Boundedness of the Variation Operators Associated with High-Order Schrödinger-Type Operators on the Herz-Type Spaces

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$\mathbb{R}$ⁿ上的Herz-型空间和奇异积分算子及其交换子有界性的问题自20世纪90年代中后期以来得到了迅猛发展^[1-9]. 微分算子的空间理论和奇异积分算子理论在21世纪取得了丰硕的成果，与微分算子相关的变分算子也受到了许多学者的关注^[10-16]. 最近，文献[17]讨论了$\mathbb{R}$ⁿ(n≥5)上的与高阶Schrödinger-型算子相关的一类变分算子在L^q($\mathbb{R}$ⁿ)空间的有界性问题，并得到了这类变分算子在一类与微分算子相关的Morrey空间上的有界性.

对于这类与高阶Schrödinger-型算子$\mathscr{L}$生成的热半群相关的变分算子在函数空间上有界性的研究，我们的目的主要是建立此类变分算子在Herz-型空间上的有界性.

设非负位势V属于反向Hölder类RH_q，q＞$q>\frac{n}{2}$. $\mathbb{R}$ⁿ(n≥5)上的微分算子$\mathscr{L}$=(-Δ)²+V²称为高阶Schrödinger-型算子，其中Δ是调和算子. 由算子$\mathscr{L}$生成的热半群e^{-t$\mathscr{L}$}定义为

这里热半群e^{-t$\mathscr{L}$}的核$\mathscr{B}$_t(x，y)满足(其中C和c₁为常数)

定义1^[17]   设{t_i}_{i∈$\mathbb{N}$}是正的单调减的趋于0的数列，令ρ＞2，与高阶Schrödinger-型算子$\mathscr{L}$生成的热半群相关的变分算子定义为

这里的上确界取遍所有正的单调减的趋于0的数列{t_i}_{i∈$\mathbb{N}$}.

定义

引理1^[18]   设$V \in R H_{\frac{n}{2}}$($\mathbb{R}$ⁿ)，则存在常数C和k₀＞1，使得对于所有的x，y∈$\mathbb{R}$ⁿ，有

特别地，当|x-y|＜Cγ(x)时，γ(x)~γ(y).

引理2^[17]   对任意N∈$\mathbb{N} $，存在正常数C，c₂和c₃，使得对所有x，y∈$\mathbb{R}$ⁿ和0＜t＜∞，有：

(ⅰ) |$\mathscr{B}$_t(x，y)|$ \le C{t^{ - \frac{n}{4}}}{\left({1 + \frac{{\sqrt t }}{{{\gamma ^2}(x)}} + \frac{{\sqrt t }}{{{\gamma ^2}(y)}}} \right)^{ - N}}{{\rm{e}}^{ - {c_2}|x - y{|^{\frac{4}{3}}}{t^{ - \frac{1}{3}}}}}$；

(ⅱ) |$\frac{\partial }{{\partial t}}$$\mathscr{B}$_t(x，y)|$ \le C{t^{ - \frac{n}{4} - 1}}{\left({1 + \frac{{\sqrt t }}{{{\gamma ^2}(x)}} + \frac{{\sqrt t }}{{{\gamma ^2}(y)}}} \right)^{ - N}}{{\rm{e}}^{ - {c_3}|x - y{|^{\frac{4}{3}}}{t^{ - \frac{1}{3}}}}}$.

引理3^[17]   设V∈RH_q0($\mathbb{R}$ⁿ)，其中$q_{0} \in\left(\frac{n}{2}, \infty\right)$，n≥5，则对于ρ＞2，存在常数C＞0，使得

对于整数k，记B_k={x∈$\mathbb{R}$ⁿ：|x-x₀|＜2^k}，C_k=B_k\B_k-1，χ_k=χ_Ck. 有关齐型Herz空间以及齐型Herz-型Hardy空间的概念和主要结论如下：

定义2^[2]   令-∞＜α＜∞，0＜p＜∞，0＜q≤∞. 则空间$\mathbb{R}$ⁿ上的齐型Herz空间$\dot{K}_{q}^{\alpha, p}$($\mathbb{R}$ⁿ)定义为

其中

齐型Herz-Hardy空间定义为

其中$Gf(x) = \mathop {\sup }\limits_{\varphi \in {A_N}} \left| {\varphi _\nabla ^*(f)} \right|$，而$A_{N}=\left\{\varphi \in S\left(\mathbb{R}^{n}\right): \sup\limits_{|\alpha|, |\beta| \leqslant N}\left|x^{\alpha} D^{\beta} \varphi(x)\right| \leqslant 1\right\}, N>n$.

定义3^[2]  令$1 < q < \infty, n\left(1-\frac{1}{q}\right) \leqslant \alpha < \infty, s \geqslant\left[\alpha+n\left(1-\frac{1}{q}\right)\right]$，[·]表示取整函数. 若$\mathbb{R}$ⁿ上的函数a(x)满足以下条件：

(ⅰ) supp a⊂B(x₀，r)，r＞0；

(ⅱ) ‖a‖_{L^q($\mathbb{R}$ⁿ)}≤|B(x₀，r)|^{$-\frac{\alpha}{n}$}；

(ⅲ) ∫x^σa(x)dx=0，|σ|≤s.

