The Number of Conjugate Classes and the Structure of the Group with Order 2³p

群的阶和元素的阶及同阶类等数量性质对有限群的刻画至关重要(文献[1-2]).此外共轭类的个数(文献[3-4])和长度对有限群的结构也有着重要影响，利用这两个量去刻画有限群的结构是近几十年有限群论研究领域的热点问题.对任一n阶群G，其共轭类个数一定不大于n.当阶固定时，同阶群的群结构或多或少有些不同，故n阶群的共轭类个数有一定的存在范围，那么其共轭类个数的下限是多少，以及取得下限的群结构是怎样的？或者我们可以思考：阶固定的群，当其共轭类个数取得其存在范围的下限时，该阶群的群结构是否能被唯一确定？若能，则用共轭类个数去刻画有限群的群结构就有了不一样的视角.本文对2³p(p为奇素数)阶群进行了讨论，给出了其共轭类个数的最小值，并确定了其共轭类个数取得最小值时的群结构.

本文中G_i(i=1，2，…，19)表示2³p(p为奇素数)阶群，k(G_i)表示群G_i的共轭类个数.取x∈G. x^G表示x所在的共轭类，|x^G|表示该共轭类的长度.其他符号都是标准的，可参看文献[3-8].部分方法思路可参看文献[1-2, 9-10].

定理1   对文献[11]的引理1中的G_i(i=1，2，…，19)，其共轭类的个数如表 1所示.

证   观察G_i的群结构可知G₁，G₂，G₁₂为交换群，G₁₈ $ \cong $ S₄，G₃，G₄，…，G₈的群结构相似，G₉，G₁₀，G₁₁的群结构相似，G₁₃，G₁₄，G₁₅的群结构相似，G₁₆，G₁₇，G₁₉的群结构相似.下面分5个步骤分别讨论G_i(i=1，2，…，19)的共轭类个数.

步骤1  计算G₁，G₂，G₁₂，G₁₈的共轭类个数.

已知交换群的中心为其自身，又因每个中心元自成一类，故G₁，G₂，G₁₂的共轭类个数为8p.由文献[4]知S₄的共轭类个数为5，故G₁₈的共轭类个数为5.

步骤2   计算G₃，G₄，…，G₈的共轭类个数.

以G₅为例，设A=〈a〉，则|A|=4p，A$\trianglelefteq $ G₅.由文献[5]知Z(G₅)=〈a²〉为2p阶子群，又因中心元自成一类，故Z(G₅)中元组成2p个共轭类.现取：

因为：

故$ |{{C}_{{{G}_{5}}}}\left( b \right)|=|A|$，于是$|{{b}^{{{G}_{5}}}}|=\frac{8p}{4p}=2 $.又因$\frac{4p-2p}{2}=p $，故A-Z(G₅)中元组成p个长为2的共轭类.另外${{G}_{5}}=A+gA $，gA中有2p个2阶元，2p个4阶元. $ \forall x\in gA$，若x为2阶元，则${{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)\supseteq \left\langle x \right\rangle Z $.而|〈x〉Z|=4p，因此$4p||{{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)| $.又因$ {{C}_{{{G}_{5}}}}\left( x \right)\ne {{G}_{5}}$，故：

故gA中2阶元组成p个共轭类.若x为4阶元，同理：

故gA中4阶元组成p个共轭类.

综上所述，

同理可得G₃，G₄，G₆，G₇，G₈的共轭类个数.

步骤3  计算G₉，G₁₀，G₁₁的共轭类个数.

以G₁₀为例，令A=〈a，b，c〉，则：

又因G₁₀的中心Z=〈a〉×〈b〉为4阶循环群，故G₁₀的中心含4个共轭类，取x∈A-Z，有

因此A-Z中元组成2p-2个共轭类.又因为：

其中2阶元和4阶元分别为2p个.对$\forall y\in gA $，若y为2阶元，则${{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)\supseteq \left\langle y \right\rangle Z $.又因|〈y〉Z|=8，故$ 8||{{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)|$.因为$ {{C}_{{{G}_{10}}}}\left( y \right)\ne {{G}_{10}}$，故$|{{C}_{{{G}_{y}}}}\left( 10 \right)|=8 $.所以gA中2阶元的共轭类个数为2.同理，gA中4阶元的共轭类个数也为2.

综上所述，

同理可得G₉，G₁₁的共轭类个数.

步骤4   计算G₁₃，G₁₄，G₁₅的共轭类个数.

