Fuzzy Implication from Fuzzy Negation and Generator and Its Properties

模糊蕴涵作为经典布尔蕴涵的推广，是模糊逻辑系统、模糊控制、模糊决策的基础.模糊蕴涵的构建方法主要有两类：其一是由模糊逻辑连接词(如t模、t余模、copulas函数)及模糊否定构造而成，亦称为(A，N)-蕴涵^[1-2]，如(S，N)-蕴涵^[3-4]、R-蕴涵^[4-5]、QL-蕴涵^[4-6]、(U，N)-蕴涵^[7]、(R，U)-蕴涵^[8]、概率蕴涵^[9]等；其二是由单调函数或已知模糊蕴涵的组合来构造，如f-蕴涵、g-蕴涵^[10]、h-蕴涵^[11-12]、(g，min)-蕴涵^[13]、推广h-蕴涵^[14]、R-序和蕴涵^[15]、e-生成蕴涵^[16]等.受文献[17]中构建semicopulas的方法以及文献[1]中构建模糊蕴涵的方法的启示，本文提出了通过模糊否定和单调连续函数来构造一类新的(A，N)-蕴涵的方法.在该方法中，如果所给的连续单调函数为恒等函数，则只需模糊否定就可构造模糊蕴涵.同时，本文对所得的模糊蕴涵的基本特性，如左单位元性质、序性质、交换原则、恒等原则及逆否对称性进行了探讨.

定义1 ^[4]   对任意的x，x₁，x₂，y，y₁，y₂∈[0, 1]，如果函数I：[0, 1]²→[0, 1]满足下列条件：

(I₁) x₁＜x₂，则I(x₁，y)≥I(x₂，y)；

(I₂) y₁＜y₂，则I(x，y₁)≤I(x，y₂)；

(I₃) I(0，0)=1，I(1，1)=1，I(1，0)=1.

则称I为模糊蕴涵，所有模糊蕴涵构成的集合记成FI.

定义2 ^[4]   模糊蕴涵I满足：

(ⅰ)I(1，y)=y，y∈[0, 1]，则称I具备左单位元性质；

(ⅱ) I(x，I(y，z))= I(y，I(x，z))，x，y，z∈[0, 1]，则称I满足交换原则；

(ⅲ) I(x，x)=1，x∈[0, 1]，则称I满足恒等原则；

(ⅳ) I(x，y)=1$ \Leftrightarrow $x≤y，x，y∈[0, 1]，则称I满足序性质；

(ⅴ) I(x，y)=I(N(y)，N(x))，x，y∈[0, 1]，则称I关于N满足逆否对称性，其中N为模糊否定；

(ⅵ) I(x，N(y))=I(y，N(x))，x，y∈[0, 1]，其中N为模糊否定，则称I关于N满足右逆否对称性；

(ⅶ)如果存在t模T，使得I(T(x，y)，z)=I(x，I(y，z))，x，y，z∈[0, 1]，则称I满足输入律.

定义3 ^[4]  如果函数N：[0, 1]→[0, 1]满足N(0)=1，N(1)=0，且N单调递减，则称N为模糊否定.

定义4 ^[4]  已知模糊否定N，如果对任意的x∈[0, 1]，有N(N(x))=x，则称N为强的.如果N(x)在区间[0, 1]连续且严格单调递减，则称N为严格的.称N(x)=1-x为标准的模糊否定，记作N_C(x).

定理1 ^[4]  模糊否定N为强的当且当存在严格增的连续函数f：[0, 1]→[0，∞)，使得f(0)=0，且N(x)=f^-1(f(1)-f(x))，x∈[0, 1].称函数f为模糊否定N的生成子.

引理1 ^[4]   已知函数I：[0, 1]²→[0, 1]及模糊否定N，如果I具备左单位元性质及关于N的逆否对称性，则N=N_I为强的，其中N_I为I的自然否定，定义为N_I(x)=I(x，0).

定义5 ^[4]   如果函数φ：[0, 1]→[0, 1]连续，严格增并满足边界条件φ(0)=0，φ(1)=1，则称φ为序自同构.记Φ为所有从[0, 1]到[0, 1]的序自同构构成的集合.

定义6 ^[4]   已知φ∈Φ，如果函数f，g：[0, 1]ⁿ→[0, 1]满足g=f_φ，即g(x₁，x₂，…，x_n)=φ^-1(f(φ(x₁)，φ(x₂)，…，φ(x₃)))，则称函数f，g是φ结合的.

由N_I的定义可知，给定模糊蕴涵I，可得N_I.反过来，给定N，如何得到一个模糊蕴涵I?在现有的文献中还未有研究.文献[1]提出了利用模糊否定N构建simicopulas的方法，受此启发，本文构造了一个双变量函数I_N：[0, 1]²→[0, 1]，定义为

易证I_N为模糊蕴涵.如果考虑严格增的连续函数g：[0, 1]→[0，∞)，则可得双变量函数I_g，N：[0, 1]²→[0, 1]，定义如下：

定义7   已知连续函数g：[0, 1]→[0，∞)严格增，且g(0)=0，N为模糊否定.定义双变量函数I_g，N：[0, 1]²→[0, 1]为

称函数g为生成子.

定理2  已知生成子g及模糊否定N，则双变量函数

为模糊蕴涵.

证  直接利用定义1可以证明.

注1    (ⅰ)如果函数g=x，则模糊蕴涵I_g，N可只由模糊否定N构成，即

显然，定义7中所得的模糊蕴涵I_g，N属于(A，N)-模糊蕴涵.事实上，设

显然，A(x，y)为聚合函数，且I_g，N(x，y)=A(N(x)，y).

(ⅱ)如果

则

其中x，y∈[0, 1].易见I_g，N满足交换原则和恒等原则，但是不满足左单位元性质及序性质.

(ⅲ)如果

则

其中x，y∈[0, 1].易见I_g，N交换原则和恒等原则，但是不满足左单位元性质及序性质.

下面主要研究模糊蕴涵I_g，N的基本性质，这些性质主要在模糊否定N为连续(强、严格)的情形下所得.

性质1  模糊蕴涵I_g，N满足左单位元性质当且当g为模糊否定N的生成子，即

证  设x∈[0, 1]，则I_g，N满足左单位元性质$ \Leftrightarrow $I_g，N(1，x)=x$ \Leftrightarrow $g^-1(g(1)-g(N(x)))=x$ \Leftrightarrow $N(x)=g^-1(g(1)-g(x)).

注2   由性质1可知，如果g为模糊否定N的加法生成子，则模糊蕴涵I_g，N的自然否定为N，而且I_g，N可表示为I_g，N(x，y)= min{1，g^-1(g(1)+g(y)-g(x))}，x，y∈[0, 1].

性质2  模糊蕴涵I_g，N满足恒等原则当且当

证   必要性  设I_g，N满足序性质，即对任意的x∈[0, 1]，有I_g，N(x，x)=1.如果

则存在x₀∈(0，1)，使得x₀＜N(x₀)和x₀＜N(N(x₀))，从而

这与I_g，N(x，x)=1矛盾.

充分性  因为{x∈[0, 1]：x＜N(x)}∩{x∈[0, 1]：x＜N(N(x))}=$\emptyset $，则x＜N(x)可推出x≥N(N(x)).如果x满足x＜N(x)，可得

如果x满足x≥N(x)，可得

从而I_g，N满足恒等原则.

性质3  模糊蕴涵I_g，N满足序性质当且当N为强的.

证   必要性  由I_g，N满足序性质，则I_g，N满足恒等原则.由性质2，x＜N(x)可推出x≥N(N(x))，x∈[0, 1].设N不强，则存在x₀∈(0，1)，使得x₀≠N(N(x₀)).

如果x₀＜N(x₀)，则x₀＞N(N(x₀))，且存在y₀∈[0, 1]，使得N(N(x₀))＜y₀＜x₀＜N(x₀)，从而

这与I_g，N满足序性质矛盾.

如果x₀=N(x₀)，则N(x₀)=N(N(x₀))=x₀，矛盾.

如果x₀＞N(x₀)，则N(N(x₀))≥N(x₀)，考虑下面两种情形：

情形1   N(N(x₀))=N(x₀)，则

矛盾.

情形2   N(N(x₀))＞N(x₀)，由恒等原则，N(x₀)≥N(N(N(x₀)))，从上面的证明知N(x₀)＞N(N(N(x₀)))不成立，则N(x₀)=N(N(N(x₀))). x₀与N(N(x₀))比较，只有两种可能，即x₀＞N(N(x₀))或x₀＜N(N(x₀)).

如果x₀＞N(N(x₀))，则存在y₀∈[0, 1]，使得N(N(x₀))＜y₀＜x₀，所以y₀＞N(x₀).因为N(x₀)=N(N(N(x₀)))，则N(y₀)=N(x₀)，但是

矛盾.

如果x₀＜N(N(x₀))，则存在y₀∈[0, 1]，使得x₀＜y₀＜N(N(x₀))，所以y₀＞N(x₀).因为N(x₀)=N(N(N(x₀)))，则N(y₀)=N(x₀)，但是

矛盾.

