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稳定性分析是数学规划理论的基础[1-13]，而含参可行集映射的上、下半连续性又是稳定性分析的关键所在.令
$X \subset {\mathbb{R}^m},\mathit{\boldsymbol{x}} \in X,I = \{ 1,2, \cdots ,p\} $ 为指标集，对任意的i∈I，gi：${\mathbb{R}^m} \times {\mathbb{R}^n} \to \mathbb{R}$ 是实值函数.本文主要讨论下述含参不等式约束集映射(1)的半连续性：若对任意的i∈I，gi在
$\{ \mathit{\boldsymbol{x}}\} \times {\mathbb{R}^n}$ 上均为下半连续函数，则容易证明K在点x处是上半连续的，但K的下半连续性却不易得到.文献[14]研究了下述含参线性不等式约束集映射其中：T是指标集，参数θ属于任意度量空间Θ，at：
$\mathit{\Theta} \to {\mathbb{R}^m}{b_t},\mathit{\Theta} \to \mathbb{R}$ .给出了该含参不等式约束集映射的下半连续性条件.目前少有文章讨论诸如(1)式这种一般约束集映射的半连续性，本文主要讨论在常见的约束规范下参数不等式约束集映射K的下半连续性.
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令
$U \subseteq {\mathbb{R}^m},V \subseteq {\mathbb{R}^n},M:U \to {2^V}$ 为集值映射，M的下半连续性定义如下：定义1[15-16] 假设对任意的x∈U，M(x)为紧集合，若对任意收敛到x的序列{xn}，{xn}∈U，任意的y∈M(x)存在序列{yn}，满足当n→∞时{yn}→y，且当n足够大时有yn∈M(xn)，则称M在点x处是下半连续的.
对任意的x∈X，y∈
$\mathbb{R}^n$ 令下面回顾一些常见的约束规范：
定义2[17] gi(x，y)(i∈I(x，y))关于y是凸的，称Slater约束规范在点x处满足，若存在y，使得gi(x，y)＜0，∀i∈I.
定义3[17] 对于y∈K(x)称Cottle约束规范在点(x，y)满足，若存在向量d∈
$ \mathbb{R}^n$ 满足${\nabla _\mathit{\boldsymbol{y}}}{g_i}{(\mathit{\boldsymbol{\overline x}} ,\mathit{\boldsymbol{\overline y}} )^{\rm T}}\mathit{\boldsymbol{d}}<0,\forall i \in I(\mathit{\boldsymbol{\overline x}} ,\mathit{\boldsymbol{\overline y}} )$ .定义4[17] 对于y∈K(x)称Abadie约束规范在点(x，y)处满足，若CK(x)(y)⊆TK(x)(y).
定义5[17] 称Constraint Rank约束规范在点(x，y)处满足，若存在(x，y)的一个开邻域V，使得对任意指标集I1⊆I(x，y)，
$\{ {\nabla _\mathit{\boldsymbol{y}}}{g_i}(\mathit{\boldsymbol{x}},\mathit{\boldsymbol{y}}):j \in {I_1}\} $ 在V上有相同的秩.
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对于含参可行集映射(1)，文献[18]中有如下定理1.
定理1[18] 假设在x的某邻域内K是一致有界的，对任意i∈I，gi在
$\{\mathit{\boldsymbol{\overline x}} \} \times { \mathbb{R}^n}$ 上均为连续函数，对于任意的x∈X，gi关于y是凸的且在x处满足Slater约束规范，则K在点x处是下半连续的.注1 即使对∀x∈X，gi是关于y的凸函数，Slater约束规范也不是约束集映射满足下半连续性的必要条件，具体例子见例1.
例1 令X=[-100, 0]，Y=(0，10]×(0，10]，x∈X，y=(y1，y2)∈Y.集值映射K(x)定义如下：
简单计算可得K(x)={(y1，y2)∈Y：y1+y2=1-x}.容易验证在任意点x∈X处，参数不等式约束集映射(2)均不满足Slater约束规范.因为对在X中收敛到x的任意序列{xn}和y∈K(x)，存在
${{y_n}} = \left( {\frac{{{y_1}(1 - {x_n})}}{{{y_1} + {y_2}}},\frac{{{y_2}(1 - {x_n})}}{{{y_1} + {y_2}}}} \right)$ ，显然{yn}∈K(xn)且{yn}收敛到y，所以K在点x处下半连续.定理2表明Cottle约束规范可以保证参数不等式约束集映射的下半连续性.
定理2 假设
(ⅰ)对任意的i∈I，gi是X×Y上的连续可微函数，
(ⅱ)对任意的y∈K(x)，参数不等式约束集映射(1)在点(x，y)处满足Cottle约束规范，则K在点x处下半连续.
证 对于在X中收敛到x的任意序列{xn}，以及任意的y∈K(x)，考虑如下两种情形：
(a) 若gi(x，y)＜0，∀i∈I，由gi的连续性可知，对任意收敛到y的序列{yn}，存在N∈
${ \mathbb{Z}_ + }$ ，使得对于∀n＞N，∀i∈I，有gi(xn，yn)＜0，即是yn∈K(xn).(b) 若I(x，y)≠Ø，则y∈K(x)，且对任意i∈I(x，y)，以及任意的z∈
$ \mathbb{R}^n$ 都有如下等式成立：因为参数不等式约束集映射(1)在点(x，y)处满足Cottle约束规范，所以存在z∈
$ \mathbb{R}^n$ 使得因此对
$\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _n} = \sqrt {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_n} - \mathit{\boldsymbol{\overline x}} } \right\|} } \end{array}$ 存在N1∈${ \mathbb{Z}_ + }$ 使得对任意的n＞N1有令
由(a)易知存在N2∈
$ { \mathbb{Z}_ + }$ 使得对任意的n＞N2有所以对任意的n＞max{N1，N2}，有yn∈K(xn).即K在点x处是下半连续的.
注2 Cottle约束规范并不是参数不等式约束集映射满足下半连续性的必要条件，具体实例见例2.
例2 令X=[0，1 000]，x∈X，集值映射K(x)定义如下
容易验证Cottle约束规范在任意点(x，y)，y∈K(x)处均不满足.因为对任意的x∈X，K(x)={0}，所以容易验证K在点x处是下半连续的.
注3 Abadie约束规范和CR约束规范不能保证含参不等式约束集映射(1)的下半连续性，具体实例见例3.
例3 对任意的x∈
$ \mathbb{R}$ 考虑如下参数不等式约束集映射观察可得不等式约束集(3)等价于
简单计算可得，对任意的y∈K(0)={(y1，y2)∈
$ \mathbb{R}$ 2：$y_1^2$ -y2=0}，有因为对任意的d∈CK(0)(y)，α＞0有y2=
$y_1^2$ ，d2=2y1d1且所以d∈TK(0)(y)，即是参数不等式约束集映射(3)在x=0处满足Abadie约束规范.接下来将证明对任意的y∈K(0)，映射(3)在点(0，y)处满足CR约束规范.事实上令
经过简单计算可得
因此容易验证对任意的y∈K(0)，存在(0，y)的一个开邻域，使得对每个指标集I1⊆I(0，y)，{▽ygj(x，y)：j∈I1}在V上有相同的秩.即是对任意y∈K(0)，CR约束规范在点(0，y)处满足.
由图 1不难看出在定点y=(-0.1，0.01)∈K(0)处，对任意收敛到0的序列{xn}，不存在收敛到y的序列{yn}使得当n充分大时，有yn∈K(xn).因此K在0点非下半连续.
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