb{N}$} 构成空间L²(Ω)以及空间X₀(Ω)的正交基.若λ_k-1＜λ_k=…=λ_k+m-1＜λ_k+m，我们称λ_k(k≥2)是问题(3)的m(m∈$\mathbb{N}$)重特征值.此时，λ_k的特征函数的全体构成X₀(Ω)的线性闭子空间，表示为Z=span {ϕ_k，…，ϕ_k+m-1}.本文的主要结论如下：

定理1  令λ_k为问题(3)的m重特征值，$f \in C\left( {\mathit{\overline \Omega } \times \mathbb{R}, \mathbb{R}} \right)$，h∈L²(Ω).假设条件(f₀)及下面的条件(H₁)或(H₂)成立：

(H₁) $\mathop {\lim }\limits_{t \to \pm \infty } f\left( {x, t} \right) = \mp \infty $对x∈Ω一致成立；

(H₂) $\mathop {\lim }\limits_{\left| t \right| \to \infty } F\left( {x, t} \right) = - \infty $对x∈Ω一致成立，且$\int_\mathit{\Omega } {h\phi {\rm{d}}x = 0\left( {\forall \phi \in Z} \right)}$.

则存在ε₁＞0，使得当λ∈(λ_k，λ_k+ε₁)时，方程(1)至少存在2个解.

注1  注意到定理1中参数位于特征值λ_k的右边小邻域内，因此，这个问题本质上是参数从右边趋近非主特征值λ_k时解的多重性问题，称其为近共振问题.椭圆型方程近共振问题相关结论可参见文献[7-15].其中，文献[7]考察了分数阶椭圆方程关于左边近共振问题解的多重性，文献[8]考察了非线性项满足Landesman-Lazer型条件下的分数阶椭圆方程右边近共振问题解的多重性.参数从左边趋近时，近共振问题的多解性可以通过构造两个不同能量水平上的鞍点结构来获得；当参数从右边趋近λ_k时，λ_k的特征子空间引发的几何结构的改变导致不能再同时建立两个不同的鞍点结构.为此，文献[9]不得不运用分离球定理(也称作局部鞍点定理)来证明第二个解的存在性.文献[8-13]也都是采用这一思路.特别指出的是文献[14]的证明方法.文献[14]运用Galerkin逼近方法考察了一类椭圆系统，在一定程度上统一了左右两边逼近情况下的证明.受此启发，本文采用Galerkin逼近方法进行处理，从而避免使用分离球定理来处理参数从右边逼近时的近共振问题.

考虑泛函

因为非线性项$f \in C\left( {\mathit{\overline \Omega } \times \mathbb{R}, \mathbb{R}} \right)$且满足次线性增长性条件(f₀)，因此J_λ∈C¹(X₀(Ω)，$\mathbb{R}$).由变分法可知u∈X₀(Ω)是方程(1)的解当且仅当u是泛函J_λ在空间X₀(Ω)中的临界点.由条件(f₀)，对∀δ＞0，存在M_δ＞0，使得

利用Hölder不等式及(2)式可知：

其中${C_1} = {M_\delta }{\left| \mathit{\Omega } \right|^{\frac{1}{2}}}{\tau _2}$，C₂=τ₂‖h‖_L².由空间的直和分解可知：

令：

定义：

且S_Wn，S_WnZ分别表示B_Wn，B_WnZ的球面.

引理1  在定理1的假设下，存在ε₁＞0，使得当λ∈(λ_k，λ_k+ε₁)时，存在常数D_V，D_λ^-及ρ_λ^-＞R^-＞0，使得：

证  令u∈V.利用(5)，(6)，(7)式可得

取δ＜$\frac{{{\lambda _k} - {\lambda _{k - 1}}}}{{{\lambda _{k - 1}}\tau _2^2}}$，则$\frac{{{\lambda _k} - {\lambda _{k - 1}}}}{{{\lambda _{k - 1}}}} - \delta \tau _2^2$＞0.从而对∀u∈V，J_λ(u)有下界，即存在常数D_V，使得J_λ≥D_V+1，即(10)式成立(注意D_V与λ无关).

