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慢性丙型肝炎病毒(HCV)感染在全球影响约1.3亿至1.5亿人，是肝硬化和肝癌的主要原因[1]. 干扰素和利巴韦林的治疗只能使不到50%的患者消除病毒[2]. 为了提高HCV的治愈率，新治疗方案集中在直接抗病毒药物(DAAs)的开发上. 为了研究DAAs治疗的效果，科学家们开发并改进了区分和量化丙肝病毒RNA正链和负链的新方法. 一些考虑丙肝病毒RNA正链和负链的动力学模型被构建出来研究DAAs治疗下的丙肝病毒动力学性态. 特别地，文献[3-5]考虑了DAAs治疗对丙肝病毒RNA正链动力学性态的影响；文献[6]同时考虑了丙肝病毒RNA的正链和负链，但其没有区分RNA正链分别用于翻译和复制的情况；文献[7]中的模型同时考虑了丙肝病毒RNA的正链和负链，并区分了用于翻译和复制的RNA正链，但其常微分方程模型没有考虑DAAs治疗，同时对相关模型的理论分析还非常不完整. 基于上述分析，本文在文献[7]模型的基础上结合DAAs治疗得到如下动力学模型：
其中：Rt表示用于翻译的丙肝病毒RNA正链的数量；Rc，Rm分别表示复制复合物中用于复制的丙肝病毒RNA正链、负链的数量；μt是Rt的自然衰退率，Rc与Rm的自然衰退率均是μc；Rc可以从复制复合物和膜质网中穿出到细胞质中，以θ速率变为Rt；Rt从细胞质进入膜质网并与复制复合物的蛋白质相互作用，并以σ的速率变为Rc；Rc和Rt可以组装进入病毒粒子中，并以ρ的速率分泌出病毒粒子；在复制复合物中，Rm可以通过最大速率r复制Rc形成，Rc以速率α通过复制Rm形成；εs表示药物治疗对病毒分泌的影响，εα表示药物治疗对Rc的影响，εr表示药物治疗对Rm的影响，εi=1(i=s，α，r)对应于100%有效的药物，εi=0(i=s，α，r)对应于完全无效的药物，所以一般假设0＜εi＜1(i=s，α，r)；kt表示药物治疗改变Rt降解速率的效果，kc表示药物治疗改变Rc与Rm降解速率的效果，一般假设ki≥1(i=t，c). 假定宿主因子限制RNA负链的复制，因此当达到最大数量Rmax时，复制按照logistic生长定律减慢.
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依据模型生物意义，我们给定系统(1)非负初始条件：
定理1 对于给定的初始条件(2)，系统(1)的所有解都是非负的，且在
$ \mathbb{R}_{+}^{3}$ 中最终有界.证 首先证明系统(1)解的非负性. 假设在某一时刻t1，某个变量率先取到0，其余变量为正，不妨设Rt(t1)=0，Rc(t1)＞0，Rm(t1)＞0. 则由系统(1)的第1个方程可得：
知Rt将恢复正性.
假设在某一时刻t2，某2个变量率先取到0，其余变量为正，不妨设Rt(t2)=Rm(t2)=0，Rc(t2)＞0. 则由系统(1)的第2个方程可得：
假设在某一时刻t3＞t2，有Rc首次取到0，即Rc(t3)=0. 则由系统(1)可得：
从而Rt，Rm将恢复正性.
假设在某一时刻t4，3个变量同时取到0，即Rt(t4)=Rm(t4)=Rc(t4)=0，此时有
显然Rt，Rm，Rc将一直为0. 重复上述证明过程，可得系统(1)解的非负性.
下面证明系统的耗散性. 由解的非负性及系统(1)第3个方程易知：
将系统(1)第1个方程和第2个方程相加可得：
进而由解的非负性可以得到：
其中d=min{ktμt，kcμc}. 再由比较原理可得：
从而系统的耗散性得证. 定理证毕.
由定理1的证明，可以得到系统(1)存在如下不变区域：
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易见系统(1)总是存在边界平衡点E0(0，0，0). 计算可得基本再生数
$R_{0}=\frac{b \theta \sigma+s m w}{b m n} $ ，其中m=σ+(1-εs)ρ+ktμt，s=(1-εα)α，n=θ+(1-εs)ρ+kcμc，w=(1-εr)r，b=kcμc. 则由简单计算可知当R0＞1时，系统(1)存在唯一的正平衡点E*(Rt*，Rc*，Rm*)，其中对于相关平衡点的局部稳定性，我们有如下定理：
定理2 (i)当R0＜1时，边界平衡点E0(0，0，0)局部渐近稳定；
(ii) 当R0＞1时，正平衡点E*(Rt*，Rc*，Rm*)局部渐近稳定.
