Eight Positive Periodic Solutions of a Discrete Lotka-Volterra Predator-Prey System with Discrete Delays

为了后续证明方便，定义：l_ω={0，1，…，ω-1}，$\overline f = \frac{1}{\omega }\sum\limits_{k = 0}^{\omega - 1} {f(k)} $，f(k)是一个定义在$\mathbb{Z}$上的ω-周期实值序列；l₃={x={x(k)}：x(k)∈$\mathbb{R}^3$，k∈$\mathbb{Z}^+ $}；l^ω⊂l₃表示所有ω-周期序列的子空间，范数定义为$\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\| = \mathop {\rm \max }\limits_{k \in {I_\omega }} \left| {\mathit{\boldsymbol{x}}(k)} \right|$，其中，x(k)=x₁(k)，x₂(k)，x₃(k)^T∈l^ω，k∈$\mathbb{Z}$.容易验证，l^ω是一个有限维数的Banach空间.

令

分析可知，$l_0^\omega $和$l_c^\omega $都是l^ω=$l_0^\omega \oplus l_c^\omega $的线性闭子空间，且dim$l_c^\omega $=3.

引理1^[11] L是一个零指标的Fredholm算子，算子N在Ω上是L压缩的.

(a) 对于任意λ∈(0，1)，x是Lx=λNx的任意解，满足x∉∂Ω∩DomL；

(b) 对于任意x∈∂Ω∩KerL，满足QNx≠0；

(c) deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0.

则算子方程Lx=Nx在DomL∩Ω中至少存在一个解.

引理2^[12] 若g：$\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$是一个ω-周期函数，即g(k+ω)=g(k).对于任意k∈$\mathbb{Z}$，任意固定值k₁，k₂∈I_ω，有

或

引理3 对于任意u∈$\mathbb{R}$，满足r₁-a₁₁e^u-h₁e^-u=0，则

其中：

证 该引理的证明过程和参考文献[4]的引理2类似，故在此不再重复.

为了应用引理1分析离散型Lotka-Volterra食饵-捕食者系统的多解性，需作如下假设：

其中：

定理1 若条件(H1)-(H3)成立，则系统(3)至少存在8个ω-正周期解.

证 利用指数变换：x_i(k)=exp(u_i(k))(i=1，2，3)，重新改写系统(3)为：

显然，如果u_i(k)(i=1，2，3)是系统(4)的解，则x_i(k)=exp(u_i(k))(i=1，2，3)一定是系统(3)的解.

设X=Y=l^ω.令算子L：X→X为(Lu)(k)=u(k+1)-u(k)，算子N：X→X为$(N(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ))(k) = \left( \begin{array}{l}{f_1}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\\{f_2}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\\{f_3}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\end{array} \right),\forall \lambda \in (0,1),\forall k \in \mathbb{Z}$，其中

显然，L是一个有界线性算子，KerL=$l_c^\omega $，ImL=$l_0^\omega $，dimKerL=2=codimImL，因此，L是一个零指标的Fredholm算子.

接下来定义：

不难验证P，Q都是连续算子，且

L的逆算子K_P：

因此，

为了找到满足引理1的集合Ω_i(i=1，2，…，8)，考虑方程：Lu=λN(u，λ)，即

接下来，将(5)式左右两边关于k从0到ω-1累加，可得

由等式(5)-(6)，可得

和

由等式(6)的第一个式子，可知${u_1}({\xi _1}) < {\rm ln}\left( {\frac{{{{\overline r }_1}}}{{\overline {{a_{11}}} }}} \right)$，进一步由引理2可知：对于任意k∈$\mathbb{Z}$，有

同理，由等式(6)的第一个式子，可得${u_1}({\eta _1}) > {\rm ln}\left( {\frac{{{{\overline h }_1}}}{{\overline {{r_1}} }}} \right)$，结合引理2可知：对于任意k∈$\mathbb{Z}$，有

因此，对于任意k∈$\mathbb{Z}$，有

由等式(8)和(10)，可得

由等式(6)的第二个式子，可得

即

结合引理2有

进一步分析等式(6)的第二个式子可得

即

从而对于任意k∈$\mathbb{Z}$，有

通过以上分析可知：∀k∈$\mathbb{Z}$，有

由等式(9)和(12)可得

接下来分析等式(6)的第三个式子，有

即

结合引理2，对于任意k∈$\mathbb{Z}$，可得

同理，进一步分析等式(6)的第三个式子可得

即

结合引理2，对于任意k∈$\mathbb{Z}$，可得

通过以上分析可知，对于对于任意k∈$\mathbb{Z}$，有

由等式(6)的第一个式子可得

由引理2，可知

因此

从而

进一步由不等式(16)可得

或

当

时，对任意t∈$\mathbb{Z}$时，有

由条件(H1)不难证明$H_1^ - <L_1^ - <L_1^ + <H_1^ + $.

接下来由等式(6)的第二个式子可得

进一步结合等式(17)和引理2可得

即

由式(18)可得

或

当

时，对于任意t∈$\mathbb{Z}$，有

由条件(H2)容易验证：

同理，分析等式(6)的第三个式子，可得

再结合引理2，得

即

进一步分析不等式(19)得

或

当

时，由引理2可得

由条件(H3)不难验证：

现构造8个不同的集合Ω_i(i=1，2，…，8)：

通过以上的分析过程不难验证Ω_i∩Ω_j=ϕ(i≠j，i，j=1，2，…，8)，且Ω_i(i=1，2，…，8)是空间X的有界开集，显然，集合Ω_i(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(a).

接下来验证引理1的条件(b)是成立的.利用反证法，假设当u∈∂Ω_i∩KerL=∂Ω_i∩$\mathbb{R}^3$(i=1，2，…，8)时，有QN(u，0)=(0，0)^T成立，即对于常向量u=(u₁，u₂，u₃)^T∈∂Ω_i(i=1，2，…，8)，满足下面的代数方程：

由式(20)的第一个式子可得

由引理3可知：

因此u∉∂Ω_i(i=1，2，…，8)，这与u∈∂Ω_i(i=1，2，…，8)矛盾.所以，引理1的条件(b)成立.

最后，验证引理1的条件(c)是成立的.由方程组(20)可得其不同的8个解：

其中：

由引理3，容易验证：

由于KerL=ImQ，令J=I，由Leray-Schauder度的定义直接计算，可得

因此，引理1的条件(c)成立.由以上的分析可知，集合Ω_i(i=1，2，…，8)满足引理1的所有条件.由引理1可知，系统(4)至少存在8个不同的ω-正周期解，即系统(3)至少存在8个不同的ω-正周期解.证毕.