-
设{Xn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量序列，其共同的分布函数为F(x)，X1，n≤…≤Xn，n为X1，…，Xn的顺序统计量. 若对非退化分布函数G(x)，存在规范化常数an＞0，
$b_{n} \in \mathbb{R} $ ，对一切G(x)的连续点有成立，则称F属于G的吸引场，记为F∈D(G). 文献[1-2]证明G(x)的形式必为
极值理论的应用非常广泛，比如在自然灾害、巨额保险赔付以及其他领域如水文学或工程中的罕见事件都时常用到. 形状参数γ被称作极值指数(EVI)，它衡量右尾函数
$\bar{F}(x):=1-F(x) $ 的尾部性质. 当分布函数未知时，对极值指数γ的估计是极值理论的重要组成部分. 因此，对于极值指数γ的估计受到学者的广泛关注[3-8].在本文中，我们针对极值指数γ＞0的分布函数进行研究，这种分布函数也称作重尾分布函数. 如果1-F是指数为
$ -\frac{1}{\gamma}$ 的正则变换(记为$1-F \in R V_{-\frac{1}{\gamma}} $ )，即则称分布函数F是重尾分布函数.
对于极值指数的研究，前人已经得到较好的结论. 当γ＞0时，文献[3]提出了著名的的Hill估计量. 而作为Hill估计的一个推广，文献[9]提出了如下定义的调和矩估计
其中1≤k≤n-1且β＞0是调谐参数.
本文受文献[9]中估计量的启发，提出定义如下的一类关于重尾极值指数的新估计
其中β1≠β2是调谐参数β的两个取值，且
当序列k=k(n)→∞满足
$ \frac{k}{n} \rightarrow 0$ ，此时容易得到$ \tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)$ 的弱相合性. 此外，存在A(t)使得当t→∞成立时，我们考虑
$ \tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)$ 的渐近性质，其中ρ＜0是二阶参数且|A(t)|∈RVρ(参见文献[10]，推论2.3.5).
HTML
-
在下文中，我们假设F∈D(G)，γ＞0，这等价于
$U:=\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)^{ \leftarrow } $ 是指数为γ的正则变换(记为U∈RVγ)，其中F←(x)：=inf{y：F(y)≥x}是F的广义逆函数.F∈D(G)当且仅当
对所有x＞0和某些正可测函数a(t)成立. 注意，如果γ=0，则(4)式的右边为lnx.
为简化定理的表示，本文规定以下记号：
下面给出本文的主要结果.
定理1假设条件(4)成立，序列{k(n)}满足k=k(n)→∞，
$\frac{k(n)}{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $ . 则此外，若二阶条件(3)成立，且存在
$ \lambda \in \mathbb{R}$ 使得则对
$\beta_{1}>1-\frac{1}{2 \gamma}, \beta_{2}>1-\frac{1}{2 \gamma} $ ，有其中
Vβ1，β2(γ)如(5)定义.
下面考虑序列k的最优选择，寻找使
$\widetilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k) $ 的均方误差$\operatorname{MSE}_{\infty}\left(\tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)\right) $ 可以达到最小的k.定理2 1) 假设条件(3)对ρ＜0成立，中间序列{k0(n)}表示使
$\operatorname{MSE}_{\infty}\left(\tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)\right)=A^{2}\left(\frac{n}{k}\right) \mu^{2}+\frac{\sigma^{2}}{k} $ 达到最小的序列.则
此外，
其中s←是s∈RV2ρ-1的广义逆函数，且
2) 假设A(t)=C tρ，则1)中的k0为
其中└x┘表示不超过x的最大整数. 此外，
且
-
设Y1，Y2，…，Yn是独立同分布的标准Pareto随机变量序列，其共同的分布函数为
$ 1-\frac{1}{y}$ ，y≥1，Y1，n≤Y2，n≤…≤Yn，n表示Y1，Y2，…，Yn的顺序统计量. 易知$\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{n} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{U\left(Y_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n} $ ，且$ \left\{\frac{Y_{n-i, n}}{Y_{n-k, n}}\right\}_{i=0}^{k-1} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{Y_{k-i, k}\right\}_{i=0}^{k-1}$ .下面对本文的主要结果进行证明.
定理1的证明 由二阶条件可得
因此
故
当a＜1时，
$\mathrm{E}\left(Y^{a}\right)=\frac{1}{1-a} $ ，当$a<\frac{1}{2} $ 时，$\operatorname{var}\left(Y^{a}\right)=\frac{a^{2}}{(1-a)^{2}(1-2 a)}=: \sigma_{a}^{2} $ ：σa2且当a＜1，a+b＜1时那么对于
$ \beta>1-\frac{1}{2 \gamma}$ ，当n→∞时其中N(0，1)表示标准正态分布. 由Pn(β)的定义可得
那么
从而
现定义
设fk(t)表示Qn(β1，β2)(k)的特征函数. 由Pn(β)的表达式，有
其中
$\beta_{1}>1-\frac{1}{2 \gamma}, \beta_{2}>1-\frac{1}{2 \gamma} $ ，Vβ1，β2(γ)如前定义.因此
若存在
$\lambda \in \mathbb{R} $ 满足$\sqrt{k} A\left(\frac{n}{k}\right) \rightarrow \lambda $ ，则当n→∞时其中
设
由于
故现在利用映射g(θ)来构造一个关于γ的估计量. 应用Delta方法，可得
其中μ，σ2如前定义.
定理2的证明 类似文献[10]中的定理可得结果.
DownLoad: