Direct and Inverse Theorems of Gauss-Weierstrass Operators in Besov Space

关于Guass-Weiersttrass算子的逼近的研究有很多结果^[1-9]，但在Besov空间中对于该算子的研究尚未有人涉及.本文介绍Besov空间的定义及其性质，得出Guass-Weiersttrass算子的正逆定理.

Besov空间∧_p，q^s，s＞0，1≤p，q≤+∞，$ \Lambda_{p, q}^{s}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=\left\{f \in L_{P}^{[s]^{-}}:\|f\|_{\Lambda_{p, q}^{s}}<+\infty\right\}$，其中

规定L_p上D的范数为一般范数，定义在D上的范数为

$ B_{p, q}^{s}=\left(L_{p}, D\right)_{\frac{s}{2}, q}(0<s<2 ; 1 \leqslant p, q \leqslant+\infty)$是L_p与D之间的插值空间.

定义B_p，q^s上的K-泛函为

对于函数空间B_p，q^s与D的插值空间(B_p，q^s，D)_θ，q1(0＜s＜2；0＜θ＜1；1≤p，q，q₁≤+∞)，根据文献[10]有如下的性质：

性质1  对于1≤p，q，q₁>≤+∞，0＜s＜2，0＜θ＜1，有

以下M是与f，n无关的常数，每次出现根据实际情况取值各有所不同.

引理1^[8]  对于1≤p≤+∞，f∈L_p(-∞，+∞)，有‖L_n(f)‖_p≤‖f‖_p.

引理2^[8]  对于1＜p≤+∞，f∈D，有‖L_n(f)-f‖_p≤Mn^-1‖f‖_D.

引理3^[8]  对于1≤p≤+∞，f∈L_p(-∞，+∞)，有‖(L_n(f))^″‖_p≤Mn‖f‖_p.

引理4  对于1≤p≤+∞，f∈D，有‖(L_n(f))^″‖_p≤‖f‖_D.

证  因为

令t=u-x，则

所以

由引理1知

推论1  对于1≤p≤+∞，f∈D，有‖L_n(f)‖_D≤M‖f‖_D.

证  根据D上的范数定义、引理1以及引理4可知

定理1  对于1≤p，q≤+∞，0＜s＜2，f∈B_p，q^s，有

证  由引理1和推论1得

根据文献[10]的有关结论，有

定理2  对于1＜p，q≤+∞，0＜s＜2，f∈D，有

证  由引理2、推论1得

根据文献[10]的有关结论，有

定理3  对于1＜p，q≤+∞，0＜s＜2，f∈B_p，q^s，有

证  由定理1和定理2，得

对两边取$\inf\limits_{g}$，得

定理4  对于1＜p，q≤+∞，0＜s＜2，f∈B_p，q^s，有

证  由推论1，得

所以

由引理3、引理1，得

则

根据文献[10]的相关结论，有

定理5  对于1＜p，q≤+∞，0＜s＜2，f∈B_p，q^s，有

证  对于∀g∈D，由定理4和推论1，得

对两边取$\inf\limits_{g}$

定理6  对于1＜p，q，q₁≤+∞，0＜s＜2，0＜θ＜1，f∈B_p，q^s，有

当q₁=+∞，f∈B_p，q^s时，

即有

证  当1＜q₁＜+∞时，先证(2)的必要性，根据定理3和K-泛函的性质，有

下面证明(2)式的充分性，要证明$f \in\left(B_{p, q}^{s}, D\right)_{\frac{\theta}{2}, q_{1}} $，根据性质1，只需要证明(1)式成立，即

取$ r \in \mathbb{N}$(r待定)，由K-泛函的性质得

对于$k \in \mathbb{N} $，取n_k，使得

根据定理3和K-泛函的定义，可得

记

根据(4)，(7)式可知

要证明(3)式成立，只需证(8)式中的I₁＜+∞，I₂＜+∞，I₃＜+∞.下面先对I₃给予证明，由(5)式以及K-泛函的性质，知

由于之前规定r是待定的，因此，取r使得

取$ r=\left[(2 M)^{\frac{1}{2} \frac{1}{s(1-\theta)}}\right]+1$，根据(9)，(10)式得

讨论I₁，根据(5)，(6)式以及(2)式，得

讨论I₂，当q₁＞1时，令k-m-1=l，根据(5)式得

令$ \frac{1}{q_{1}}+\frac{1}{q_{1}^{\prime}}=1$，利用Hölder不等式、(10)式、交换求和符号，联立(5)，(6)式以及(2)式中的条件，可以推出

其中C=r^sq₁，由(8)，(11)，(12)，(13)，(14)式可得

综上所述，

以上讨论了1＜q₁＜+∞的情况，下面证明q₁=+∞的情况.根据定理3得到(2)式的必要性.所以，只需要论证(2)的充分性.由K-泛函的定义、定理2、定理5，得

取$A \in \mathbb{N} $(A待定)，取t=A^-m-1($m \in \mathbb{N} $)，取n使得

即

则有

取v_m≤A^mθK(f，A^-m；B_p，q^s，D)，(16)式两边同时乘以A^(m+1)θ，得到

因为$ A \in \mathbb{N}$(A待定)，取$ A \in \mathbb{N}$使得8MA^θ-1＜1，即

取

根据(17)式，得

因为

且M是与f，n无关的常数，则v₁＜+∞，即有

又因t=A^-m-1($ m \in \mathbb{N}$)，带入(20)式可以得到