综上所述，对任意的x∈[0, 1]，有x=N(N(x))，即N为强的.

充分性  设x≤y，因为N为强的，则

反之，当I_g，N(x，y)=1时，如果y≥N(x)，则

所以

从而g(N(x))≥g(N(y))，即x≤y.如果y＜N(x)，同理x≤y.从而I_g，N满足序性质.

推论1  模糊蕴涵(I_g，N)_φ满足序性质当且当N为强的.

性质4   模糊蕴涵I_g，N的自然否定N_Ig，N为强的，且g为其生成子当且当N为强的.

证    N_Ig，N(x)=I_g，N(x，0)=g^-1(g(1)-g(N(N(x))))，如果N为强的，则

因为g：[0, 1]→[0，∞)严格增且连续，则N_Ig，N为强的，g为其生成子.反之，如果N_Ig，N为强的，且g为其生成子，则N_Ig，N(x)=g^-1(g(1)-g(x))，从而

即N为强.

性质5   已知N为连续模糊否定，如果模糊蕴涵I_g，N关于模糊否定N'满足逆否对称性，则N=N'，且N为强的.

证  设x，y∈[0, 1]，因为I_g，N关于N′满足逆否对称性，则

在等式(1)中令y=0，得I_g，N(x，0)=I_g，N(1，N'(x))，即

所以对任意的x∈[0, 1]，有

在等式(1)中令x=1，得I_g，N(1，y)=I_g，N(N'(y)，0)，即

从而得

由(2)，(3)式，可得N(x)=N(N(N(x)))，即N为强的.又由(2)式可得N=N'.

性质6   若模糊否定N为强的，则模糊蕴涵I_g，N只关于N满足逆否对称性.

证   易证I_g，N(N(y)，N(x))=I_g，N(x，y)，再由性质5，可得模糊蕴涵I_g，N只关于N满足逆否对称性.

性质7  若N为连续的模糊否定，则模糊蕴涵I_g，N满足交换原则当且当N为强的，且g为其生成子.

证  必要性  由I_g，N满足交换原则，则

令z=0，y=1，可得

所以有

从而

令

显然，${\tilde N}$为强的，则有

令u=N(N(x))，因为N为连续的模糊否定，则u=N(N (u))，u∈[0, 1].注意到${\tilde N}$ (${\tilde N}$(u))=u，则N=${\tilde N}$，即N为强的，且g为其生成子.

充分性  由g为强模糊否定N的生成子知N(x)=g^-1(g(1)-g(x))，x∈[0, 1]，从而

考虑下面4种情形：

情形1   如果x≤z，y≤z，则I_g，N(y，I_g，N(x，z))=1=I_g，N(x，I_g，N(y，z)).

情形2   如果x≤z，y＞z则I_g，N(y，I_g，N(x，z))=1，因为g(y)-g(z)≥g(1)-g(x)不成立，则I_g，N(x，I_g，N(y，z))=1，所以I_g，N(y，I_g，N(x，z))=I_g，N(x，I_g，N(y，z)).

情形3   如果x＞z，y≤z，同情形2，I_g，N(y，I_g，N(x，z))=I_g，N(x，I_g，N(y，z)).

情形4   如果x＞z，y＞z，显然，I_g，N(y，I_g，N(x，z))=I_g，N(x，I_g，N(y，z)).

由以上讨论，可得I_g，N满足交换原则.

推论2   如果N为强的，且g为其加法生成子，则I_g，N关于其自然否定满足逆否对称性.

推论3   如果N为连续模糊否定，则下列结论等价：

(ⅰ) I_g，N满足交换原则；

(ⅱ) I_g，N为(S，N)-蕴涵，且S为阿基米德t余模S(x，y)=g^-1(min{g(1)，g(x)+g(y)})；

(ⅲ) I_g，N关于t模T满足输入律.

性质8   设g₁，g₂：[0, 1]→[0，∞)为严格增且连续的函数，满足g₁(0)=0，g₂(0)=0，模糊否定N₁，N₂连续，则I_g1，N1=I_g2，N2当且当N₁=N₂且存在常数k＞0，使得g₂=kg₁.

证   类似于文献[18]中命题2.2的证明.

本文提出了利用模糊否定及单调函数构建模糊蕴涵的方法.当单调函数为恒等函数时，则可直接利用模糊否定构造模糊蕴涵.对所给模糊蕴涵的基本特性进行了探讨，并得到了一些结果.对于如何将所得的模糊蕴涵拓展到二值模糊集^[19]或凸vague集环境^[20]是一个值得研究的问题.