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趋化行为是细胞沿化学物质浓度高的方向作的一种定向运动，其研究在胚胎发育、血管生成及种群动力学行为等方面具有重要意义. 文献[1]建立了经典的生物趋化模型，主要用于刻画细胞对趋化—交叉扩散产生的奇异性反应的集体行为. 在过去的几十年中，经典的Keller-Segel模型解的存在性、唯一性、爆破行为及渐近行为等问题的研究得到了越来越多学者的关注，取得了大量的研究成果[2-6]. 最简单的Keller-Segel模型(记作KS模型)如下：
KS模型解的性质(全局有界性或爆破行为)强依赖于空间维数：在空间维数d=1时，文献[6]证明了KS模型解的全局有界性；在空间维数d=2时，文献[7-9]证明了存在临界指数现象，若细胞的初始质量
$ \int_{\varOmega} u(x, 0) \mathrm{d} x<4 {\rm{ \mathsf{ π}}}$ ，则KS模型的解全局有界，若$\int_{\varOmega} u(x, 0) \mathrm{d} x>4 {\rm{ \mathsf{ π}}} $ ，则KS模型存在解在有限时间爆破；在空间维数d≥3时，文献[10]证明了当初值$\left\|u_{0}\right\|_{L^{\frac{2}{d}}} $ 足够小时，KS模型的解全局有界，$\left\|u_{0}\right\|_{L^{\frac{2}{d}}} $ 足够大时，解在有限时间内爆破. 事实上，关于KS模型的研究到目前为止并不完善，还有很多需要解决的问题. 考虑到KS模型的临界指数现象，文献[11]考虑具有非线性扩散的KS模型(d≥2)，在扩散函数足够大时，证明了生物趋化系统弱解的全局有界性，其研究的非线性扩散的生物趋化模型如下：KS模型中的化学物质由细胞直接产生，不同于该化学物质产生模式，文献[12]提出间接信号产出的生物趋化模型，用于刻画山松甲壳虫的扩散和聚集行为. 关于间接信号产生的生物趋化模型，主要集中研究带有Logistic源的情形，具体结果可以参考文献[13-15]. 特别需要提到的是，文献[15]考虑具有拟线性扩散的生物模型，其研究的拟线性扩散的生物趋化模型如下[15]：
文献[15]证明了当d≥3，μ＞0，δ＞0和τ＞0且
$p>1-\frac{4}{d} $ 时，生物趋化模型整体解的一致有界性. 在上述研究的启发下，本文主要研究如下具有非线性扩散的间接信号产生的生物趋化模型(不带有Logistic源)：其中：
$\varOmega \subset \mathbb{R}^{d}$ (空间维数d≥2)表示光滑有界区域，υ表示边界∂Ω单位外法线方向；初值条件(u0，v0，w0)满足u0≠0，非负且适当光滑；扩散系数D(u)≥D0up且$ p>1-\frac{4}{d}$ ，D0＞0；u(x，t)表示飞行的甲壳虫的密度，v(x，t)表示甲壳虫信息素的浓度，w(x，t)表示筑巢的甲壳虫密度，不同于经典的KS模型，甲虫信息素是由筑巢的甲壳虫产生，致使飞行中的甲壳虫产生趋化行为，该甲虫信息素对筑巢的甲壳虫无任何作用. 本文通过类似于文献[11]中的方法来考虑不带有Logistic源的情形，主要得到以下结论：定理1 设
$\varOmega \subset \mathbb{R}^{d} $ (空间维数d≥2) 为具有C2边界的有界开区域，初值条件$ u_{0} \in W^{1, \bar{p}}(\varOmega), v_{0} \in W^{1, \infty}(\varOmega) $ 和$ w_{0} \in L^{\infty}(\varOmega)$ ，其中p＞d. 扩散系数D(u)为具有C2光滑性的非减函数，且对任意的u≥0，有D(u)≥D0up，其中$D_{0}>0, p>2-\frac{4}{d} $ . 那么，生物趋化模型(2)存在非负弱解(u，v，w)且一致有界.注1 关于生物趋化模型(2)的弱解的定义可参考文献[11]中定义1类似定义，本文略.
