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本文所考虑的群都为有限群.
众所周知，有限群研究的根本问题就是确定有限群的结构.正规子群与有限群的结构有着非常紧密的联系，而正规化子为子群正规性的一种度量，所以很多群论学家利用某些子群的正规化子研究有限群的结构.例如：文献[1]利用p-子群的正规化子给出了一个群G为p-幂零的判断准则，即群G为p-幂零群当且仅当群G的每一个p-子群的正规化子为p-幂零群；文献[2]证明了一个群幂零当且仅当群G的每个Sylow子群的正规化子幂零；文献[3]给出了一个非常好的幂零群的判断准则，一个群幂零当且仅当对每个素因子p，都有Sylow p-子群的正规化子p-幂零；文献[4]研究了具有极大正规化子的有限群.另外，文献[5]研究了非正规子群的正规化子极大的有限非可解群，并得到这类群的结构，结论如下：
设G为非可解群.若子群H满足条件：
(a) H非次正规；(b) H为p-子群或者为{p，q}-子群，其中p，q互素，NG(H)为G的极大子群.则G=K×S，其中K≈PSL(2，13)或者K≈SL(2，13)，S为交换群，群K的阶和群S的阶互素.
反之，如果G=K×S，其中K，S如上面所述，那么G的每个非正规子群的正规化子均为G的极大子群.
受以上结果的启发，本文将研究两类群.一类为阶被素数p整除的非正规循环p-子群的正规化子皆极大的有限群，为方便我们把这类群叫作NCPM-群.文献[6-7]研究了非正规循环子群的正规化子皆极大的有限群，我们称这类群为NCM-群.首先，我们给出两个例子说明并非所有的NCPM-群都是NCM-群.
例1 如果
$G = \left( {\left\langle a \right\rangle \times \left\langle b \right\rangle \times \left\langle c \right\rangle \times \left\langle d \right\rangle \times \left\langle e \right\rangle } \right) \rtimes\left\langle f \right\rangle $ ，其中$ a, b, c, d$ 均为2阶元，e为7阶元，f为3阶元，且有${a^f} = ab, {b^f} = a, {\rm{ }}{c^f} = cd, {d^f} = c, {e^f} = {e^2} $ ，那么群G为NCPM-群但非NCM-群.证 容易验证群G为NCPM-群.另一方面，
$ {N_G}\left( {\left\langle f \right\rangle } \right) = \left\langle f \right\rangle $ 且$ \left\langle {a, f} \right\rangle = \left( {\left\langle a \right\rangle \times \left\langle b \right\rangle } \right) \rtimes\left\langle f \right\rangle $ 为群G的真子群.所以${N_G}\left( {\left\langle f \right\rangle } \right) $ 不是群G的极大子群，进一步可得G非NCM-群.例2 G=PSL(2，11)为NCPM-群但非NCM-群.
证 易知，对群G的每个偶阶元x，都存在G的子群S，满足x属于S且同构于C6.因为NG(S)同构于D12，而D12为群G的极大子群.故G为NCPM-群.另一方面，存在循环子群U同构于C5，且NG(U)同构于D10.由于D10不是群G的极大子群，我们可知群G不是NCM-群.
另外一类群，我们研究非正规p-子群和{p，q}-子群的正规化子均极大的有限群.文献[5]给出了满足条件的非可解群的情形，所以本文只考虑满足条件的可解群，为方便我们把这类群叫作NHM-群，我们得到了这类群的一些性质.类似的文献还有很多，可参见文献[8-12].文中的符号和术语是标准的，可参见文献[13].
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定义1 设p为群G的阶的素因子.阶被p整除的元素称为pd-元，由群G的pd-元生成的子群称为pd-子群.如果存在G的阶的素因子p，使得群G的所有非正规循环pd-子群的正规化子都为G的极大子群，那么称这类群为NCPM-群.
定义2 设G为有限群.如果群G的所有非正规循环子群的正规化子均极大，则称群G为NCM-群.
引理1 如果M为可解群G的极大子群，则|G: M|为素数方幂.