下面考察当u∈W_n$ \oplus $Z，条件(H₁)或条件(H₂)成立时的情形.首先考虑条件(H₁)成立的情形.由f的连续性知，对任意常数K＞0，存在C_K＞0，使得F(x，t)≤-K|t|+C_K.特别地，取K=1+C₂.注意到，对固定的n，W_n$ \oplus $Z为有限维子空间，所有范数等价.令ε₁=λ-λ_k＞0，则

令‖u‖_X0=R^-，使得C_K|Ω|-R^-＜D_V-1.当0＜ε₁＜$\frac{{2{\lambda _k}}}{{{R^ - }}}$，即$\frac{{{\varepsilon _1}}}{{2{\lambda _k}}}{\left( {{R^ - }} \right)^2}$＜1时，对∀u∈R^-S_WnZ，有J_λ(u)＜D_V，即(11)式成立.

特别地，当u∈W_n时，类似(15)式可得

由于λ-λ_k+m＜0且C_K|Ω|-R^-＜D_V-1＜D_V，故当u∈W_n且‖u‖_X0≥R^-时，J_λ(u)≤D_V，即(12)式成立.

接下来考虑条件(H₂)成立的情形.我们首先证明当u∈W_n$\oplus $ Z时，有

成立.为此，我们首先断言：对∀u∈S_WnZ，存在常数σ＞0，使得集合Ω_u={x∈Ω：|u(x)|＞σ}的测度|Ω_u|＞σ.事实上，若结论不成立，则存在一列{σ_j}，σ_j→0，u_j∈S_WnZ使得|Ω_uj|≤σ_j.当n→0时，{u_j(x)}依测度收敛于0.因此，存在{u_j}的子列，仍记作{u_j}，使得{u_j}在Ω上几乎处处收敛于0.又由‖u_j‖=1，存在{u_j}的子列(仍记作{u_j})和{u}∈W_n$\oplus$Z，满足{u_j}在L²(Ω)中强收敛于u，{u_j(x)}在Ω上几乎处处收敛于u(x).因此u≡0.然而0＜$\frac{1}{{{\lambda _n}}} \le \int_\mathit{\Omega } {{{\left| u \right|}^2}{\rm{d}}x} $，矛盾.

利用条件(H₂)及性质$f\left( {x, t} \right) \in C\left( {\mathit{\overline \Omega } \times \mathbb{R}, \mathbb{R}} \right)$易知F(x，t)上方有界，即存在常数C_F使得

对∀L＞0，取M=(L+C_F|Ω|)σ^-1，由条件(H₂)知存在常数t_M＞0，使得当|t|＞t_M时有F(x，t)＜-M.又令K＞$\frac{{{t_M}}}{\sigma }$，则

于是$\int_{\left| {Ku} \right|＞{t_M}} {F\left( {x, Ku} \right){\rm{d}}x} \le - M\sigma $，且$\int_{\left| {Ku} \right| \le {t_M}} {F\left( {x, Ku} \right){\rm{d}}x} \le {C_F}\left| \mathit{\Omega } \right|$.因此，对∀L＞0有

根据L的任意性知(16)式成立.

对∀u∈W_n$\oplus$ Z，记u=w+z，其中w∈W_n，z∈Z.取ε₁=λ-λ_k＜$\frac{{{\lambda _{k + m}} - {\lambda _k}}}{2}$，则根据(6)，(8)式及条件(H₂)，有

显然

其中C＞0为某一常数.由(16)式知，存在R^-，使得对∀u∈W_n$\oplus$ Z且‖u‖_X0=R^-时，有

于是

令ε₁＜$\min \left\{ {\frac{{{\lambda _{k + m}} - {\lambda _k}}}{2}, \frac{{2{\lambda _k}}}{{{{\left( {{R^ - }} \right)}^2}}}} \right\}$，则对∀u∈R^-S_WnZ，有J_λ(z)＜D_V成立，即(11)式成立.

若u∈W_n，则z=0.注意到当‖u‖_X0≥R^-时，有$\int_\mathit{\Omega } {F\left( {x, u} \right)} {\rm{d}}x \le {D_V} - C - 1$，所以J_λ(u)＜D_V-1＜D_V，即(12)式成立.

考虑u∈V$\oplus$Z.利用(5)，(6)，(7)式可得

取δ＜$\frac{{\lambda - {\lambda _k}}}{{{\lambda _k}\tau _2^2}}$，则$\frac{{\lambda - {\lambda _k}}}{{{\lambda _k}}} - \delta \tau _2^2$＞0.从而对所有u∈Z$\oplus$V，J_λ(u)有下界，即存在常数D_λ^-(与λ有关)使得(13)式成立.

