Weighted End-point Estimates of Toeplitz-Type Operators Related to Singular Integral Operator with Rough Kernels

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设t＞0，a_t(x，y)为$\mathbb{R} $ⁿ×$\mathbb{R} $ⁿ上的函数，满足

其中σ为(0，∞)上非负有界的递减函数，并且存在ε＞0，使得

设f∈L^p($\mathbb{R} $ⁿ)(p≥1)，恒等逼近D_t定义为

定义1   设T为L²($\mathbb{R} $ⁿ)上的有界线性算子，并且存在K(x，y)，使得对每个具有紧支集的连续函数f，有

并且满足

(a) 存在恒等逼近{B_t：t＞0}和常数c₁，c₂＞0，使得T$\circ$B_t的核函数k_t(x，y)满足

(b) 存在恒等逼近{A_t：t＞0}和常数c₃，c₄＞0，以及δ＞0，使得A_t$\circ$T的核函数K_t(x，y)满足

和

则称T为粗糙核的奇异积分算子.

奇异积分及其交换子已被广泛研究^[1-5]. 文献[6]证明了分数次奇异积分算子的L^p($\mathbb{R} $ⁿ)有界性. 关于粗糙核奇异积分算子和变量核的分数次积分算子更多的研究结果可参见文献[7-10]. 文献[11]给出了关于粗糙核奇异积分的Toeplitz算子从Lebesgue空间到Orlicz空间的有界性. 关于Toeplitz-型算子的更多结论可见文献[12-13]. 本文的主要目的是给出关于上面粗糙核奇异积分的Toeplitz-型算子的加权端点估计.

T为定义1中的粗糙核奇异积分，b为$\mathbb{R} $ⁿ上的局部可积函数，与T相关的Toeplitz-型算子定义为

其中T^k，1为T或±I(I为恒等算子)，T^k，2为线性算子(k=1，…，m)，M_b(f)=bf.

用p′表示p的共轭指标，即$\frac{1}{p} + \frac{1}{{{p^\prime }}} = 1, \; {f_Q} = \frac{1}{{|Q|}}\int_Q f (x){\rm{d}}x.\; {A_p}(1 < p < \infty)$权^[14]的定义为

A₁权的定义为

给定$\mathbb{R} $ⁿ中的方体Q和局部可积函数b，由文献[14]有

定义2   令{A_t：t＞0}为恒等逼近，ω为权函数，

(a) 关于{A_t：t＞0}的加权BMO空间定义为

其中，ω(Q)=∫_Qω(x)dx，t_Q=l(Q)²，l(Q)为方体Q的边长.

(b) 关于{A_t：t＞0}的加权中心CMO空间定义为

其中，Q(0，r)表示中心为0边长为r的方体，t_Q=r².

定义3  设1＜p＜∞，ω是权函数，空间B_p(ω)定义为

最近，文献[15]研究了多线性分数次奇异积分在Herz空间和Herz-型Hardy空间上的端点估计. 本文的主要结果如下：

定理1   设T是粗糙核的奇异积分算子，T^k，2是L^∞(ω)上的有界线性算子，ω∈A₁. 如果对于任意的g∈L^r($\mathbb{R} $ⁿ)(1＜r＜∞)，都有T₁(g)=0，那么当b∈BMO($\mathbb{R} $ⁿ)时，T_b是从L^∞(ω)到BMO_A(ω)的有界算子.

定理2   设T是粗糙核的奇异积分算子，1＜p＜∞，T^k，2是B_p(ω)上的有界线性算子，ω∈A₁. 如果对于任意的g∈L^r($\mathbb{R} $ⁿ)(1＜r＜∞)，都有T₁(g)=0，那么当b∈CMO($\mathbb{R} $ⁿ)时，T_b是从B_p(ω)到CMO_A(ω)的有界算子.

引理1^[14]   设ω∈A_p，p≥1，则对$\mathbb{R} $ⁿ中的任意方体Q，存在一个绝对常数C＞0，使得

引理2^[14]  设0＜p＜q＜∞，1r=1p-1q，对f≥0，记

则

引理3^{[7, 16]}   粗糙核奇异积分算子T是(p，p)-型的和弱(1，1)-型的，其中1＜p＜∞.

引理4^[16]  设T是粗糙核奇异积分，ω∈A₁，1＜p＜∞，则‖Tf‖_L^p(ω)≤C‖f‖_L^p(ω).

定理1的证明  只需证：对于任意的方体Q，存在常数C＞0，成立

不失一般性，假设T^k，1为T(k=1，…，m). 固定方体Q=Q(x₀，d)，注意到T₁(g)=0，有

则

其中t_Q=(l(Q))²，l(Q)表示Q的边长.

对于I₁，因为ω∈A₁，则ω满足反向Hölder不等式

其中1＜q＜∞. 根据引理1和引理4，有

下面估计I₂.

由T的L^p($\mathbb{R} $ⁿ)有界性得

对于J₂，注意到当x∈Q，y∈2^j+1Q^jQ时，有|x-y|≤2^j-1t_Q，则

因此

由于

所以

结合J₁，J₂的估计，得出

最后估计I₃. 注意到当x∈Q，y∈$\mathbb{R} $ⁿ\2Q时，有|x-y|~|x₀-y|，由K的条件有

至此，就完成了定理1的证明.

定理2的证明  不失一般性，假设T^k，1为T(k=1，…，m). 对任意的方体Q=Q(0，d)，类似于定理1的证明，记t_Q=d²，有

对L₁，由引理4和Hölder不等式，对于任意的t＞1，有

下面估计L₂.

对任意的s＞0，取1＜q＜p，则$\omega \in A_{1} \subset A_{\frac{p}{q}}$，由T的弱(L¹，L¹)有界性和引理2，有

取$\frac{p}{q}>\nu>1$，则ω∈A_pνq，由Hölder不等式和引理3，得

由于

所以

结合M₁，M₂的估计，就有

最后对L₃做出估计. 由于

因此，对任意的1＜m＜p，由Hölder不等式，有

故得到了L₃≤C‖f‖_Bp(ω)‖b‖_CMO.

至此，定理2证毕.