定理1 设p为群G的阶的素因子，N为群G的正规p′-子群.如果G为NCPM-群，那么G/N也为NCPM-群.
证 若〈x〉N/N为G/N的非正规循环pd-子群，则〈x〉也为G的非正规pd-子群.所以NG(〈x〉)为群G的极大子群.又由NG(〈x〉)N/N≤NG/N(〈x〉N/N)，可得NG/N(〈x〉N/N)为G/N的极大子群.
定理2 设A为群G的非正规循环p-子群.如果G为NCPM-群，那么CG(A)有正规p-补K，且K的每个子群均为NG(A)的正规子群.特别地，如果p为G的阶的最小素因子，那么NG(A)=
$K\rtimes P $ .证 如果A为循环p-子群且CG(A)为p-群，那么CG(A)有正规p-补.如果CG(A)不是p-群，取E≤CG(A)，且E为q-子群，其中q为素数且q不等于p.首先EA定为群G的非正规子群，否则由A char EA
$ \trianglelefteq $ G可得A$ \trianglelefteq $ G，与假设矛盾.注意到，由A char EA$ \trianglelefteq $ NG(EA)可得NG(EA)≤NG(A)，进一步由NG(EA)的极大性得NG(EA)=NG(A).同理，因为E char EA$ \trianglelefteq $ NG(EA)，所以NG(EA)≤NG(E)，则E为NG(A)的正规子群.由E的任意性得，CG(A)有正规p-补K，且K的每个子群均为NG(A)的正规子群.特别地，如果p为G的阶的最小素因子，那么NG(A)/CG(A)为p-子群，所以NG(A)=$K\rtimes P $ .定理3 设p为群G的阶素因子，P为群G的Sylow p-子群.如果群G为可解NCPM-群但非NCM-群，那么：
(ⅰ)Z(G)中没有非平凡p-子群；
(ⅱ)如果p为G的阶的最小素因子，那么对任意群G的p-元素x，都存在元g，使得
${{P}^{g}}\le {{N}_{G}}\left( \langle x\rangle \right) $ .证 (ⅰ) 用反证法证明.设〈x〉为Z(G)中的非平凡p-子群，再设〈y〉为群G的任意非正规循环p′-子群.首先容易得到NG(〈x〉×〈〈y〉)≤NG(〈〈y〉).由NG(〈x〉×〈〈y〉)的极大性可得NG(〈〈y〉)为群G的极大子群.所以G为NCM-群，矛盾.
(ⅱ) 设p为群G的阶的最小素因子，又设存在群G的循环p-子群〈x〉，满足p||G:NG(〈x〉)|.由引理1知，可解群的每一个极大子群的指数均为素数方幂，所以由NG(〈x〉)的极大性可以断定，存在群G的Hall p′-子群T，满足T≤NG(〈x〉).设〈〈y〉≤T为群G的非正规循环子群，由定理2可得NG(〈x〉)≤NG(〈〈y〉).所以又由NG(〈x〉)的极大性可得NG(〈〈y〉)为群G的极大子群.注意到群G的所有Hall p′-子群均在G中共轭，所以对群G的任意非正规循环子群〈z〉，NG(〈z〉)为群G的极大子群.所以群G为NCM-群，矛盾.定理3得证.
