A Class of Maximax (Minimax) Inequalities for Two-Parameter Demi(sub)martingales

设$n, m \in \mathbb{N}^{2} $，n=(n₁，n₂)，m=(m₁，m₂). 如果n_i≤m_i，i=1，2，则称n≤m，如果n_i≤m_i，i=1，2中至少有一个严格小于成立，则称n＜m.

在本文中，用$\left\{X_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $或$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $表示定义在概率空间$ (\Omega, \mathscr{A}, P)$上的双参数随机变量序列. 记X⁺= max{0，X}，I(A)表示集合A的示性函数.

定义1^[1]  设$\left\{X_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一列L^d双参数随机变量，如果对所有的$i, j \in \mathbb{N}^{2}, i \leqslant j $，都有

其中f是任意分量不减函数并且使上述期望有意义，则称$ \left\{X_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱鞅，如果进一步假设f是非负的，那么称$ \left\{X_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是双参数弱下鞅.

近年来，一些学者将单参数弱鞅序列的若干结果推广到了多指标弱(下)鞅的情形，并且给出了多参数弱(下)鞅的一些概率不等式^[1-2]. 很多学者对双参数鞅的概率不等式及相关应用做了广泛研究，并取得了丰硕的成果^[3-7].

本文受文献[1]的启发. 一方面，将文献[3]中单参数弱下鞅的一类极大值不等式推广到双参数弱下鞅的情形，得到了双参数弱下鞅的极大值不等式，另一方面用非负凸函数作用于弱鞅，得到了双参数弱鞅的极大值不等式.

引理1  设$ \left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱(下)鞅，且g是一个不减的凸函数，g(Y_n)∈L¹，n≥1，则$ \left\{g\left(Y_{n}\right), n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱下鞅.

证  由于g(x)是不减凸函数，令

则

且h(x)是非负不减函数. 假定f(x)是任意分量不减的非负函数，则

这里f^*(Y_k，k≤i)=h(Y_i)f(g(Y_k，k≤i))，且f^*是一个任意分量不减的非负函数. 由于$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱(下)鞅，则

所以$ \left\{g\left(Y_{n}\right), n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱下鞅.

定理1  设$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱下鞅，且当k₁k₂=0时Y_k=0，这里k=(k₁，k₂). 假定$\left\{c_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是正的不减数列，则对任意的ε＞0，有

证  设$A=\left\{\underset{(i, j) \leqslant\left(n_{1}, n_{2}\right)}{\max } c_{i j} Y_{i j} \geqslant \varepsilon\right\} $，A_1j={c_1jY_1j≥ε}，A_ij={c_rjY_rj＜ε，1≤r＜i； c_ijY_ij≥ε}，2≤i≤n₁，1≤j≤n₂，则$A=\underset{(i, j) \leqslant\left(n_{1}, n_{2}\right)}{\cup} A_{i j} $.

这里$A_{1 j} \cap A_{2 j}=\varnothing, \boldsymbol{I}_{A_{2 j}}=\boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j}}-\boldsymbol{I}_{A_{1 j}} $.

令$g(x)=x^{+}, h(y)=\lim \limits_{x \rightarrow y^{-}}\left(x^{+}-y^{+}\right) /(x-y) $，则g(y)-g(x)≥ h(x)(y-x)，g和h是非负不减函数，同时由双参数弱下鞅的性质可得

所以

这里$A_{1 j} \cap A_{2 j} \cap A_{3 j}=\varnothing, \boldsymbol{I}_{A_{3 j}}=\boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j} \cup A_{3 j}}-\boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j}} $. 由于g是一个凸函数，$ \left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱下鞅，所以有

这里$h\left(Y_{2 j}\right) \boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j}} $是一个关于{Y_1j，Y_2j}分量不减的非负函数. 那么有

重复上述证明过程可得

同样地，$ h\left(Y_{2 j}\right) \boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j} \cup \cdots \cup A_{n_{1}-1, j}}$是关于{Y_1j，Y_2j，…，Y_n1-1，j}分量不减的非负函数，再次利用双参数弱下鞅的性质可得

所以

同理可得

综合(1)，(2)式结论得证.