以G₁₅为例，由引理1知：

由文献[12]得G₁₅是以〈a〉为核、〈g〉为补的Frobenius群，所以G₁₅中有p-1个p阶元，p个2阶元，2p个4阶元，p个8阶元.设x为G₁₅中的p阶元，则${{C}_{{{G}_{15}}}}\left( x \right)=\left\langle a \right\rangle $，从而

所以G₁₅中p-1个p阶元组成$\frac{p-1}{8} $个共轭类.设y为G₁₅中的2阶元，则$ |{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( y \right)|=8$ (见文献[13])，所以

所以G₁₅中p个2阶元构成1个共轭类.设z为G₁₅中的4阶元，则$ |{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( z \right)|=8$，从而$ |{{z}^{{{G}_{15}}}}|=\frac{8p}{8}=p$，所以G₁₅中2p个4阶元组成2个共轭类.设w为G₁₅中的8阶元，则$|{{C}_{{{G}_{15}}}}\left( w \right)|=8 $，所以$|{{w}^{{{G}_{15}}}}|=\frac{8p}{8}=p $.所以G₁₅中4p个8阶元构成4个共轭类，G₁₅的中心为1，自成一类.

综上所述，

同理可得G₁₃，G₁₄的共轭类个数.

步骤5   计算G₁₆，G₁₇，G₁₉的共轭类个数.

以G₁₆为例，令A=〈a，b，c〉，A为G₁₆的Sylow-2子群，且为初等交换群. Z(G₁₆)=1，自成一类.因

且|G₁₆:A|为素数，$ {{C}_{{{G}_{16}}}}\left( b \right)\ne {{G}_{16}}$，故：

则A-Z中的7个元组成一个共轭类.又由文献[14]的第三Sylow定理可知G₁₆的Sylow-7子群的个数为8.从而G₁₆中有48个7阶元，此外无其它阶元，令y为其任一7阶元，则：

故7阶元有6个共轭类.

综上所述，

同理可得G₁₇，G₁₉的共轭类个数.

定理2  设G是2³p阶群，则：

(ⅰ)当p=3时，k(G)≥5，且k(G)=5当且仅当G$ \cong $G₁₈；

当p=7时，k(G)≥8，且k(G)=8当且仅当G$ \cong $G₁₆.

(ⅱ)当p≠3，7时，

若p≡3(mod 4)，则k(G)≥2p+3，且k(G)=2p+3当且仅当G$ \cong $G₃，G₄；

若p≡5(mod 8)，则 $k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{2}+7 $ ，且 $ k\left( G \right)=\frac{p-1}{2}+7$ 当且仅当G$ \cong $G₁₃；

若p≡1(mod 8)，则 $k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{8}+8 $ ，且 $ k\left( G \right)=\frac{p-1}{8}+8$ 当且仅当G$ \cong $G₁₅.

证   (ⅰ) p=3时，24阶群有15个，即G₁，G₂，…，G₁₂，G₁₇，G₁₈，G₁₉.又由定理1知，对24阶群G有k(G)≥5，且k(G)=5当且仅当G$ \cong $G₁₈.

p=7时，56阶群有13个，即G₁，G₂，…，G₁₂，G₁₆.又由定理1知，对56阶群G有k(G)≥8，且k(G)=8当且仅当G$ \cong $G₁₆.

(ⅱ) p≠3，7时，考虑p≡1(mod 4)和p≡3(mod 4).因p=4n+1，则当n为偶数时，p≡1(mod 8)；当n为奇数时，p≡5(mod 8).故分以下几种情形：

若p≡3(mod 4)，则8p阶群共有12个，即G₁，G₂，…，G₁₂，于是对8p(p≡3(mod 4))阶群G，有k(G)≥2p+3，且k(G)=2p+3当且仅当G$ \cong $G₃，G₄.

若p≡5(mod 8)，则8p阶群共有14个，即G₁，G₂，…，G₁₄，于是对8p(p≡5(mod 8))阶群G，有$k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{2}+7 $，且$ k\left( G \right)=\frac{p-1}{2}+7$当且仅当G$ \cong $G₁₃.

若p≡1(mod 8)，则8p阶群共有15个，即G₁，G₂，…，G₁₅，于是对8p(p≡1(mod 8))阶群G，有$ k\left( G \right)\ge \frac{p-1}{8}+8$，且$ k\left( G \right)=\frac{p-1}{8}+8$当且仅当G$ \cong $G₁₅.