定理4 设p为群G的阶的最小素因子，P为群G的Sylow p-子群.如果群G为NCPM-群，且群G既非p-幂零群又非p-闭群，那么
$ {{O}^{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right)=Z\left( G \right)$ .证 因为群G既非p-幂零群又非p-闭群，所以由文献[6]的引理3.2可得G不是NCM-群.由定理3(ⅰ)可得
$Z\left( G \right)\le {{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ .下面我们证明$ {{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right)\le Z\left( G \right)$ .设〈x〉为群P的非正规p-子群.由定理2可得NG(〈x〉)=$K\rtimes S $ .其中K为NG(〈x〉)的Hall p′-子群，S为NG(〈x〉)的Sylow p-子群.如果${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ 不包含在K中，那么${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ 不包含在NG(〈x〉)中.由NG(〈x〉)的极大性可得G=${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ NG(〈x〉)，且G为p-幂零群，矛盾.所以${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ ≤K.进一步可得p-元素x包含在${{C}_{G}}({{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right)) $ 中.由x选取的任意性可得P≤CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ ).再由定理3(ⅱ)可得S≤CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )，故NG(〈x〉)≤CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ ). NG(〈x〉)为群G的极大子群，所以CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )=G或者CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )=NG(〈x〉).如果CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )=NG(〈x〉)，那么由K char CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )$ \trianglelefteq $ G可得K为群G的正规子群.所以K=${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ 并且CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )=${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ ×S.进一步可得S为群G的正规子群，与群G为非p-闭群矛盾.故CG(${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ )=G，且${{O}_{{{p}^{\prime }}}}\left( G \right) $ ≤Z(G).定理5 设p为群G的阶的最小素因子，P为群G的Sylow p-子群.如果群G为NCPM-群但非NCM-群，且群G为p-闭群，那么G=
$P\rtimes T $ ，其中P为交换群，T为群G的Hall p′-子群.进一步有CT(P)为交换群，并且P×CT(P)=CG(P)为群G的极大子群.证 因为P为群G的正规子群，所以由定理3(ⅱ)可得P为Dedekind群.如果P为非交换群，那么P同构于Q8×C2×…×C2.注意到C2≈Q1(P)
$ \trianglelefteq $ G，则Q1(P)为群G的正规循环子群，进一步可得Q1(P)≤Z(G)，与定理3(ⅰ)矛盾.故P为交换群.设G=$P\rtimes T $ ，其中T为群G的Hall p′-子群.由定理2可得，对群G的任意p-元素x，为群G的非正规子群〈x〉，都有NG(〈x〉)=CT(x)×P，且CT(x)为交换群.容易得到NG(〈x〉)≤CG(P).由NG(〈x〉)的极大性，得CG(P)=G或者CG(P)=NG(〈x〉).如果CG(P)=G，那么P≤Z(G)，与定理3(ⅰ)矛盾.所以CG(P)=NG(〈x〉)，进一步可得CT(x)=CT(P).定理6 设p为群G的阶的最小素因子，P为群G的Sylow p-子群.如果群G为NCPM-群但非NCM-群，且群G为p-幂零群，那么G=
$T\rtimes P $ ，其中T为群G的Hall p′-子群.进一步，对任意p-元素x，满足〈x〉为群G的非正规子群，则存在元素g，使得NG(〈x〉)=CT(x)$\rtimes $ Pg为群G的极大子群.证 因为群G为p-幂零群，设G=
$T\rtimes P $ ，其中T为群G的Hall p′-子群.由定理3，对任意群G的p-元素x都存在元g，使得${{P}^{g}}\le {{N}_{G}}\left( \langle x\rangle \right) $ .因此由定理2可得NG(〈x〉)=CT(x)$\rtimes $ Pg为群G的极大子群.
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定义3 如果对群G的非正规p-子群和{p，q}-子群H(其中p和q均为群G阶的素因子)，都有NG(H)为群G的极大子群，那么G被称为NHM-群.
定理7 设A为群G的非正规p-子群.如果G为NHM-群，那么下面结论成立：
(ⅰ) NG(A)/A=T/
$ A\rtimes P$ /A，其中T/A为NG(A)/A的正规p-补，P/A为NG(A)/A的Sylow p-子群，且T/A的每个子群均为NG(A)/A的正规子群；(ⅱ) NG(A)为可解群；
(ⅲ)如果A为循环p-子群，那么CG(A)有正规p-补K，且K的每个子群均为NG(A)的正规子群.特别地，如果p为G的阶的最小素因子，那么NG(A)
$K\rtimes P $ .证 (ⅰ) 如果NG(A)为p-群，那么结论成立.如果NG(A)不是p-群，设B/A为NG(A)/A的任意q-子群，其中q为素数且q不等于p.由A为B的正规Sylow p-子群得A为B的特征子群，所以由A char B
$ \trianglelefteq $ NG(B)得NG(B)≤NG(A).另外B定为G的非正规子群，否则由A char B$ \trianglelefteq $ G得A$ \trianglelefteq $ G，与假设矛盾.故由NG(B)的极大性可得NG(B)=NG(A)，进一步可得B/A为NG(A)/A的正规子群.由B/A取法的任意性得，NG(A)/A的任意Sylow r-子群(其中r为素数且r不等于p)均为NG(A)/A的正规子群.故NG(A)/A有正规p-补T/A，且从上面证明过程可得，T/A的每个子群均为NG(A)/A的正规子群.(ⅱ) 由(ⅰ)可得T/A为Dedekind群，所以T/A为可解群.又由NG(A)/T为可解p-群，可得NG(A)为可解群.