注2 当山松甲壳虫的随机布朗运动足够强烈时，即山松甲壳虫的扩散强度超过甲虫信息素对其的趋化吸引作用，那么这个松林中山松甲壳虫不会存在大量聚集现象，不会对加拿大短叶松等松林造成了巨大的破坏. 如何增大山松甲壳虫的扩散运动，可能对于未来松林的保护具有重要的意义.
定理2 设D(u)是具有C2光滑的非减函数，趋化模型(2)存在弱解且v∈L∞(0，T；W2，∞(Ω))，则趋化模型(2)的解必唯一.
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引理1[16] 设v0∈W1，∞，对所有t∈(0，T)，都有‖w(t)‖Lq(Ω)≤C，那么对任意t∈(0，T)和q∈[1，d)可得
其中
若q=d，则对于任意的s＜+∞，都有(3)式成立；若q＞d，则有‖v(t)‖W1，∞≤C.
此外，考虑到扩散系数D(u)可能具有奇异性，先考虑其正则性的趋化模型：
其中Dσ(u)=D(u+σ)且σ＞0，利用文献[17]中Amann理论容易证明其局部适定性. 接下来，先证明趋化系统(5)的解的全局适定性，主要有如下引理.
引理2 设d≥2，
$p>2-\frac{4}{d} $ ，若对∀t∈(0，T)，有其中
$ q_{0} \in\left[\max (1, p), \min \left(p+\frac{2}{d}, d\right)\right]$ 和C是常数，则有(i)
$\|w(t)\|_{L^{q_{0}}} \leqslant C $ 和$\|\nabla v(t)\|_{L^{s_{0}}} \leqslant C $ ，其中$s_{0}<\frac{d q_{0}}{d-q_{0}} $ .(ii) 若d＞2且p＜d-2，则对于任意的
$ q<\frac{d}{d-2} p$ ，都有$\left\|u_{\varepsilon}(t)\right\|_{L^{q}(\varOmega)} \leqslant C(q) $ .(iii) 若d=2或p＞d-2，则对于任意的q＜∞，都有
$\left\|u_{\varepsilon}(t)\right\|_{L^{q}(\varOmega)} \leqslant C(q) $ .证 (i)对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘wq0-1，然后在Ω上积分可得
进一步，对(6)式的右端的最后一项用Young不等式可得
因为u的Lq0范数有界，则联合(6)和(7)式可知
其中C是常数，即可知
最后，利用引理1可知
$ \|\nabla v(t)\|_{L^{s_{0}}} \leqslant C$ 成立.(ii) 对于任意的q＞q0，设uε=u+ε，其中ε∈(0，σ]，对趋化模型(5)的第一个方程两边同乘uεq-1，然后在Ω上积分可得
因为
那么由Young不等式可知
和
另一方面，对于∀ε＞0，有
进而可知
现在，令
$g=u_{\varepsilon}^{\frac{p+q}{2}} $ ，则有首先假设q＜p+q0，则对(9)式右边的积分用Hölder不等式可知
进一步，取
$ q_{0}<q<p+\frac{2}{d} q_{0}$ ，$ 1 \leqslant s<\min \left(\frac{d q_{0}}{d-q_{0}}, \frac{2 q_{0}}{p-q+q_{0}}\right)$ ，因为d≥3，可设$s<\frac{2 d}{d-2} $ . 又因为$\|\nabla v\|_{L^{s}(\varOmega)} \leqslant C $ ，则由Gagliardo-Nirenberg不等式可知其中b∈(0，1). 由于-Δ是D到L2(Ω)的同构映射(证明见文献[16])，其中
那么，由Young不等式可知
整理可得
其中C是常数.
