Generalized Picone's Identity and Its Applications for the Heisenberg-Type Group

文献[8]提出了Heisenberg型群，它是Heisenberg群的推广，是一类与亚椭圆问题相联系的Carnot型群.作为满足Hömander条件的一般向量场的重要模型，Heisenberg型群被更多学者广泛研究，并得到许多重要结果^[9-12].关于Heisenberg型群，在这里作一个简要的叙述，详细内容可参考本文中提到的参考文献.

设G是具有李代数$\mathscr{G}$ =V₁⊕V₂的一个2步Carnot群，且$\mathscr{G}$被赋予內积〈·，·〉，定义映射J：V₂→End(V₁)：

若对任意ξ₂∈V₂，|ξ₂|=1，映射J(ξ₂)：V₁→V₁是正交的，则称G是一个Heisenberg型群，简称H型群.

Heisenberg型群p-退化椭圆算子形为

其中p＞1.

是V₁的一组标准正交基，其中

相应于(4)式的非迷向伸缩为

与此伸缩相应的G的齐次维数是Q=m+2n.

设ξ=(x，y)，$\widetilde{\xi}=(\widetilde{x}, \widetilde{y}) \in G$，在H型群G上得到一个拟距离为

定义中心在ξ，半径为R的拟开球为

令Ω⊂G，Ω是开子集，C₀^k(Ω)表示C^k(Ω)中具有紧支集的函数构成的集合，

D₀^1，p(Ω)(1＜p＜∞)是C₀^∞(Ω)在范数

下的完备化.

下文中，总是假设g满足下列条件：g：(0，∞)→(0，∞)是局部Lipchitz函数，且在(0，∞)上

几乎处处成立.

定理1 (广义Picone恒等式)若1＜p＜∞，Ω⊂G，u，v是Ω上的可微函数，在Ω上几乎处处v＞0，且g满足(6)式，设

则

而且在Ω上，L(u，v)=0几乎处处成立的充要条件是$\nabla_{L}\left(\frac{u}{v}\right)=0$几乎处处成立.

证  经计算，有

得到

因为

并且g(v)满足(6)式，所以

当下面3个等式同时成立时，L(u，v)=R(u，v)：

令

当ξ∈ω时，由(9)式得到

在(7)式中，取g(v)=v^p-1，结合(10)式得

当ξ∈ω^c时，设

由L(u，v)=0，得

从而$\tilde \omega$=1，即

取g(v)=v^p-1，得

综合(11)式和(12)式得到：在Ω上，L(u，v)=0几乎处处成立的充要条件是$\nabla_{{L}}\left(\frac{u}{v}\right)=0$几乎处处成立.

注1   在定理1中，当Ω=G时，结论仍然成立.

注2   在定理1中，取g(v)=v^p-1，u≥0，得到文献[13]中的Picone恒等式.

作为应用，本节首先讨论Hardy不等式.为此需要下面关键性的引理：

引理1   若v∈C¹(G)，在Ω上v＞0，并且满足

其中λ＞0，h是非负连续函数，g满足(6)式，则对于u∈C₀^∞(G)，u≥0，有

证  取ϕ ∈C₀^∞(G)，ϕ ＞0.由注1得

令ϕ →u，就得到(13)式.

利用引理1，取g(v)=v^p-1，容易得到文献[14]中的下列Hardy不等式：

定理2 (Hardy不等式)   设1＜p＜Q，u∈C₀^∞(G\{0})，有

成立，其中Q=m+2n是相应于(5)式的齐次维数.

定理3 (Sturmiam比较原理)   设f₁，f₂是两个权函数，f₁＜f₂，且g满足

若u是方程

的正解，则方程

的任意非平凡解一定改变符号.

证  假设v＞0是方程(14)的解，由广义Picone恒等式，有

矛盾.因此假设错误，即v在Ω上改变符号.

对于下列不确定特征值问题

其中h(ξ)是不确定权函数，利用定理1给出的主特征值的严格单调性结论，g(u)满足(6)式.

定理4 (主特征值的单调性结论)   设λ₁⁺(Ω)＞0是问题(15)的主特征值，若Ω₁⊂Ω₂且Ω₁≠Ω₂，λ₁⁺(Ω₁)与λ₁⁺(Ω₂)都存在，则λ₁⁺(Ω₁)＞λ₁⁺(Ω₂).

证   设u₁，u₂分别是相应于λ₁⁺(Ω₁)，λ₁⁺(Ω₂)的正的特征函数，对于φ∈C₀^∞(Ω₁)，利用定理1，得到

在D₀^1，p(Ω₁)中，令φ→u₁，有

已知

取g(u₁)=u₁^p-1，得到

从而

结合(16)式得到

由已知条件知道

因此

定理5 (Liouville型结果)   若c₀＞0，p＞1，且g满足$g^{\prime}(y) \geqslant(p-1)\left[g(y)^{\frac{p-2}{p-1}}\right]$]，则

在D_Loc^1，p(G)中没有正解.

证   假设v是(17)式的正解，取R＞0，令ϕ₁是相应于第一特征值λ₁(B_R(ξ))的第一特征函数，使得λ₁(B_R(ξ))＜c₀.由文献[15]中的极大值原理知道：$\frac{\phi_{1}^{p}}{g(v)}$可以作为测试函数，且$\frac{\phi_{1}^{p}}{g(v)}$∈D^1，p(B_R(ξ)).因此

从而

矛盾.因此假设错误，即(17)式在D_Loc^1，p(G)中没有正解.

文献[16]讨论了具有奇异项的p-Laplacian方程解的问题，这里利用定理1来讨论这类问题.

定理6 (具有奇异项的拟线性方程组的弱解结论)   若g满足

且(u，v)是下列方程组的一组弱解：

则u=c₁v，其中c₁是常数.

证   设ϕ₁，ϕ₂∈D₀^1，p(Ω)，由方程组(18)有

在(19)，(20)式中取ϕ₁=u，$\phi_{2}=\frac{u^{p}}{g(v)}$，得

从而

因此，由定理1中的R(u，v)＞0，得

即u=c₁v，其中c是常数.