Blow-Up of Solutions to a Nonlocal Parabolic Equation with a Singular Potential

本文主要研究如下带有奇异项的一类非局部抛物方程：

其中Ω是${\mathbb{R}^n}$(n≥3)中具有光滑边界∂Ω的有界区域，Δ是拉普拉斯算子，ν是∂Ω上的外单位法向量.参数p和s满足下列条件

且0≢u₀(x)∈W，其中

近年来，形似问题(1)的非局部抛物方程已经被广泛地研究并应用于不同的领域.其中，文献[1-6]研究了问题(1)中s=0时的特殊情况，即方程

的解的全局存在性、爆破条件、爆破时间估计和全局解的渐进行为等问题.通过使用位势井方法，文献[7-10]探究了方程

的解的全局存在性和爆破性质.类似的，本文主要是研究问题(1)的解的爆破条件.

在本文中用║·║_q来表示L^q(Ω)(1≤q≤+∞)的范数，用║·║_H¹(Ω)来表示H¹(Ω)的范数，即

且

并把问题(1)的解的最大存在时间记为T_max.当参数p，s满足(2)时，空间(W，║·║_H¹(Ω))是一个巴拿赫空间且║▽(·)║₂是║·║_H¹(Ω)的一个等价范数(见文献[11]中的引理3.1).因此可以赋予W一个新的范数

且(W，║·║)仍然是一个巴拿赫空间.

为了更好地展开论述，接下来再介绍一下文献[11]中已有的一些标记：

其中B是最佳嵌入常数.在文献[11]中已经对问题(1)和其解的存在空间W进行了说明，并且对解的全局存在性和爆破性质进行了深入探讨.文献[11]定理2.9给出了问题(1)的解在有限时间内爆破的一个充分条件：如果p，s满足条件(2)，并且初始能量满足

则问题(1)的解u(x，t)就会在有限时间内爆破，其中λ₁是特征值问题

的最小特征值且

那么在此基础上自然就有一个疑问：当$J({u_0}) \ge \frac{{(p - 1){\lambda _1}}}{{2(p + 1)}}\left\| {{{\left| x \right|}^{ - \frac{s}{2}}}{u_0}} \right\|_2^2$时，解是否也会爆破?

本文主要就是针对上述问题展开的讨论，对$J({u_0}) \ge \frac{{(p - 1){\lambda _1}}}{{2(p + 1)}}\left\| {{{\left| x \right|}^{ - \frac{s}{2}}}{u_0}} \right\|_2^2$的条件下解的爆破性质进行了研究，得到的结论如下：

定理1 假设参数p，s满足条件(2)并且u(x，t)是问题(1)的一个非零解，则当初始数据u₀∈W\{λ_*e，-λ_*e}且满足

时，解u(x，t)会在有限时间爆破.其中λ₁的定义如(12)式所示，e为λ₁对应的特征函数且

注1 可对文献[11]和本文的结论总结如下：当参数p，s满足条件(2)且初始数据u₀∈Z时，问题(1)的解是全局存在的；当参数p，s满足条件(2)且初始数据u₀∈V^*时，问题(1)的解是有限时间爆破的.其中集合Z和V^*的定义如(15)式所示.

为了证明定理1，先给出一些准备知识和引理.首先定义一个新的函数：

和一些新的集合：

我们将在下面的引理中证明集合N^*和K都是非空的.

引理1 令E=span{e}.则对任意的ϕ∈E^⊥都存在唯一的λ^*＞0，使得λ^*ϕ∈N^*，且当λ＞λ^*时，λϕ∈$N_ - ^*$；当0＜λ＜λ^*时，λϕ∈$N_ + ^*$.其中

证 对任意的ϕ∈E^⊥和常数λ≥0，定义

由(12)式可得

所以，λ^*是g(λ)=0的唯一正根且当λ∈(0，λ^*)时，g(λ)＞0；当λ∈(λ^*，∞)时，g(λ)＜0.这也就说明了N^*≠Ø且N^*\span{e} ≠Ø.

其次，由文献[7, 12-13]易知，令e为λ₁对应的特征函数，则λ₁可以被特征化为下列形式：

于是有下列引理2.

引理2 记

其中e为λ₁对应的特征函数，则N^*∩N={λ_*e，-λ_*e}.

证 从λ_*的定义不难看出I(λ_*e)=0且I(-λ_*e)=0，即λ_*e∈N，-λ_*e∈N.由(17)式知，${\left\| e \right\|^2} = {\lambda _1}\left\| {{{\left| x \right|}^{ - \frac{s}{2}}}e} \right\|_2^2$.从而

即λ_*e∈N^*∩N，-λ_*e∈N^*∩N.另一方面，对任意的ϕ∈N^*∩N有

和

则由λ₁是简化的和ϕ≠0知，存在0≠λ₀∈$\mathbb{R}$，使得ϕ=λ₀e.又因为ϕ∈N，所以I(ϕ)=I(λ₀e)=0，从而λ₀=λ_*或-λ_*.也就说明了N^*∩N={λ_*e，-λ_*e}.

定理1的证明 要证明定理1，只需要证明当p，s满足条件(2)且u₀∈N^*\{λ_*e，-λ_*e}时，(1)式的解是有限时间爆破的即可.首先，由文献[11]已知

设u₀∈N^*\{λ_*e，-λ_*e}，则由(17)式可得

我们只需要考虑I(u₀)＜0的情况即可.事实上，当I(u₀)=0时，由u₀∈N^*知u₀≠0，从而u₀∈N，即u₀∈N^*∩N，则根据引理2，一定有u₀=λ_*e或u₀=-λ_*e，与u₀的选择相矛盾.

当I(u₀)＜0时，先来说明对任意的t∈[0，T_max)都有I(u(t))＜0.否则，一定存在一个t₀∈(0，T_max)使得I(u(t₀))=0且I(u(t))＜0，t∈[0，t₀).则由(23)式可知$\left\| {{{\left| x \right|}^{ - \frac{s}{2}}}u} \right\|_2^2$在区间[0，t₀)上是严格递增的.进一步由J^*(u)的定义可得

另一方面，因为u₀≠0，所以也有u(t₀)≠0，从而u(t₀)∈N.再由(17)式和(22)式可得

(26) 与(25)式相互矛盾.

再结合(22)和(23)两式，对任意的t∈[0，T_max)可得

又因为J^*(u₀)=0，所以一定存在某个足够小的t^*＞0使得J^*(u(t^*))＜0，即

因此可把u(t^*)看作初始数据，根据文献[11]中的定理2.9便可得到T_max＜∞.综上所述，定理1得证.