接下来，对趋化系统(5)的第二个方程两边同乘-Δv，然后在Ω上积分可得
由Young不等式可知
最后，整理可得
对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘w，然后在Ω上积分可得
由Young不等式可得
整理得
联合不等式(11)-(13)可知
接下来，关键之处在于处理
$\int_{\varOmega} u_{\varepsilon }^{2} \mathrm{~d} x $ . 下面分为两种情况进行讨论：1) 在p+q＞2时，由Poincare不等式得
2) 若p+q≤2，选取
$n \in\left(\frac{2 d}{p+q}-d, \min \left(\frac{2 q_{0}}{p+q}, \frac{4}{p+q}\right)\right) $ . 因为d≥3，可设$n<\frac{2 d}{d-2} $ . 则由Gagliardo-Nirenberg不等式可知其中
$ a=\frac{\frac{d}{n}-\frac{d(p+q)}{4}}{1-\frac{d}{2}+\frac{d}{n}}<\frac{p+q}{2}$ 等价于$n>\frac{2 d}{p+q}-d $ .进一步，因为
$ \|g\|_{L^{n}(\varOmega)}$ 有界和$\frac{4 a}{p+q}<2 $ ，则由Poincare不等式可得综上所述可得
现在，联合不等式(14)和(15)可得
其中C(q)表示仅依赖于q的常数. 此外，还有
和
这样就可以得到
其中C和
$\mathop C\limits^ \wedge $ 是常数. 那么，对所有的t∈(0，T)，由Gronwall不等式可知其中C表示仅依赖于q的常数与时间无关.
综合上述过程，在
$q_{0} \in\left[\max (1, p), \min \left(p+\frac{2}{d}, d\right)\right] $ 和$p>2-\frac{4}{d} $ 满足时，则对可知(17)式成立.
当q1≥d，则由引理1可知，对于任意的l＜+∞，都有
$ \|\nabla v(t)\|_{L^{l}} \leqslant C$ ，易知(9)式右边有界和(16)式成立，那么对所有的q=q2＜p+q1，亦可知(16)式成立. 然后，用q2替换(10)中的q0，对所有的q＜2p+q1，都有(17)式成立. 重复上述过程k次，可知对于任意大的k，对所有的q＜kp+q1，使得(17)式成立. 因此，若q1≥d，对所有的q＜+∞，可得(17)式成立.如果q1＜d，用q1替换(10)中q0，则有
$ $ 都有(17)式成立，依次类推，可知对所有$ $ ，可得(17)式成立. 最后，若存在某个k使得qk≥d，那么根据上述证明可知，对所有的q＜+∞，有(17)式成立. 如若不然，则对所有k都有qk＜d成立. 则序列$ $ 必存在上极限$ $ . 因此，对每个q＜d都有(17)式成立. 因为q＜d，所以p＜d-2.(iii) 从上述证明可知，若d=2或p＞d-2，对所有的q＜+∞，可得(17)式成立.
接下来，可以利用文献[11]引理3证明得到引理3，利用文献[18]引理4.1证明得到引理4.
引理3[11] 假设定理1中所有条件成立，则
引理4[18] 设Ω⊂Rd(d≥1)是具有C1边界的有界的开区域，假设m＞0，um＞0，对∀u≥um，使得D(u)≥m. 如果0＜t＜T，
$\|\nabla v(t)\|_{L^{\infty}} \leqslant C_{1} $ ，对0＜t＜T，可得其中C1，C2和C3都是正数.
最后，类似于文献[11]的证明方法，由σ的任意性，可知解的收敛性. 此外，上述推导出的所有估计值均不依赖于T，因此趋化系统(2)弱解有界性是全局的，可知定理1成立.
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本节利用能量方法来证明定理2即生物趋化模型(2)解的唯一性，主要证明过程如下.
定理2证明 设方程(2)有两个满足初边值条件的解(u1，v1，w1)和(u2，v2，w2)，现令(u，v，w)=(u1-u2，v1-v2，w1-w2)和ψ满足
则可知
其中X′(u)=D(u). 对模型(21)的前两个方程分别乘ψ，v并在ΩT上积分得
进而可得
接下来，对(23)的右边用Cauchy不等式得
和
此外可知
其中
进一步由方程(20)可知
$\|\nabla \psi(0)\|_{L^{2}(\varOmega)}=0 $ . 进而可得：最后可得
其中C是常数. 因此，方程(24)等价于
则由Gronwall's不等式可知，对所有t∈(0，T)且T＞0，ψ(t)=u(t)=v(t)=0，进而有w(t)=0，即唯一性得证.
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