(ⅲ) 类似于定理2的证明，可得结论成立.
定理8 设G为幂零群.如果G为NHM-群，那么下面结论成立：
(ⅰ)群G最多有一个Sylow子群非Dedekind群；
(ⅱ)非Dedekind的Sylow子群定为NHM-群.
证 (ⅰ) 用反证法.假设P和Q分别为群G的Sylow p-子群和Sylow q-子群，并且S为P的非正规子群，T为Q的非正规子群. S×T定为G非正规子群，否则由S char ST
$ \trianglelefteq $ G可得S$ \trianglelefteq $ G，同理可得T$ \trianglelefteq $ G，矛盾.所以由条件知NG(S×T)为G的极大子群.由于NG(S)和NG(T)均为G的极大子群.故由我们得到
因为P≤NG(T)=NG(S)，所以S
$ \trianglelefteq $ P，矛盾.故群G最多有一个Sylow子群非Dedekind群.(ⅱ) 不失一般性，可以假设P非Dedekind群.如果S为P的非正规子群，那么NG(S)为G的极大子群.群G为幂零群，所以|G:NG(S)|=p，进一步，有|P:NP(S)|=p.故P为NHM-群.
定理9 设G为幂零群，H为G的非正规子群.如果群G为NHM-群，那么存在H的某个Sylow子群P满足NG(H)≤NG(P)，且NG(P)为群G的极大子群.特别地，如果H为p-群或者{p，q}-子群，那么NG(H)=NG(P).
证 如果H为p-群，结论显然成立.若H为{p，q}-子群，可设H=P×Q.由于H为G的非正规子群，所以P和Q至少有一个为G的非正规子群.若P为G的非正规子群，Q为G的正规子群，则由NG(P×Q)≤NG(P)∩NG(Q)=NG(P)和NG(P×Q)的极大性可得NG(P×Q)=NG(P).如果P和Q均为G的非正规子群，那么由NG(P×Q)≤NG(P)∩NG(Q)及NG(P×Q)，NG(P)，NG(Q)的极大性可得NG(P×Q)=NG(H)=NG(P).
如果H的阶至少包含3个素因子，且最多有两个Sylow子群为群G的非正规子群，那么类似上面的证明方法可得NG(H)≤NG(P).若H只包含3个非正规Sylow子群，不妨设为P，Q，R，那么
类似于上面证明，由NG(P×Q)，NG(P)，NG(Q)的极大性可得NG(P×Q)=NG(P)=NG(Q)，由NG(P×Q)，NG(R)，NG(Q)的极大性可得NG(P×Q)=NG(Q)=NG(R)，所以NG(P)=NG(Q)=NG(R).又因为
所以NG(H)≤NG(P).
定理10 设p为G的阶的最小素因子.如果G为可解非幂零NHM-群，且存在循环p-子群〈x〉满足p||G:NG(〈x〉)|，那么群G的Hall p′-子群为交换群，且群G的每个非正规p′-子群的正规化子均为G的极大子群.
证 因为群G存在循环p-子群〈x〉，满足p|}G:NG(〈x〉)|，所以由定理7(ⅲ)可得NG(〈x〉)=
$K\rtimes S $ ，其中S为NG(〈x〉)的Sylow p-子群，K为NG(〈x〉)的Hall p′-子群.注意到p||G:NG(〈x〉)|，可知K为群G的Hall p′-子群.再由定理7(ⅲ)可知K为Dedekind群，并且包含在K中的每一个G的非正规子群的正规化子均为G的极大子群.
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