Multiplicity of Solutions for Kirchhoff Equation with Concave and Convex Nonlinearities

考虑如下Kirchhoff方程：

其中Ω为$ \mathbb{R} $³中边界光滑的有界开集，且a，b＞0，1＜q＜2，μ＞0.我们记Sobolev空间H₀¹(Ω)中的范数为

L^s(Ω)中的范数为

当1≤s≤6时，嵌入H₀¹(Ω)↺L^s(Ω)是连续的；当1≤s＜6时，嵌入是紧的.此外，最佳Sobolev常数为

由于有b∫_Ω|∇u|²dx这一项，方程(1)被称为非局部问题.众所周知，Kirchhoff型问题起源于文献[1]，作为经典的D′Alembert波动方程在弹性弦的自由振动的推广.文献[2]给出一个泛函分析结构，Kirchhoff型问题逐渐引起人们的关注.据我们查阅的文献显示，文献[3]最先将变分法运用到Kirchhoff型问题中.此后，出现了诸多关于Kirchhoff型问题的优秀结论^{[1-2, 4-9]}.

当N=3时，文献[4-5, 10]研究了Kirchhoff型方程正解的存在性和多重性.文献[10]研究了0＜q＜1时的情形，利用Nehari和Ekeland变分原则的方法，得到了“存在一个仅依赖于a的T₄(a)＞0，当a＞0，0＜λ＜T₄(a)时，方程至少有一个正解”的结论.当b充分小时，文献[4]利用极小作用原理和山路引理的方法，获得了方程(1)的两个正解.文献[5]研究了a=1，q=2时的情形，证得方程(1)具有正的基态解.受到文献[4-6, 10-11]的启发，本文将研究$ \mathbb{R} $³空间中方程(1)多解的存在情况，并得到下面的定理：

定理 1  假设Ω⊂$ \mathbb{R} $³有界，并且a，b＞0，1＜q＜2，则存在μ^*＞0，使得对∀0＜μ＜μ^*，方程(1)有一列解{u_n}，并且φ_μ(u_n)＜0，φ_μ(u_n)→0(n→∞).

我们定义φ_μ(u)为方程(1)对应的能量泛函，即

如果u∈H₀¹(Ω)，且对∀v∈H₀¹(Ω)，都有

则u为方程(1)的弱解.

令X是自反的可分Banach空间，则存在e_i∈X，e_j^*=X^*，使得：

且

令X_j=span{e_j}，于是$ X = \overline {{ \otimes _{j \ge 1}}{X_j}} $.记Y_k=⊕_j=1^kX_j， $ {Z_k} = \overline {{ \oplus _{j \ge k}}{X_j}} $.

引理 1  假设a，b，μ＞0，1＜q＜2，以及$ c < \mathit{\Lambda} - D{ \mu^{\frac{2}{{2 - q}}}} $，则泛函φ_μ满足局部(PS)_c^*条件，其中：

证  取H₀¹(Ω)中的标准正交基(e_j)，并且定义X_j=$ \mathbb{R} $e_j.假设{u_nj}是泛函φ_μ的(PS)_c^*序列，即

现证明{u_nj}在H₀¹(Ω)中有收敛子列.首先，由(3)，(4)式、Hölder不等式以及Sobolev不等式，有

由于1＜q＜2，根据(5)式，可知{u_nj}在H₀¹(Ω)中有界.因此，存在{u_nj}的子列(不妨仍记为{u_nj})以及u∈H₀¹(Ω)，使得

根据第二集中性引理^[12]，我们可以找到一个至多可数的指标集Γ、在$ \mathbb{R} $³中的一个序列{x_k}_k∈Γ，以及{η_k}_k∈Γ，{ν_k}_k∈Γ∈$ \mathbb{R} $₊，使得：

其中δ_xk是在x_k上的Diracdelta函数.接下来，我们证明Γ=∅.假设Γ≠∅，不妨设k∈Γ，对∀ε＞0，设ψ_ε^k∈C₀^∞($ \mathbb{R} $³，[0, 1])满足条件0≤ψ_ε^k≤1，|∇ψ_ε^k|≤C，且：

由于{ψ_ε^ku_nj}在H₀¹(Ω)上有界，我们有〈φ_μ′(u_nj)，ψ_ε^ku_nj〉→0，即

由于{u_nj}在H₀¹(Ω)上有界，并且由Hölder不等式，则存在常数C₁，C₂，C₃＞0，有

从而

由(6)式，我们可知

由(7)式得

由(12)式得

由(10)-(13)式，可推得

和(8)式比较，可得：

(ⅰ) η_k=0；

或

(ⅱ) $ {{\eta }_{k}}\ge \frac{b{{S}^{3}}+S\sqrt{{{b}^{2}}{{S}^{4}}+4aS}}{2} $.