推论1  设$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱下鞅，g是一个不减凸函数，$ g\left(Y_{n}\right) \in L^{1}, n \in \mathbb{N}^{2}$，且当k₁k₂=0时Y_k=0，这里k=(k₁，k₂). 假定$\left\{c_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是正的不减数列，则对任意的ε＞0，有

证  由引理1可知$\left\{g\left(Y_{n}\right), n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱下鞅，再直接利用定理1可知结论成立.

若在定理1中取c_ij≡1，则有下面的推论.

推论2  设{Y_n，n≥1}是一个双参数弱(下)鞅，且当k₁k₂=0时Y_k=0，这里k=(k₁，k₂). 则对任意的ε＞0，有

定理2  设$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱鞅，g是一个非负凸函数，$ g\left(Y_{n}\right) \in L^{1}, n \in \mathbb{N}^{2}$，且当k₁k₂=0时g(Y_k)=0. 假定$\left\{c_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是正的不减数列，则对任意的ε＞0，有

证  令u(x)=g(x)I(x≥0)，v(x)=g(x)I(x＜0)，则u(x)是一个非负不减凸函数，v(x)是一个非负不增凸函数，且g(x)=u(x)+v(x)=max(u(x)，v(x))，则

由推论1可知

设$ A = \left\{ {\mathop {\max }\limits_{(i, j) \le {{\left( {{n_1}, {n_2}} \right)}^2}} {c_{ij}}v\left( {{Y_{ij}}} \right) \ge \varepsilon } \right\}$，A_1j={c_1jv(Y_1j)≥ε}， A_ij={c_rjv(Y_rj)＜ε，1≤r＜i；c_ijv(Y_ij)≥ε}，2≤i≤n₁，1≤j≤n₂，则$A = \mathop \cup \limits_{(i, j) \le \left( {{n_1}, {n_2}} \right)} {A_{ij}} $，且当i≠j时，${A_{1j}} \cap {A_{2j}} = \varnothing $. 因此有

这里$\boldsymbol{I}_{A_{2 j}}=\boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup_{A_{2 j}}}-\boldsymbol{I}_{A_{1 j}}$.

由于v(x)是凸函数，令

则v(x)-v(y)≥(x-y)h(x)，故

再由双参数弱鞅的性质可得

此处h是非正不减函数，I_A1j是分量不增的非负函数，所以h(Y_1j)I_A1j是关于Y_1j的分量不减函数. 因此有

这里$A_{1 j} \cap A_{2 j} \cap A_{3 j}=\varnothing, \boldsymbol{I}_{A_{3 j}}=\boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j} \cup A_{3 j}}-\boldsymbol{I}_{A_{1 j}} \cup_{A_{2 j}} $，且g是一个凸函数，$ \left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱鞅，因此有

这里$h\left(Y_{2 j}\right) \boldsymbol{I}_{A_{1 j}} \cup_{A_{2 j}} $是一个关于{Y_1j，Y_2j}分量不减的函数. 那么有

重复上述证明过程可得

同样地，$ h\left(Y_{2 j}\right) \boldsymbol{I}_{A_{1 j} \cup A_{2 j} \cup \ldots \cup A_{n_{1}-1, j}}$是关于{Y_1j，Y_2j，…，Y_n1-1，j}分量不减的函数，再次利用双参数弱鞅的性质可得

因此可得

从而有

所以由(3)，(4)式可得

同理

因此结论得证.

若在定理2中取g(x)=x⁺，则有下面的推论.

推论3  设$ \left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\}$是一个双参数弱鞅，$\left\{c_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是正的不减数列，则对任意的ε＞0，有

若在定理2中取g(x)=|x|，再令c_ij≡1则有下面的推论.

推论4  设$\left\{Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{2}\right\} $是一个双参数弱鞅，则对任意的ε＞0，有