证 (i)系统(1)在E0处的特征方程为
其中
注意到θ＜n，σ＜m，可得mn-θσ＞0. 同时当R0＜1时，有bn-ws＞0. 从而易知ai＞0，i=1，2，3. 进一步计算可得：
再次由mn-θσ＞0，bn-ws＞0，可得a1a2-a3＞0. 从而根据Routh-Hurwitz稳定性判据可知，当R0＜1时，特征方程(4)的所有根均具有负实部，从而知边界平衡点E0(0，0，0)是局部渐近稳定的.
(ii) 系统(1)在E*处的特征方程为
其中
易知bi＞0，i=1，2，3. 进一步计算可得：
由mn-θσ＞0，可知b1b2-b3＞0. 从而根据Routh-Hurwitz稳定性判据可知，当R0＞1时，特征方程(5)的所有根均具有负实部，从而知正平衡点E*(Rt*，Rc*，Rm*)局部渐近稳定. 定理证毕.
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定理3 (i)当R0＜1时，边界平衡点E0(0，0，0)全局渐近稳定；
(ii) 当R0＞1时，正平衡点E*(Rt*，Rc*，Rm*)全局渐近稳定.
证 (i)根据上述定理1和定理2，只需证明平衡点的全局吸引性. 构造如下Lyapunov函数：
对函数V1(t)沿系统(1)的解求导可得
当R0＜1时，易见
$\frac{\mathrm{d} V_{1}(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 $ 且$\frac{\mathrm{d} V_{1}(t)}{\mathrm{d} t}=0 $ 仅当Rc=0时成立. 将Rc=0代入系统(1)第1个方程和第3个方程，可以得到Rt→0及Rm→0. 从而由Lyapunov-LaSalle不变原理可知，当R0＜1时，无病平衡点E0(0，0，0)全局吸引，从而全局渐近稳定.(ii) 令g(x)=x-1-lnx(x＞0). 构造如下Lyapunov函数：
对函数V2(t)沿系统(1)正解求导，并利用正平衡点E*满足的等式可得：
注意到当x＞0时，g(x)≥g(1)=0. 由此可知当R0＞1时
$\frac{\mathrm{d} V_{2}(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 $ ，且$\frac{\mathrm{d} V_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=0 $ 仅当Rt=Rt*，Rm=Rm*及Rc=Rc*时成立. 从而根据Lyapunov-LaSalle不变原理，当R0＞1时，正平衡点E*(Rt*，Rc*，Rm*)是全局渐近稳定的.理论研究表明，系统(1)的全局动力学性态完全由基本再生数R0决定，从而为了研究DAAs治疗对疾病控制的影响，只需知道DAAs治疗各参数对R0的影响. 特别地，由R0的如下表达式
可知当通过DAAs治疗使得治疗相关参数εs增大时，即减小分泌病毒的速率时，会使得R0增大，此时可能会增加细胞内病毒RNA的浓度；当使得相关参数εα，εr，kt，kc增大时，即减小Rc与Rm之间的复制速率以及增大Rt，Rc与Rm的降解速率时，会使得R0减小，从而有利于疾病控制.
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为了探究DAAs治疗对丙肝病毒RNA动力学性态的影响，取定一组参数ρ=0.1，θ=1.2，σ=0.1，μt=24，μc=1.05，α=30，r=3.18，Rmax=100，kt=kc=1，使εs，εα，εr作为控制参数而变化. 当εs=εα=εr=0.01时，可以计算出基本再生数R0=37.911 5，此时系统(1)存在平衡点Rt*=61.177 3，Rc*=1 233.690 2，Rm*=97.367 7且是全局渐近稳定的(图 1(a))，可见此时治疗效果不佳；当εs=0.998，εα=0.99，εr=0.37时，可以计算出基本再生数R0=0.256 6，知系统(1)的边界平衡点是全局渐近稳定的(图 1(b))，Rt，Rc，Rm最终趋于零，说明此时采取的治疗十分有效. 由此可见，系统(1)可以用来研究DAAs治疗抑制丙肝病毒复制的效果.
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