考虑u∈W_n.利用(5)，(6)，(8)式可得

取δ＜$\frac{{{\lambda _{k + m}} - \lambda }}{{{\lambda _{k + m}}\tau _2^2}}$，则$\frac{{\lambda - {\lambda _{k + m}}}}{{{\lambda _{k + m}}}} + \delta \tau _2^2$＜0.这意味着当u∈W_n且‖u‖_X0→∞时，J_λ(u)→-∞.因此，存在足够大的常数ρ_λ^-＞R^-＞0使得(14)式成立.

令J_λ，n为J_λ限制在子空间E_n上的泛函，即J_λ，n=J_λ|_En.显然，在定理1的假设下，J_λ，n与J_λ在子空间V，Z，W_n上满足相同的估计，即对泛函J_λ，n，引理1中的估计仍成立.下面的引理表明泛函J_λ，n在空间E_n(n＞k+m)上满足(PS)条件(证明将在最后给出)：

引理2  设λ∈(λ_k，λ_k+m).在定理1的条件下，泛函J_λ，n满足(PS)条件，即：假设序列{u_i}⊂E_n使得J_λ，n(u_i)有界，|〈J_λ，n^′(u_i)，ϕ〉|≤${\epsilon _i}$‖ϕ‖_X0对每个ϕ∈成立，其中，当i→∞时${\epsilon _i}$→0.则{u_i}在E_n中有收敛子列.

由引理1和引理2知，对每个n＞k+m，泛函J_λ，n在空间E_n上存在2个鞍点结构的临界点.事实上，在子空间V和Z$\oplus$W_n上，由不等式(10)及(11)确定一个鞍点结构；在子空间V$\oplus$ Z和W_n上，由不等式(13)及(14)也确定一个鞍点结构.因此，存在泛函J_λ，n的临界点${\widetilde u_n}$，${\widetilde v_n}$ ∈E_n，满足：

其中：

引理3  在引理1的条件下，对每个n＞k+m，有d_n^-∈[D_λ^-，D_V]及c_n^-∈[D_V+1，T]，其中T＞0是与n无关的常数.

证  根据d_n^-，c_n^-的定义，d_n^-≥D_λ^-，c_n^-≥D_V+1.定义连续映射${\widetilde \gamma _1}$：ρ_λ^-B_Wn→E_n使得

其中e_k∈Z且‖e_k‖_X0=1.于是，当‖u‖_X0≤R^-时，由(11)式知J_λ，n(${\widetilde \gamma _1}$(u))＜D_V；当R^-≤‖u‖_X0≤ρ_λ^-时，由(12)式知J_λ，n(${\widetilde \gamma _1}$(u))＜D_V.因此，$ \mathop {\sup }\limits_{u \in \rho _\lambda ^ - {B_V}} {J_{\lambda , n}}\left( {{{\widetilde \gamma }_1}\left( u \right)} \right)$＜D_V，这蕴含d_n^-＜D_V.

由于恒等映射属于$\mathit{\widetilde \Gamma }$₁，故c_n^-≤$\mathop {\sup }\limits_{u \in {R^ - }{B_{{W_n}Z}}} {J_{\lambda , n}}\left( u \right)$.设u∈W_n$\oplus $Z，令w∈W_n，z∈Z，使得u=w+z.注意到λ∈(λ_k，λ_k+ε₁)，由(5)，(6)，(7)式和(9)式得

这说明J_λ，n(u)在有界集R^-B_WnZ上关于n上方一致有界.因此，存在与n无关的常数T，使得c_n^-≤T.故

我们还需要下述引理(其证明将在最后给出)：

引理4  假设λ∈(λ_k，λ_k+m)，序列{u_i}⊂X₀(Ω)，使得对每个i∈$\mathbb{N}$，有u_i∈E_i且J_λ，i(u_i)有界，|〈J_λ，i^′(u_i)，ϕ〉|≤${\epsilon _i}$ ‖ϕ‖_X0对每个ϕ∈E_i成立，其中当i→∞时${\epsilon _i}$→0.则{u_i}在X₀(Ω)中有界.

定理1的证明  首先，根据引理3，存在d^-∈[D_λ^-，D_V]及c^-∈[D_V+1，T]，使得当n→∞时，通过取子列，有d_n^-→d^-及c_n^-→c^-.我们断言：存在泛函J_λ的临界点${{\tilde u}_0}$和${{\tilde v}_0}$，满足J_λ(${{\tilde u}_0}$)=c^-和J_λ(${{\tilde v}_0}$)=d^-.事实上，由鞍点定理可知，对每个n＞k+m，有J_λ，n(${{\tilde u}_n}$)=c_n^-以及

由引理4知{${{\tilde u}_n}$}在X₀(Ω)中有界.于是，存在${{\tilde u}_0}$ ∈X₀(Ω)，使得：

固定整数p满足p＞k+m.在(17)式中取ϕ∈E_p，则对任意n＞p，有

对(18)式取极限，得

这表明〈J_λ^′(${{\tilde u}_0}$)，ϕ〉=0对每个ϕ∈E_p成立.因为$\mathop \cup \limits_{p＞k + m} {E_p}$在X₀(Ω)中稠密，因此J_λ^′(${{\tilde u}_0}$)=0，这蕴含${{\tilde u}_0}$为泛函J_λ在X₀(Ω)中的临界点.

接下来，我们证明J_λ(${{\tilde u}_0}$)=c^-.令P_n：X₀(Ω)→span{ϕ₁，…，ϕ_n}为正交投影.于是，P_n(${{\tilde u}_0}$)∈E_n，且当n→∞时，P_n(${{\tilde u}_0}$)→${{\tilde u}_0}$(x∈X₀(Ω)).显然${{\tilde u}_n}$-P_n${{\tilde u}_0}$∈E_n.在(17)式中取ϕ=${{\tilde u}_n}$-P_n${{\tilde u}_0}$，得

注意到${{\tilde u}_n}$-P_n${{\tilde u}_0}$→0(x∈L²(Ω))，且{${{\tilde u}_n}$}在L²(Ω)中关于n一致有界，因此，当n→∞时，$\lambda \int_\mathit{\Omega } {{{\tilde u}_0}\left( {{{\tilde u}_n} - {P_n}{{\tilde u}_0}} \right){\rm{d}}x}$→0.于是，由(19)式得，当n→∞时，〈${{\tilde u}_n}$，${{\tilde u}_n}$-P_n${{\tilde u}_0}$〉_X0→0.故

根据P_n${{\tilde u}_0}$→${{\tilde u}_0}$(x∈X₀(Ω))，及{${{\tilde u}_n}$}在X₀(Ω)中有界知，(20)式中最后一项〈${{\tilde u}_n}$，${{\tilde u}_0} - {P_n}{{\tilde u}_0}$ 〉_X0→0，这蕴含〈${{\tilde u}_n}, {{\tilde u}_n}$ 〉_X0→〈${{\tilde u}_0}, {{\tilde u}_0}$ 〉_X0，即‖${{\tilde u}_n}$ ‖_X0→‖${{\tilde u}_0}$ ‖_X0.结合${{\tilde u}_n} \rightharpoonup {{\tilde u}_0}$ (x∈X₀(Ω))，得${{\tilde u}_n}$ →${{\tilde u}_0}$(x∈X₀(Ω)).因此，J_λ(${{\tilde u}_n}$)→J_λ(${{\tilde u}_0}$)，这表明J_λ(${{\tilde u}_0}$)=c^-.

再次利用鞍点定理得，对每个n＞k+m，存在{${{\tilde v}_n}$}⊂X₀(Ω)，使得J_λ，n(${{\tilde v}_n}$)=d_n^-，〈J_λ，n^′(${{\tilde v}_n}$)，ϕ〉=0(∀ϕ∈E_n).

重复上面的讨论可知，存在${{\tilde v}_0}$∈X₀(Ω)为J_λ的临界点，使得${{\tilde v}_n}$→${{\tilde v}_0}$(x∈X₀(Ω))，且J_λ(${{\tilde v}_0}$)=d^-.因为d^-≤D_V-1＜D_V≤c^-，则${{\tilde u}_0}$≠${{\tilde v}_0}$.

最后，我们给出与紧性有关的两个引理的证明.

引理4的证明  令u_i=v_i+w_i，其中v_i∈V$\oplus $Z，w_i∈W_i.联合(7)，(8)式得

根据(4)式和(6)式知，(21)式的最后两项有如下估计：

和

当n→∞时，J_λ，i^′(u_i)→∞.故当i充分大时，有

因此，结合(21)，(22)和(22)式可知

取

则(24)式蕴含{u_i}有界.

引理2的证明  由引理4的证明过程可知，对固定的n，若{u_i}⊂E_n为(PS)序列，则{u_i}在E_n中有界.注意到dim E_n＜∞，立即可得{u_i}有收敛子列.