则称a(x)为中心(α，q)-原子.

引理4^[2]  设1＜q＜∞，0＜p＜∞，令$n\left(1-\frac{1}{q}\right) \leqslant \alpha<\infty$. 则$f \in H \dot{K}_{q}^{\alpha, p}$($\mathbb{R}$ⁿ)当且仅当存在原子列a_j和数列{λ_j}，使得$f = \sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\lambda _j}} {a_j}$，且$\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\lambda _j}} \right|}^p}} < \infty $，其中a_j是支在球B_j上的中心(α，q)-原子. 进一步有

这里的下确界取遍f的所有分解.

定义4^[3]设α∈$\mathbb{R}$，0＜p＜∞，1＜q＜∞，0≤λ＜∞，$\mathbb{R}$ⁿ上的齐型Morrey-Herz空间$M \dot{K}_{p, q}^{\alpha, \lambda}$定义为

其中

定理1  设V_ρ(e^{-t$\mathscr{L}$})是与高阶Schrödinger-型算子$\mathscr{L}$相关的由(2)式定义的变分算子，令0＜p＜∞，1＜q＜∞. 若V∈RH_q0($\mathbb{R}$ⁿ)，其中$q_{0} \in\left(\frac{n}{2}, \infty\right)$，n≥5，ρ＞2，则存在N∈N，使得当$n\left({1 - \frac{1}{q}} \right) \le \alpha < N + n\left({1 - \frac{1}{q}} \right)$时，变分算子V_ρ(e^{-t$\mathscr{L}$})是从Herz-Hardy空间$H\dot K_q^{\alpha, p}$($\mathbb{R}$ⁿ)到Herz空间$\dot K_q^{\alpha, p}$_q($\mathbb{R}$ⁿ)的有界算子.

定理2   设V_ρ(e^{-t$\mathscr{L}$})是与高阶Schrödinger-型算子$\mathscr{L}$相关的由(2)式定义的变分算子，令0＜p＜∞，1＜q＜∞，0＜λ＜∞. 若V∈RH_q0($\mathbb{R}$ⁿ)，其中$q_{0} \in\left(\frac{n}{2}, \infty\right)$，n≥5，ρ＞2，则当α＜λ+$n\left(1-\frac{1}{q}\right)$时，变分算子V_ρ(e^{-t$\mathscr{L}$})是$M\dot K_{p, q}^{\alpha, \lambda }$($\mathbb{R}$ⁿ)上的有界算子.

定理1的证明   对任意f∈$H\dot K_q^{\alpha, p}$($\mathbb{R}$ⁿ)，由原子分解理论知，存在原子列{a_j}和数列{λ_j}，使得

其中a_j是中心(α，q)-原子，supp a_j⊂B_j，且

则

对于I₂，分为0＜p≤1和1＜p＜∞两种情况进行讨论：

当0＜p≤1时，由引理3、Jensen不等式以及原子的大小条件，有

当1＜p＜∞时，由引理3、Hölder不等式和原子的大小条件，可得

对于I₁，注意到j≤l+2，x∈C_l，y∈B_j，则x∈$\mathbb{R}$ⁿB_j，|x-y|≥$\frac{1}{2}$|x-x₀|. 因此，分成|x-x₀|≤γ(x₀)和|x-x₀|＞γ(x₀)两种情况讨论.

当|x-x₀|≤γ(x₀)时，由引理2知

所以，由Hölder不等式以及原子的大小条件，得

从而

取$N_{1}>\alpha-n\left(1-\frac{1}{q}\right)$，则当0＜p≤1时，由Jensen不等式有

当1＜p＜∞时，由Hölder不等式可得

当|x-x₀|＞γ(x₀)时，由定义1和引理2，并应用(3)式，得

其中$N_{3}=\left[\frac{N_{2}\left(k_{0}-1\right)}{k_{0}+1}\right]$.

选择适当的N₂，N₄为同一个N，使得(6)式和(7)式同时成立，且$N>\alpha-n\left(1-\frac{1}{q}\right)$，则有

同理，可以得到

因此

至此，完成了定理1的证明.

定理2的证明  对任意f∈$M\dot K_{p, q}^{\alpha, \lambda }$($\mathbb{R}$ⁿ)，令$f(x)=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty} f \chi_{j}(x)=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty} f_{j}(x)$. 则有

对于J₂，由引理3，即变分算子的L^q有界性，有

再由不等式

并注意到α＞λ，可以得到

对于J₁，同样有j≤l+2，x∈C_l，y∈B_j，则x∈$\mathbb{R}$ⁿB_j，|x-y|≥$\frac{1}{2}$|x-x₀|. 因此

所以得到

这样

同样，再由不等式(8)，并注意到$\alpha<\lambda+n\left(1-\frac{1}{q}\right)$，得

这就完成了定理2的证明.