Adaptive Synchronization of Different Order Chaotic Systems with Uncertain Parameters via the Sliding Mode Method

为了进行稳定性分析，还需要一个必要的引理.

引理1^[15] 自治系统$D_t^q\mathit{\boldsymbol{x}}(<italic>t</italic>) = \mathit{\boldsymbol{Ax}}(<italic>t</italic>),\mathit{\boldsymbol{x}}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{x}}_0}$是渐进稳定的当且仅当

其中：$D_t^q\mathit{\boldsymbol{x}}(<italic>t</italic>)$表示x(t)的Caputo分数阶微分；eig(A)计算矩阵A的特征值；arg(z)计算z在空间中的辐角.

注 本文没有应用分数阶微分的性质进行求解等问题，因此分数阶微分的定义方式对于本文同步方法的结论没有影响，即结论同样适用于Riemann-Liouville，Grunwald-Letnikov和Weyl的定义方式.

驱动和响应系统的数学模型如下：

其中：α，β∈$\mathbb{R}$，x(t)，y(t)∈${\mathbb{R}^n}$，A，B∈${\mathbb{R}^{n \times n}}$，f(x(t))，g(y(t))：${\mathbb{R}_ + } \times {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^n}$分别为系统的阶数、状态变量、参数矩阵和非线性项，而Δf(x(t))，Δg(y(t))∈${\mathbb{R}^n}$是参数的不确定性，D₁(t)，D₂(t)∈${\mathbb{R}^n}$为额外的噪音，u(t)为待设计的控制项.

系统的不确定性和扰动通常比较小，则存在常数γ₁，γ₂，使得

和

令误差为e(t)=y(t)-x(t).只要构造合适的控制器u(t)使得

即说明实现了不同阶系统(2)和(3)间的同步.本文使用两种思想实现了具有不同分数阶数的系统的自适应滑模同步.

由于两个分数阶混沌系统的阶数不同，因此不能通过对两个系统做差得到误差系统.重构系统法的主要思想是以原响应系统为主体，结合驱动系统的输出来构造新的受控响应系统^[12].

其中${\mathit{\boldsymbol{N}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \mathit{\boldsymbol{\dot x}}(t) - D_t^\alpha \mathit{\boldsymbol{x}}(t)}$.

结合驱动系统(2)，得到误差系统

假设驱动系统和响应系统的非线性项满足Lipschitz条件，即存在两个Lipschitz常数使得

其中L_f，L_g为两个正常数.

其中S(t)=(S₁(t)，S₂(t)，…，S_n(t))^T，K∈${\mathbb{R}^{n \times n}}$.

根据滑模具有的性质，当响应系统(4)模动时，满足以下条件

对滑模面(8)求导，有

即

因此需要设计矩阵K使引理1成立，从而实现系统(5)的渐进稳定.

因此令滑模面的达到率为

进而，设计控制器为

其中：r，ρ₁，ρ₂为非负常数；sgn(·)是符号函数；γ₁，γ₂是对未知常数γ₁，γ₂的近似值.控制器(10)满足如下自适应率：

其中k₁，k₂为非负常数.而对于两个Lipschitz常数的近似值L_f，L_g，其自适应率满足：

其中k_f，k_g为非负常数.

因此在控制器(10)条件下，误差系统(5)变为

定理1 对于误差系统(15)，令控制器中的参数为r＞0，ρ₁＞1，ρ₂＞1，δ_f＞1，δ_g＞1.选择矩阵K，满足

则误差系统是渐进稳定的.

证 构造如下Lyapunov函数

求导可得

结合式(8)，(11)，(12)，(13)，(14)，(15)得

化简整理得

则误差系统是稳定的.

重新构造一个受控响应系统的方法在很多情况下并不方便，而且容易造成额外的误差影响.为此我们考虑在原有的受控响应系统中加入驱动系统的输出信号来讨论两个系统的同步问题.

追踪器方法的主要思想是要求受控响应系统的输出y(t)跟踪驱动系统的输出x(t)^[8].由于要实现的是分数阶混沌系统的输出信号的追踪，因此对输出参考信号x(t)采取相应的分数阶微分操作.因此，控制器被设计为

其中U(t)为将要设计的控制器，u(x)是补偿器，且有

则得到分数阶误差系统

其中S(t)=(S₁(t)，S₂(t)，…，S_n(t))^T，K∈${\mathbb{R}^{n \times n}}$控制增益矩阵.