我们证明(ⅱ)不成立.根据文献[13]的引理2.2、Hölder不等式、Sobolev不等式，以及(6)，(7)，(14)式，可得

若(ⅱ)成立，则

为了估计$ \frac{aS}{4}\left| u \right|_{6}^{2}-\mu \left( \frac{1}{q}-\frac{1}{4} \right)|\mathit{\Omega }{{|}^{\frac{6-q}{6}}}\left| u \right|_{6}^{q} $，我们考虑

得到$ \mathop {{\rm{min}}}\limits_{t \ge 0} f\left( t \right) = f({t_1}) = - D{\mu ^{\frac{2}{{2 - q}}}} $，其中：

因此，由(13)-(15)式，可知

故矛盾，所以(ⅱ)不成立，则η_k=0，即Γ=∅.所以我们可得出结论

接下来证明在H₀¹(Ω)中u_nj→u.不妨设$ \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{n_j} \to \infty } {\left\| {{u_{{n_j}}}} \right\|^2} = {d^2} $，则需证‖u‖²=d².事实上，

因此，u_nj→u(x∈H₀¹(Ω)).所以，当$c < \mathit{\Lambda} - D{\mu ^{\frac{2}{{2 - q}}}} $时，泛函φ_μ满足局部(PS)_c^*条件.

定理1的证明  我们将用文献[14]中的对偶喷泉定理证明定理1.下面将证明对∀k≥k₀，存在ρ_k＞γ_k＞0，使得：

$ ({{\rm{B}}_1}) {a_k} = \mathop {{\rm{inf}}}\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| = {\rho _k}} \varphi (u) \ge 0; $

$ ({{\rm{B}}_2}) {b_k} = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{u \in {Y_k}, \left\| u \right\| = {\gamma _k}} \varphi (u) < 0; $

$ ({{\rm{B}}_3})\;{d_k} = \mathop {{\rm{inf}}}\limits_{u \in {Z_k}, {\rm{ }}\left\| u \right\| = {\rho _k}} \to 0, \;k \to \infty . $

事实上，为了证明条件(B₁)，我们定义${\beta _k} = \mathop {{\rm{sup}}}\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| = 1} {\left| u \right|_q} $.由文献[6]的引理3.8，有β_k→0(k→∞).同时存在R＞0，使得

那么当u∈Z_k，‖u‖≤R时，有

取$ {\rho _k} = {\left( {\frac{{4\mu \beta _k^q}}{{aq}}} \right)^{\frac{1}{{2 - q}}}} $，有ρ_k→0(k→∞).所以，存在k₀，当k≥k₀时，使得ρ_k≤R.因此，当u∈Z_k，‖u‖=ρ_k≤R时，有φ_μ(u)≥0.故条件(B₁)成立.

对于条件(B₂)，由于dim Y_k＜∞，所以Y_k上的任意范数等价，则存在常数C₄，C₅＞0，有：

那么对∀u∈Y_k，且‖u‖=γ_k，有

由于μ＞0，C₅＞0，显然，存在充分小的γ_k，使得φ_μ(u)＜0，所以条件(B₂)成立.

对于条件(B₃)，由(16)式，得

又由于β_k→0(k→∞)，存在k₀，当k≥k₀，且u∈Z_k，‖u‖≤ρ_k时，有$ {\varphi _\mu }(u) \ge - \beta _k^q\frac{\mu }{q}\rho _k^q $.故条件(B₃)成立.由引理1知，存在μ^*＞0，使得对每个0＜μ＜μ^*和c＜0，泛函φ_μ满足局部(PS)_c^*条件.定理1证毕.