相似的，当响应系统(3)模动时，应满足条件

则有

由(21)式可以得到

因此需要设计矩阵K使引理1成立从而实现系统(19)的渐进稳定.

对应的，设计控制器为

其中r，ρ₁，ρ₂为非负常数，sgn(·)是符号函数.γ₁，γ₂是对未知常数γ₁，γ₂的近似值，自适应率其满足(11)和(12).

在控制器(22)的条件下，误差系统(19)变为

定理2 对于误差系统(23)，控制器中的参数为r＞0，ρ₁＞1，ρ₂＞1.选择满足引理1条件的矩阵K，则误差系统是渐进稳定的.

证 构造如下Lyapunov函数

求导得

结合式(20)，(11)，(12)，(23)得

化简可得

则可知误差系统是稳定的.

当驱动系统和响应系统的非线性项满足Lipschitz条件时，即存在两个Lipschitz常数使得

其中L_f，L_g为两个正常数.

滑模面的设计仍如式(20)所示，设计新的控制器为

其中r，ρ₁，ρ₂，δ_f，δ_g为非负常数，sgn(·)是符号函数.γ₁，γ₂是对未知常数γ₁，γ₂的近似值，其自适应率满足(11)和(12)，而对于两个Lipschitz常数的近似值L_f，L_g，其自适应率满足(13)和(14).

则误差系统(19)变为

定理3 对于误差系统(25)，控制器中的参数为r＞0，ρ₁＞1，ρ₂＞1，δ_f＞1，δ_g＞1.选择使引理1成立的矩阵K，则误差系统是渐进稳定的.

证 构造如下Lyapunov函数

求导得

结合式(11)，(12)，(13)，(14)，(20)，(25)得

化简可得

则误差系统是稳定的.

注 在追踪器中设计分数阶微分，在保留原始分数阶驱动系统拓扑结构的基础上，使得控制器可以直接追踪分数阶驱动系统.这样在设计上进行了简化，避免了转换操作可能产生的计算误差.

选取两个混沌系统进行数值模拟.

选取Chen系统(27)作为驱动系统和Qi系统(28)作为响应系统

其中：$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ \begin{array}{l}\ -a\ \ \ a\ \ \ \ 0\\c - a\ \ c\ \ \ \ \ 0\\\ \ \ \ 0\ \ \ \ \ 0 \ -b\end{array} \right],f(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \left( \begin{array}{l}0\\ - {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_3}\\{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2}\end{array} \right),\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ \begin{array}{l} -{a_1}\ \ {a_1}\ \ \ \ 0\\\ \ {c_1}\ \ \ {d_1}\ \ \ \ 0\\\ \ 0\ \ \ \ \ 0 \ \ -{b_1}\end{array} \right],g(\mathit{\boldsymbol{y}}) = \left( \begin{array}{l}4{\mathit{\boldsymbol{y}}_2}{\mathit{\boldsymbol{y}}_3}\\ - {\mathit{\boldsymbol{y}}_1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_3}\\{\mathit{\boldsymbol{y}}_1}{\mathit{\boldsymbol{y}}_2}\end{array} \right)$，a=35，b=3，c=28，a₁=14，b₁=43，c₁=-1，d₁=16.

定理1和定理2只是证明方法的不同，只做一次数值模拟.阶数分别为α=0.95和β=0.98；系统初值为x₀=(6，2，4)^T和y₀=(-6，-6，2)^T，常数r=2，ρ₁=2，ρ₂=2.5.数值模拟结果为图 1和图 2.

对于定理3，阶数为α=0.95和β=0.98；常数r=2，ρ₁=2，ρ₂=2，δ_f=1.8，δ_g=2；系统初值为x₀=(-4，18，-6)^T和y₀=(2，3，2)^T.数值模拟结果为图 3和图 4.在图 3中，r₁和r₂分别表示系统(27)和(28)中的不确定项，而L₁和L₂表示未知的Lipschitz常数.

本文针对带有不确定参数的不同阶的混沌系统，提出自适应滑模同步准则.采用重构新的受控响应系统和追踪器思想这两种方法，分别构造整数阶和分数阶滑模面来设计自适应控制器.减少计算量的同时避免了建模误差，从而使得系统的同步性更准确.